Agrégation de mathématiques F Rouvière Concours blanc du
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Agrégation de mathématiques (F. Rouvière) Concours blanc du 29.1.02 PROBLÈME D?ANALYSE Le but du problème est d?étudier la dérivabilité de la fonction de Riemann (d?une variable réelle x) S(x) = 1X n=1 sin(n2x) n2 . (1) Riemann pensait (mais n?a pas démontré) que cette fonction n?est dérivable en aucun point. Weierstrass ne parvint pas à l?établir. En 1916, Hardy montra que f n?est dérivable en aucun point irrationnel. Ce n?est qu?en 1970 qu?un jeune étudiant américain, Joseph Gerver, résolut complètement la question (par des méthodes élémentaires, mais compliquées) : f est dérivable au point xo si et seulement si xo est le quotient de deux entiers impairs. On va établir ici par des méthodes plus récentes (utilisant la fonction et un peu de théorie des ondelettes) la dérivabilité de f en tout point entier impair, et sa non-dérivabilité en tout entier pair ainsi qu?aux points irrationnels. Soient 2]0; 1] et xo 2 R. Une fonction f : R! R est dite höldérienne d?ordre en xo s?il existe C > 0 tel que, pour tout h 2 R, jf(xo + h) f(xo)j Cjhj . (2) Elle est dite höldérienne d?ordre sur R s?il existe C > 0 tel que l?inégalité (2) ait lieu pour tous xo; h 2 R.
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Agrégation de mathématiques (F. Rouvière) Concours blanc du 29.1.02 PROBLÈME D?ANALYSE Le but du problème est d?étudier la dérivabilité de la fonction de Riemann (d?une variable réelle x) S(x) = 1X n=1 sin(n2x) n2 . (1) Riemann pensait (mais n?a pas démontré) que cette fonction n?est dérivable en aucun point. Weierstrass ne parvint pas à l?établir. En 1916, Hardy montra que f n?est dérivable en aucun point irrationnel. Ce n?est qu?en 1970 qu?un jeune étudiant américain, Joseph Gerver, résolut complètement la question (par des méthodes élémentaires, mais compliquées) : f est dérivable au point xo si et seulement si xo est le quotient de deux entiers impairs. On va établir ici par des méthodes plus récentes (utilisant la fonction et un peu de théorie des ondelettes) la dérivabilité de f en tout point entier impair, et sa non-dérivabilité en tout entier pair ainsi qu?aux points irrationnels. Soient 2]0; 1] et xo 2 R. Une fonction f : R! R est dite höldérienne d?ordre en xo s?il existe C > 0 tel que, pour tout h 2 R, jf(xo + h) f(xo)j Cjhj . (2) Elle est dite höldérienne d?ordre sur R s?il existe C > 0 tel que l?inégalité (2) ait lieu pour tous xo; h 2 R.
- théorie des fractions continues
- groupe de transformations du demi
- entier impair
- demi-plan ouvert
- variable réelle
Agrégation de mathématiques(F. Rouvière)
PROBLÈME DANALYSE
Concours blanc du 29.1.02
Le but du problème est détudier la dérivabilité de lafonction de Riemann(dune variable réellex) 1 X 2 sin(n x) S(x) =. (1) 2 n n=1 Riemann pensait (mais na pas démontré) que cette fonction nest dérivable en aucun point. Weierstrass ne parvint pas à létablir. En 1916, Hardy montra quefnest dérivable en aucun point irrationnel. Ce nest quen 1970 quun jeune étudiant américain, Joseph Gerver, résolut complètement la question (par des méthodes élémentaires, mais compliquées) :fest dérivable au pointxosi et seulement sixoest le quotient de deux entiers impairs. On va établir ici par des méthodes plus récentes (utilisant la fonctionet un peu de théorie des ondelettes) la dérivabilité defen tout point entier impair, et sa non-dérivabilité en tout entier pair ainsi quaux points irrationnels. Soient2]0;1]etxo2R. Une fonctionf:R!Rest ditehöldérienne dordreenxosil existeC >0tel que, pour touth2R, jf(xo+h)f(xo)j Cjhj. (2) Elle est ditehöldérienne dordresurRsil existeC >0tel que linégalité (2) ait lieu pour tousxo; h2R. Dans les parties III, IV et V on notePle demi-plan ouvert formé des nombres complexes de partie imaginaire strictement positive. Le problème fait appel à lanalyse des fonctions dune variable réelle, ou dune variable complexe. Ses questions peuvent être résolues indépendamment les unes des autres.
