Agrégation de mathématiques F Rouvière Concours blanc du

Joseph Gerver

Description

Niveau: Elementaire
Agrégation de mathématiques (F. Rouvière) Concours blanc du 29.1.02 PROBLÈME D?ANALYSE Le but du problème est d?étudier la dérivabilité de la fonction de Riemann (d?une variable réelle x) S(x) = 1X n=1 sin(n2x) n2 . (1) Riemann pensait (mais n?a pas démontré) que cette fonction n?est dérivable en aucun point. Weierstrass ne parvint pas à l?établir. En 1916, Hardy montra que f n?est dérivable en aucun point irrationnel. Ce n?est qu?en 1970 qu?un jeune étudiant américain, Joseph Gerver, résolut complètement la question (par des méthodes élémentaires, mais compliquées) : f est dérivable au point xo si et seulement si xo est le quotient de deux entiers impairs. On va établir ici par des méthodes plus récentes (utilisant la fonction et un peu de théorie des ondelettes) la dérivabilité de f en tout point entier impair, et sa non-dérivabilité en tout entier pair ainsi qu?aux points irrationnels. Soient 2]0; 1] et xo 2 R. Une fonction f : R! R est dite höldérienne d?ordre en xo s?il existe C > 0 tel que, pour tout h 2 R, jf(xo + h) f(xo)j Cjhj . (2) Elle est dite höldérienne d?ordre sur R s?il existe C > 0 tel que l?inégalité (2) ait lieu pour tous xo; h 2 R.

• théorie des fractions continues


• groupe de transformations du demi


• entier impair


• demi-plan ouvert


• variable réelle

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• Langue: Français

Extrait

Agrégation de mathématiques(F. Rouvière)

PROBLÈME DANALYSE

Concours blanc du 29.1.02

Le but du problème est détudier la dérivabilité de lafonction de Riemann(dune variable réellex) 1 X 2 sin(n x) S(x) =. (1) 2 n n=1 Riemann pensait (mais na pas démontré) que cette fonction nest dérivable en aucun point. Weierstrass ne parvint pas à létablir. En 1916, Hardy montra quefnest dérivable en aucun point irrationnel. Ce nest quen 1970 quun jeune étudiant américain, Joseph Gerver, résolut complètement la question (par des méthodes élémentaires, mais compliquées) :fest dérivable au pointx o si et seulement six o est le quotient de deux entiers impairs. On va établir ici par des méthodes plus récentes (utilisant la fonctionet un peu de théorie des ondelettes) la dérivabilité defen tout point entier impair, et sa non-dérivabilité en tout entier pair ainsi quaux points irrationnels. Soient2]0;1]etx o 2R. Une fonctionf:R!Rest ditehöldérienne dordreenx o sil existeC >0tel que, pour touth2R,  jf(x o +h)f(x o )j Cjhj. (2) Elle est ditehöldérienne dordresurRsil existeC >0tel que linégalité (2) ait lieu pour tousx o ; h2R. Dans les parties III, IV et V on notePle demi-plan ouvert formé des nombres complexes de partie imaginaire strictement positive. Le problème fait appel à lanalyse des fonctions dune variable réelle, ou dune variable complexe. Ses questions peuvent être résolues indépendamment les unes des autres.

I. Une inégalité höldérienne

1.Montrer quune fonction bornée surRet dérivable enx o est höldérienne dordreenx o , pour tout2]0;1]. 2 2 2.On noteu n (x) = sin(n x)=n, etNun entier positif ou nul. À laide de majorations simples 0 dju(x)j, établir les inégalités eju n (x)jet de n X X 1 N ju n (x+h)u n (x)j 2jhjetju n (x+h)u n (x)j , N1 2 N N 1n2n2 +1 pour tousx; h2R. 3.En déduire que la fonctionSde Riemann est höldérienne dordre1=2surR. N1=2N+1 [Pour0<jhj 1on choisiraNtel que2 jhj<2. Puis on vériera que la majoration obtenue dejS(x+h)S(x)jest encore valable pourjhj 1.]

1

II. Formule de Poisson

Soientfune fonction continue surR, à valeurs complexes, et Z 1 b 2itx f(t) =f(x)e dx 1

b 2 2 sa transformée de Fourier. On suppose les fonctionsx f(x)ett f(t)bornées surR.

4.Soit 1   X x g(x) =f+k. 2 k=1 Montrer quegest une fonction continue surRet2-périodique.

b 5.Montrer que les coe¢ cients de Fourier degsont donnés parc n (g) =f(n),n2Z. Montrer quegest somme de sa série de Fourier, et en déduire laformule de Poisson

1 1 X X b f(k) =f(n). k=1 n=1

2 2 xt 6.On rappelle que la fonctionea pour transformée de Fouriere. En déduire lidentité, poura >0, 1 1 X X 1 2 2 k an =a e= p e. (3) a k=1 n=1

III. Étude en un entier impair

On considère les fonctions de la variable complexez

1 2 +1 X X in z e 2 in z F(z) =et(z) =e. 2 in n=1 n=1

(4)

7.Montrer queFest continue et bornée dans le demi-plan ferméP, et queFetsont holo- morphes dansP.

0 8.Vérier légalité2F(z) =(z)1pourz2P.

