Dénombrer et sommer Rappels ensemblistes

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Table des matières 1 Dénombrer et sommer 5 1.1 Rappels ensemblistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Opérations ensemblistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 B?ections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Ensembles finis et dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Dénombrabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4 Rappels sur les séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.4.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.4.2 Séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

caractère universel de la loi de poisson

base du processus

comparaison des intégrales ordinaires

loi uniforme

variable aléatoire

lois

indépendance

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1 Dénombrer et sommer 1.1 Rappels ensemblistes. . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Opérations ensemblistes. . . . . . . . . . . 1.1.2 Bĳections. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Ensembles ﬁnis et dénombrement. . . . . . . . . . 1.3 Dénombrabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Rappels sur les séries. . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Généralités. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Séries à termes positifs. . . . . . . . . . . . 1.4.3 Séries à termes de signe non constant. . . . 1.4.4 Opérations sur les séries. . . . . . . . . . . 1.5 Familles sommables. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Séries doubles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Événements et Probabilités 2.1 Notion de mesure. . . . . . . . . . . . . . 2.2 Modéliser l’aléatoire. . . . . . . . . . . . 2.2.1 Notion d’expérience aléatoire. . . 2.2.2 Événements. . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Une question de dés. . . . . . . . 2.3 La probabilité comme mesure. . . . . . . 2.4 Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Remarques sur le choix d’un modèle. . . . 2.6 Probabilités conditionnelles. . . . . . . . 2.6.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . 2.6.2 Propriétés. . . . . . . . . . . . . . 2.6.3 Quelques exemples. . . . . . . . . 2.7 Indépendance. . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1 Indépendance de deux événements. 2.7.2 Indépendance mutuelle. . . . . . . 2.7.3 Épreuves répétées. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5 5 5 7 8 16 24 24 25 27 28 34 46

51 51 57 57 58 59 62 68 75 76 76 78 81 83 83 85 87

Variables aléatoires 3.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Généralités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Variables aléatoires réelles. . . . . . . . . . . 3.2.2 Loi d’une variable aléatoire. . . . . . . . . . 3.2.3 Fonction de répartition. . . . . . . . . . . . . 3.2.4 Lois à densité. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Lois discrètes classiques. . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Lois de Bernoulli. . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Loi uniforme sur un ensemble ﬁni de réels. . 3.3.3 Lois binomiales. . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4 Lois hypergéométriques. . . . . . . . . . . . . 3.3.5 Lois géométriques. . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.6 Lois de Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.7 Sur le caractère universel de la loi de Poisson. . . . . . . . . . . . .

3.4 Lois à densité classiques. . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Lois uniformes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Lois exponentielles. . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3 Lois gaussiennes. . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.4 Lois de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89 89 92 92 94 97 99 104 104 104 104 105 107 108 113 116 116 118 121 122

Espérance125 4.1 Introduction125. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Espérance d’une variable aléatoire positive128. . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Espérance d’une variable aléatoire réelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 4.4 Moments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

Vecteurs aléatoires et indépendance157 5.1 Vecteurs aléatoires158. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Généralités158. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Covariance165. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Indépendance de variables et vecteurs aléatoires167. . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Suites indépendantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 5.2.2 Indépendance des composantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 5.2.3 Indépendance et espérance de produits. . . . . . . . . . . . . . . 180

Théorèmes limites185 6.1 Convergences de suites de v.a.185. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Convergence presque sûre et en probabilité185. . . . . . . . . . . . . 6.1.2 Convergence en moyenne d’ordrep. . . . . . . . . . . . . . . . . 192 6.1.3 Bilan sur les convergences de v.a.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 6.2 Loi des grands nombres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 6.2.1 Loi faible des grands nombres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 6.2.2 Loi forte des grands nombres200. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2.3

L’aiguille de Buﬀon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

A Intégrale de Riemann sur[a, b]207 A.1 Construction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 A.2 Riemann intégrabilité213. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3 Propriétés de l’intégrale de Riemann220. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3.1 Propriétés de l’ensembleR[a, b]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 A.3.2 Propriétés relatives à l’intervalle d’intégration. . . . . . . . . . . 226 A.4 Interversion limite intégrale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

Intégrale généralisée233 B.1 Construction233. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.2 Critère de Cauchy pour intégrales généralisées243. . . . . . . . . . . . . . . B.3 Intégrales généralisées de fonctions positives249. . . . . . . . . . . . . . . . B.4 Divers254. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.4.1 Changements de variable254. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.4.2 Intégration par parties257. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.4.3 Comparaison des intégrales ordinaires et généralisées259. . . . . . .

Tables de la loi normale standard

Ch.Suquet,Cours I.P.É. 2008

261

Ch.Suquet,Cours I.P.É. 2008

Chapitre

Dénombrer

sommer

Compter des objets et faire des additions, voilà bien les deux activités les plus élé-mentaires à la base des mathématiques. Et pourtant à y regarder de plus près, ce n’est pas si facile. Déjà pour un ensemble ﬁni, la méthode qui consiste à regarder ses éléments l’un après l’autre et à les compter (donc à les numéroter) n’est applicable que pour de « petits » ensembles. Le plus souvent on s’en sort en faisant une représentation de l’en-semble à dénombrer à l’aide d’un autre ensemble plus familier. Cette représentation est ce que l’on appelle une bĳection. Elle est d’ailleurs à la base du processus de comptage qui consiste simplement à mettre en bĳection un ensemble avec un ensemble de nombres entiers. Cette notion de bĳection permet d’étendre en un certain sens le dénombrement aux ensembles inﬁnis. L’extension de la notion de somme d’une suite ﬁnie de nombres à une suite inﬁnie conduit naturellement à la notion desérieque nous réviserons dans ce chapitre. La théorie des probabilités utilise implicitement une notion plus générale, celle defamille sommable. Il s’agit de déﬁnir la somme, si elle existe, d’une famille de nombres indexée ∗ par un ensemble inﬁni qui n’est pas forcémentNouN. Nous présentons cette théorie dans la dernière partie du chapitre. ∗ Dans tout ce qui suit, la notation{1, . . . , n}pourn∈Ndésigne l’ensemble de tous les entiers compris au sens large entre 1 etn. L’écriture un peu abusive «∀i= 1, . . . , n» signiﬁe «∀i∈ {1, . . . , n}».