I. Une inégalité höldérienne
1.Montrer quune fonction bornée surRet dérivable enxoest höldérienne dordreenxo, pour tout2]0;1]. 2 2 2.On noteun(x) = sin(n x)=n, etNun entier positif ou nul. À laide de majorations simples 0 dju(x)j, établir les inégalités ejun(x)jet den X X 1 N jun(x+h)un(x)j 2jhjetjun(x+h)un(x)j , N1 2 N N 1n2n2 +1 pour tousx; h2R. 3.En déduire que la fonctionSde Riemann est höldérienne dordre1=2surR. N1=2N+1 [Pour0<jhj 1on choisiraNtel que2 jhj<2. Puis on vériera que la majoration obtenue dejS(x+h)S(x)jest encore valable pourjhj 1.]
1
II. Formule de Poisson
Soientfune fonction continue surR, à valeurs complexes, et Z 1 b 2itx f(t) =f(x)e dx 1
b 2 2 sa transformée de Fourier. On suppose les fonctionsx f(x)ett f(t)bornées surR.
4.Soit 1 X x g(x) =f+k. 2 k=1 Montrer quegest une fonction continue surRet2-périodique.
b 5.Montrer que les coe¢ cients de Fourier degsont donnés parcn(g) =f(n),n2Z. Montrer quegest somme de sa série de Fourier, et en déduire laformule de Poisson
1 1 X X b f(k) =f(n). k=1n=1
2 2 xt 6.On rappelle que la fonctionea pour transformée de Fouriere. En déduire lidentité, poura >0, 1 1 X X 1 2 2 k an =a e=pe. (3) a k=1n=1
III. Étude en un entier impair
On considère les fonctions de la variable complexez
12+1 X X in z e 2 in z F(z) =et(z) =e. 2 in n=1n=1
(4)
7.Montrer queFest continue et bornée dans le demi-plan ferméP, et queFetsont holo-morphes dansP.
0 8.Vérier légalité2F(z) =(z)1pourz2P.
9.Montrer quon a, poury= Imz >0,
y 2e j(z)1j . y 1e
10.Etablir lidentité(z+ 1) +(z) = 2(4z)pourz2P.
2
p 11.On notezla détermination de la racine carrée qui prolonge au demi-planRez >0la racine carrée des nombres positifs. Déduire de (3) que r i1 (z) =,z2P. (5) z z Pourn1on note r i2 in =z vn(z) =e. z
12.Déduire des questions précédentes lidentité
1 1 X X 1 0 F(1 +z) +=vn(z) + 2vn(4z). 2 n=1n=1
13.Soitun nombre complexe de partie réelle strictement positive. Montrer la convergence de R 1 =t dt lintégraleeet linégalité p 0 t Z 1 dt2 =t ep . 0tjj
[On pourra intégrer par parties.]
i! 14.En déduire les inégalités, pourz=re2P, ZpZp 1 1 2r2r jvn(tz)jdtetvn(tz)dt. 22 nsin! n 0 0
15.A laide de12et14montrer que z 3=2 F(1 +z)F(1) +Cjzjpourz2P, 2 oùCest une constante que lon calculera.
16. a.En déduire que la restriction deFà laxe réel est dérivable enxo= 1, et calculer sa dérivée en ce point. b.Montrer enn que la fonctionSde Riemann est dérivable aux pointsxo= 2p+ 1,p2Z, 0 et calculerS(2p+ 1).