9.Montrer quon a, poury= Imz >0,

y 2e j(z)1j . y 1e

10.Etablir lidentité(z+ 1) +(z) = 2(4z)pourz2P.

2

p 11.On notezla détermination de la racine carrée qui prolonge au demi-planRez >0la racine carrée des nombres positifs. Déduire de (3) que r   i1 (z) =,z2P. (5) z z Pourn1on note r i 2 in =z v n (z) =e. z

12.Déduire des questions précédentes lidentité

1 1 X X 1 0 F(1 +z) +=v n (z) + 2v n (4z). 2 n=1n=1

13.Soitun nombre complexe de partie réelle strictement positive. Montrer la convergence de R 1  =t dt lintégraleeet linégalité p 0 t Z 1 dt2 =t e p  .   0 t jj

[On pourra intégrer par parties.]

i! 14.En déduire les inégalités, pourz=re2P, Z p Z p 1 1 2r2r jv n (tz)jdtetv n (tz)dt. 2  2 nsin! n 0 0

15.A laide de12et14montrer que z 3=2  F(1 +z)F(1) +  Cjzjpourz2P, 2 oùCest une constante que lon calculera.

16. a.En déduire que la restriction deFà laxe réel est dérivable enx o = 1, et calculer sa dérivée en ce point. b.Montrer enn que la fonctionSde Riemann est dérivable aux pointsx o = 2p+ 1,p2Z, 0 et calculerS(2p+ 1).

IV. Étude en un entier pair

Soient:R!Cune fonction continue, etsa complexe conjuguée. On suppose que 2 (i)x (x)est une fonction bornée surR R (ii)(x)dx= 0. R On dit alors queest une  ondelette . Sifest une fonction continue bornée surRon dénit, poura >0etb2R, Z  1xb w f (a; b) =f(x) dx. a a R 3

  17. a.Établir linégalité(u+v)u+vpouru; v0et0< 1. b.Sifest höldérienne dordreenx o , avec0<  <1, montrer quil existe une constante C >0telle que   jw f (a; b)j C(a+jbx o j). [On pourra soustraire àw f lintégrale analogue associée à la fonction constantef(x o ).]

18.Dans toute la suite du problème on prend pour londelette de Lusin 

1 (x) =. 2 (x+i)

Montrer quelle vérie les hypothèses(i)et(ii).

19.SoitFune fonction dune variable complexe, holomorphe dansP, continue et bornée surP, et soitun nombre complexe. Montrer que Z  0 F(x) 2 iF()siIm >0 dx= 2 (x ) 0siIm <0 R R 2 [On pourra considérerF(z)dz=(z), oùest le bord du rectangle déni parR <Rez < R,  0< " <Imz < R, puis faire tendre"vers0et ennRvers+1.]

20.On reprend la fonctionFdénie en (4). En observant que2S(x) =F(x)F(x)déduire de19que, poura >0etb2R,

ia w S (a; b() =(b+ia)1). 2

(6)

21. a.Soitx o 22Zun entier pair. Montrer à laide de (3) que, poura >0, p    i ai p w S (a; x o ) =a. 2a p En déduire, à laide de9, léquivalentw S (a; x o )si a=2lorsqueatend vers0. b.Pour quels2]0;1[la fonction de Riemann est-elle höldérienne dordreenx o ? Est-elle dérivable en ce point?

V. Étude en un point irrationnel

Dans cette partie on reprend les méthodes de la partie IV, après avoir établi quelques pro- priétés supplémentaires de la fonction. Soitle groupe de transformations du demi-planPengendré par la translationT:z7!z+ 2 et par la transformationJ:z7! 1=z. 22.Montrer que les élémentsdesont de la forme rz+s (z) =,z2P, (7) qzp avecp; q; r; s2Z,rp+sq+ 1 = 0, etp; qde parités opposées.

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23. a.Montrer à laide de (5) que pourz2Pet2(donné par (7)) il existe un nombre complexeu, de module un, tel que p ((z)) =u (z)jqzpj.

b.On prendb=p=q,q1, eta >0. En déduire légalité   r i 1=2 (b+ia) =u + (aq), 2 q aq

oùuest un nombre complexe de module un. 24.À laide de9, montrer quil existe une constanteA >0telle que

j(z)j ApourImz1.

(8)

(9)

Soit maintenantx o un nombre irrationnel. On admettra quil existe une suite de rationnels p n =q n (donnés par la théorie des fractions continues) avecp n ; q n 2Z,p n etq n de parités opposées, q n tendant vers+1, et une suite de réels n >2tels que p1 n = x o    n  q n q n pour toutn1. On admettra enn quil existe un élément n dede la forme n (z) = (r z+s)=(q zp), avecqr ;2Z,r p+s q+ 1 = 0. n nn nn nn nn n On dénit alors p n p n 1 b n =eta n =x o =.    n q n q n q n

25. a.Déduire de (6) et (8) quil existe une suite de nombres complexesu n , de module un, tels que    i r n ( n +1)=2 n 2 (1 n )=2 w S (a n ; b n ) =q u n +iqq. n nn 2q n b.En utilisant (9) montrer quil existe une constanteC >0telle que, pournassez grand,

( n +1)=2 jw S (a n ; b n )j C q. n

26.Si la fonctionSest höldérienne dordreenx o , montrer que3=4. Conclure.

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