CPGE Sciences Industrielles pour l'Ingénieur Masse et inertie des Solides

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CPGE / Sciences Industrielles pour l'Ingénieur Masse et inertie des Solides : C21 masse et inertie des solides.doc- Page 1 sur 5 Créé le 19/10/2010 –Rév 21/10/2010 M S a le t t e - L y c ée B r iz e u x - Qu im p e r MASSE ET INERTIE DES SOLIDES 1- Masse d'un système matériel Soit un système matériel E. En tout point M de ce système, on associe à un volume élémentaire dv un scalaire positif dm tel que dvdm M .)(?= où )( M? est la masse volumique en ce point. En supposant que )( M? varie continûment on peut exprimer la masse mE du système matériel de la façon suivante : ∫∫∫∫ ?? == EM MEME dvdmm .)(? L'unité de masse est le kilogramme. 2- Centre d'inertie d'un système matériel Définition du centre d'inertie: On appelle centre d'inertie d'un système matériel (E), le point unique G défini par la relation : ∫ ? =EM dmGM 0 r Position du centre d'inertie: Soit un point O quelconque, alors 0 )( r=+=+= ∫∫∫∫ ???? dmOMdmGOdmOMGOdmGM EMEMEMEM D'où : dmOMOGm EME ∫ ?= En appelant xG , yG, zG les composantes du vecteur OG et x, y, z celles de OM , la relation précédente se traduit analytiquement par les trois relations suivantes : dmxxm

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Sujets

• Barycentre (physique)

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• Publié par: dagic
• Publié le: 01 octobre 2010
• Nombre de lectures: 72
• Langue: Français

Extrait

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MASSE ET INERTIE DES SOLIDES

  1- Masse d’un système matériel Soit un système matériel E. En tout point M de ce système, on associe à un volume élémentairedun scalaire positifdmtel   que dm (M) .dv où es En su (M p ) pcentoiueiqn  ev esmuloal tsam  arie conue  vopastnq   .  lar merixp etuep no tnemûnit R (M) masse m E système matériel de la façon suivante :du   m E ∫ MÎE dm ∫∫∫ MÎE (M) .dv  

      

2- Centre d’inertie d’un système matériel Définition du centre d’inertie:   On appelle centre d’inertie d’un système matériel (E), le pointuniqueG défini par la relation :  

1 ∫ M E GM dm0   Î

 

O

(E)

(E)

M (masse dm)  

M (masse dm)  

G R O     Position du centre d’inertie: Soit un point O quelconque, alors   ∫ MÎE  1 ∫ MÎE (#)1 ∫ MÎE d# ∫ MÎE OM dm10 m E  OG1 ∫ MÎE OM dm  GM dm GO OM dm GO m   En appelant x G  y , G , z G  composantes du vecteur les OG  et x, y, z celles de OM , la relation précédente se traduit analytiquement par les trois relations suivantes : m E .x G ∫ E x.dm     m E .y G ∫ E y.dm m E .z G ∫ E z.dm   Associativité: Soit un système matériel E constitué de plusieurs sous-systèmes       disjoints E i  de masse m i  de centre de centre d’inertie G et i , alors :      i ∑ 1 n 1 m i     OG1 i ∑ 1 n 1 m i  OG i G 1 G   G 2      Symétrie matérielle:   Si un système matériel possède un élément de symétrie matérielle (symétrie du point de vue géométrique et de la répartition des masses)    tel qu’un plan ou un axe, alors le centre d’inertie appartient à cet élément. Avant tout calcul, il est vivement recommandé de rechercher l’existence de tels éléments.    

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 /            

 

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3- Moments d’inertie d’un solide Définitions  Soit un solide (S) de massem.                            Y    On appellemoment d’inertie du solide S par rapport à un point A, la quantité positive : 2     I A (S)1 ∫ MÎS AM dm  

  On appelle moment d’inertie du solide S par rapport à un axeA, ≅ , la quantité positive           I ≅ (S)1 ∫ Î (≅ÙAM) 2 dm    A M  S

  1HM dm1 dmd M soit encore I A ≅ (S) ∫ MÎS 2 ∫ MÎS ( ) 2 .   Unitésdu moment d’inertie :kg.m 2    On appellerayon de girationla distance Rtelle que : I A ≅ (S)m.R 2     Expressions analytiques dans un repère orthonormé.     Soit un point M ayant pour coordonnées x,y,z dans un repère (O,x,y,z) :   le moment d’inertie par rapport au point O est défini par l’expression :   I O (S)1 ∫ MÎS (x 2 #y 2 #z 2 ).dm   les moments d’inertie par rapport aux axes (O,x) , (O,y) , (O,z) sont donnés par les expressions suivantes : I OX (S) ∫ MÎS (y 2 z 2 ) dm     I OY (S) ∫ MÎS     (x 2 z 2 ) dm      I OZ (S)1 ∫ M S (x 2 #y 2 ).dm     Î

  Théorème d’ HUYGENS.