IV. Étude en un entier pair
Soient:R!Cune fonction continue, etsa complexe conjuguée. On suppose que 2 (i)x (x)est une fonction bornée surR R (ii)(x)dx= 0. R On dit alors queest une ondelette . Sifest une fonction continue bornée surRon dénit, poura >0etb2R, Z 1xb wf(a; b) =f(x) dx. a a R 3
17. a.Établir linégalité(u+v)u+vpouru; v0et0< 1. b.Sifest höldérienne dordreenxo, avec0< <1, montrer quil existe une constante C >0telle que jwf(a; b)j C(a+jbxoj). [On pourra soustraire àwflintégrale analogue associée à la fonction constantef(xo).]
18.Dans toute la suite du problème on prend pour londelette de Lusin
1 (x) =. 2 (x+i)
Montrer quelle vérie les hypothèses(i)et(ii).
19.SoitFune fonction dune variable complexe, holomorphe dansP, continue et bornée surP, et soitun nombre complexe. Montrer que Z 0 F(x) 2iF()siIm >0 dx= 2 (x) 0siIm <0 R R 2 [On pourra considérerF(z)dz=(z), oùest le bord du rectangle déni parR <Rez < R, 0< " <Imz < R, puis faire tendre"vers0et ennRvers+1.]
20.On reprend la fonctionFdénie en (4). En observant que2S(x) =F(x)F(x)déduire de19que, poura >0etb2R,
ia wS(a; b() =(b+ia)1). 2
(6)
21. a.Soitxo22Zun entier pair. Montrer à laide de (3) que, poura >0, p i aip wS(a; xo) =a. 2a p En déduire, à laide de9, léquivalentwS(a; xo)si a=2lorsqueatend vers0. b.Pour quels2]0;1[la fonction de Riemann est-elle höldérienne dordreenxo? Est-elle dérivable en ce point?
V. Étude en un point irrationnel
Dans cette partie on reprend les méthodes de la partie IV, après avoir établi quelques pro-priétés supplémentaires de la fonction. Soitle groupe de transformations du demi-planPengendré par la translationT:z7!z+ 2 et par la transformationJ:z7! 1=z. 22.Montrer que les élémentsdesont de la forme rz+s (z) =,z2P, (7) qzp avecp; q; r; s2Z,rp+sq+ 1 = 0, etp; qde parités opposées.
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23. a.Montrer à laide de (5) que pourz2Pet2(donné par (7)) il existe un nombre complexeu, de module un, tel que p ((z)) =u (z)jqzpj.
b.On prendb=p=q,q1, eta >0. En déduire légalité r i 1=2 (b+ia) =u + (aq), 2 q aq
oùuest un nombre complexe de module un. 24.À laide de9, montrer quil existe une constanteA >0telle que
j(z)j ApourImz1.
(8)
(9)
Soit maintenantxoun nombre irrationnel. On admettra quil existe une suite de rationnels pn=qn(donnés par la théorie des fractions continues) avecpn; qn2Z,pnetqnde parités opposées, qntendant vers+1, et une suite de réelsn>2tels que p1 n = xon qnqn pour toutn1. On admettra enn quil existe un élémentndede la formen(z) = (r z+s)=(q zp), avecqr ;2Z,r p+s q+ 1 = 0. n nn nn nn nn n On dénit alors pnpn1 bn=etan=xo=. n qnqnqn
25. a.Déduire de (6) et (8) quil existe une suite de nombres complexesun, de module un, tels que i rn (n+1)=2n2 (1n)=2 wS(an; bn) =q un+iqq. n nn 2q n b.En utilisant (9) montrer quil existe une constanteC >0telle que, pournassez grand,
(n+1)=2 jwS(an; bn)j C q. n
26.Si la fonctionSest höldérienne dordreenxo, montrer que3=4. Conclure.
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