 

 

 Y 

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Y 

 /                    Soit(G, ≅ )un axepassant par le centre d’inertie Gd’un solide(S).    Soit un second axe(A, ≅ )passant par un point A et parallèle à l’axe(G, ≅ )   , etdla distance entre ces      deux axes. Alors : I A ≅ (S)1I G ≅ (S)#m.d 2   I A ≅ (S)1 ∫ MÎS ( ≅ ÙAM) 2 dm1 ∫ MÎS ( ≅ ÙAG)#( ≅ ÙGM) 2 dm     1 ∫ M S ( ≅ ÙAG) 2 dm# ∫ M S 2( ≅ ÙAG)( ≅ ÙGM)dm# ∫ M S ( ≅ ÙGM) 2 dm ΠΠΠ     1( ≅ ÙAG) 2 ∫ MÎS dm#2( ≅ ÙAG) ∫ MÎS ( ≅ ÙGM)dm#I G ≅ (S) 1d 2 ∫ M S dm#2(  ÙAG).(  Ù ∫ M S GM dm)#I G (S) Î ≅ ≅ Î ≅ 1d 2 ∫ M S dm#0#I G (S)1I G (S)#m.d 2 Î ≅ ≅

4- Produits d’inertie par rapport à deux axes. Soit un point M ayant pour coordonnées( , , )dans un repère (O,x,y,z) : On appelle produit d’inertie de (S) par rapport aux axes (O,y) , (O,z) l’expression : D= ∫ M S y.z dm . Î On appelle produit d’inertie de (S) par rapport aux axes (O,z) , (O,x) l’expression :  E=∫ MÎS x.z dm . On appelle produit d’inertie de (S) par rapport aux axes (O,x) , (O,y) l’expression : F= ∫ MÎS x.y dm  

(S)

5- Opérateur d’inertie – Matrice d’inertie   Définition :On appelleopérateur d’inertied’un solide (S) en un point O, l’opérateur qui à tout vecteurfait correspondre le vecteur :   Á O (S,u)1 ∫ MÎS OMÙ(uÙOM)dm     Application aux vecteurs d’une base:     On considère un solide (S). Tout point M de se solide est défini dans R(O,x,y,z)     par ses coordonnées (x,y,z) .   On construit lamatrice d’inertie O du solide (S) en (dm) dans la base(x,y,z) application de l’opérateur par    d’inertie aux trois vecteurs de cette base. L’opérateur d’inertie est défini par la relation : (S,u)OM(u M)   Á O 1 ∫ MÎS Ù ÙO dm L’application au vecteurx : donne    (S,x)OM(x M)    Á O 1 ∫ MÎS Ù ÙO dm avec OM1x x#y y#z z   1x0 x0y²z² Avec x  ÙOM10Ùy1 %z t    e OMÙ(xÙOM)1yÙ %z1 %x.y 0 z y z y z.x % D’où l’on obtien  #Á 1 % # % #  t : O (S,x) ∫ MÎS (y²z²)dm x ∫ MÎS (xy)dm y ∫ MÎS (xz)dm z

 X     

   Z   

O

 Y     

soit encore : Á O (S,x)1A x%F y%E z  

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Áz De la même façon, on démontre que O (S,y)1 %F x#B y%D    Á O (S,z  )1 %E x  %D y  #C z  oùA, , , ,esont les moments et produits d’inertie définis précédemment.      Construction de la matrice d’inertie : La matrice d’inertie en O du solide (S) dans la base (x,y,z) est une matrice (3-3), dont : - 1 la ère colonne (ou 1 ère ligne) est constituée des composantes du vecteur Á O (S,x)    la 2 ème  colonne (ou 2 ème ligne) est constituée des composantes du vecteur Á O (S,y)  - - la 3 ème colonne (ou 3 ème ligne) est constituée des composantes du vecteur Á O (S,z) . ;S %1 % On remarque que cette matrice est symétrique. Soit encore : [ O ( ) ] O     A F E %F B D %E D C     (x,y,z)  % %    

  Base principale d’inertie : La matrice d’inertie étant symétrique, il existe un système de trois vecteurs propres orthogonaux deux à deux, permettant de simplifier l’expression de celle-ci. On appelle base principale d’inertie, la base telle que la matrice est diagonale : A 1 0 0 [ ; O (S) ] 1      0B 1 0        O 0 0C 1 (x  1 ,  y 1 ,  z 1 ) Les axes (O,x 1 ) , (O,y 1 ) et (O,z 1 ) sont appelés axes principaux d’inertie du solide S au point O.A 1 ,B 1   etC 1 sont appelés moments principaux d’inertie.   Incidence de plans de symétrie sur la matrice : Lorsque l’on exprime la matrice en un point O et dans une base(x,y,z), l’existence de plans de    symétrie définis par ce point et cette base permet de simplifier la matrice.       Exemple sur un parallélépipède rectangle: P1   Les plans P1(O,y,z) et P2(O,x,y) sont plans de symétrie.   A tout point M(x,y,z) correspond : π - point un M' (x,y,z) , symétrique par rapport à P1(O,y,z)    M -un point M" (x,y,z) , symétrique par rapport à P2(O,x,y) . P2 dm     O    Y     Conséquences   Le produit d’inertie D est alors :    X   π D= ∫ MÎS y.z dm π 2 1 ( ∫ MÎS ( ∫∫ MÎS y Λ.dy.dx!z .dz!1 ( ∫∫ MÎS y Λ.dy.dx!    z 2   %h h /2 /2 0    1 On montre de même que E et F sont nuls.        

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

 /                    D’autres moments d’inertie : I O (S)1 ∫ MÎS (x 2 #y 2 #z 2 )dm1 2 ( 1 A#B#C)   I Oxy (S)1 ∫ M z 2 S  dm        (O,x,y)   Î I Oyz (S)1 ∫ M x Î 2 S  dm        (O,y,z)    I Ozx (S)1y 2  dm   ∫ MÎS       (O,z,x)   D’où A1I Oxy (S)#I Ozx (S)     B1I Oxy (S)#I Oyz (S)     C1I Ozx (S)#I Oyz (S)  

6- Généralisation du théorème d’Huygens     On considère un solide (S). Tout point M de ce solide est défini dans R(O,x,y,z) par

   Z   

O  X     

(S)

 Y     

G

M dm)

ses coordonnées (x,y,z) . On connaît la matrice d’inertie en O du solide (S) dans la base (x,y,z) , ainsi que la matrice en G de ce même solide (S) dans la même base (x,y,z)   A O F O E O  [ ; O (S) ] 1     % %F O % % B O % % D O     O  E O D O C O   (x  ,y  ,z  ) % [ ( ) ]    % A G G F G G % %E G G   ; G S1 DF B   G   %E G %D G C G    (x  ,y  ,  z) OM1      y x z        1      a      GM1     z y x 1 1 1     OGb c      Il existe entre les termes des deux matrices des relations dont l’ensemble constitue la généralisation du théorème d’Huygens : 2 2 2 2 A O ∫ MÎS (y z) dm ∫ MÎS (b y 1 ) (c z 1 ) dm 1 ∫ MÎS y 1 2 #z 2 1  dm#2b ∫ MÎS y 1  dm#2c ∫ MÎS z 1  dm# ∫ MÎS ( b 2 #c 2 !  dm !
2 2  2 2 1 ∫ MÎS y 1 #z 1  dm# ∫ MÎS ( b#c !  dm Soit encore A O 1A G #m(b 2 #c 2 )     2b y dm

(*) En utilisant la propriété du centre d’inertie : ∫ MÎE GM dm10 , les termes ∫ MÎS 2c ∫ MÎS z 1  dm sont nuls.

On démontre de la même façon que:

 : C21 masse et inertie des solides.doc-   Créé le 19/10/2010 –Rév 21/10/2010  

B O 1B G #m.(a 2 #c 2 ) C O 1C G #m.(a 2 #b 2 ) D O 1D G #m.b.c   E O 1E G #m.c.a F O 1F G #m.a.b

 

1 . et

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