1.1

Rappels ensemblistes

1.1.1 Opérations ensemblistes SoitΩ;un ensemble Aest unsous-ensemble(ou unepartie) deΩsi tout élément deAest aussi un élément deΩ(∀ω∈A,ω∈Ω). On noteA⊂Ω. On appelleP(Ω) 1 l’ensemble des parties deΩ, ce que l’on peut noter

P(Ω) ={A;A⊂Ω}. 1. Dans toutes les écritures d’ensembles entre accolades, nous utilisons le point virgule au sens de « tel que ».

Chapitre 1.

Dénombrer et sommer

2 Ainsi les écrituresA⊂ΩetA∈P(Ω)sont deux façons de dire la même chose . SiAetBsont deux parties du même ensembleΩ, on dit queAestinclusedans B(notationA⊂B) si tout élément deAest aussi élément deB(∀ω∈A,ω∈B), autrement dit, si l’appartenance àAimpliquel’appartenance àB:

A⊂B

signiﬁe

∀ω∈Ω,

(ω∈A)⇒(ω∈B).

SoitIun ensemble quelconque d’indices (ﬁni ou inﬁni) et(Ai)i∈Iune famille de parties deΩ. On déﬁnit son intersection∩Aiet sa réunion,∪Aipar : i∈I i∈I

∩Ai:={ω∈Ω;∀i∈I, ω∈Ai} i∈I

∪Ai={ω∈Ω;∃i∈I, ω∈Ai}. i∈I

(1.1)

Remarque 1.1.La réunion et l’intersection d’une famille de parties deΩsont déﬁnies de façon globale, elles s’obtiennent d’un coup,sans passage à la limitequandIest inﬁni et sans qu’un ordre éventuel sur l’ensemble d’indicesIn’ait d’importance.

Réunion et intersection sont très utiles pour la traduction automatique des quanti-ﬁcateurs. SiIest un ensemble quelconque d’indices,(πi)une propriété dépendant de l’indiceietAil’ensemble desω∈Ωvériﬁant(πi), on a :

{ω∈Ω;∀i∈I, ωvériﬁe(πi)} {ω∈Ω;∃i=i(ω)∈I, ωvériﬁe(πi)}

= =

∩Ai, i∈I ∪Ai. i∈I

Ainsi le quantiﬁcateur∀peut se traduire par une intersection et le quantiﬁcateur∃par une réunion. L’intersection et l’union sont distributives l’une par rapport à l’autre, c’est à dire     B∪∩Ai=∩(Ai∪B)B∩∪Ai=∪(Ai∩B). i∈I i∈I i∈I i∈I

c LecomplémentairedeA(dansΩ) est l’ensembleA:={ω∈Ω;ω∈/ A}. L’opération c c passage au complémentaire (qui est une bĳection deP(Ω)dans lui-même) vériﬁe(A) = c c A,Ω =∅,∅= Ωet échange réunions et intersections grâce aux très utiles formules :  c c c c A∪A=∩A . ∩Ai=∪ii i i∈I i∈I i∈I i∈I

On déﬁnit leproduit cartésiende deux ensemblesEetF, notéE×Fpar :

E×F:={(x, y);x∈E, y∈F}.

Attention, dans cette écriture(x, y)ne désigne en aucune façon un ensemble mais un couple d’éléments (l’ordre d’écriture a une importance). Pour éviter toute confusion,

2. Noter cependant la diﬀérence de statut deA: dans la première écriture,Aest considéré comme un ensemble, dans la deuxième comme un élément d’un ensemble d’un type un peu particulier.

Ch.Suquet,Cours I.P.É. 2008

1.1.

Rappels ensemblistes

on utilise des accolades pour la description des ensembles et des parenthèses pour les couples d’éléments. On déﬁnit de manière analogue le produit cartésien d’une suite ﬁnie d’ensembles 3 E1, . . . , Enpar   E1× ∙ ∙ ∙ ×En:= (x1, . . . , xn);∀i= 1, . . . , n, xi∈Ei.

2 L’ensembleE:=E×E={(x1, x2);x1∈E, x2∈E}peut être utilisé pour représenter l’ensemble de toutes les applications de{1,2}dansE, le couple(x1, x2) correspondant à l’applicationf:{1,2} →Edéﬁnie parf(1) =x1etf(2) =x2. Il pourrait de la même façon, représenter les applications d’un ensemble à deux éléments dansE(remplacer les chiﬀres 1 et 2 par n’importe quelle paire de symboles distincts : 0 et 1,aetb, etc.). n Plus généralement, pourn≥2,Eest l’ensemble desn-uplets ou listes de longueur nd’éléments deE. Dans unn-uplet(x1, . . . , xn), il peut y avoir des répétitions. On peut n aussi utiliserEpour représenter toutes les applications de l’ensemble{1, . . . , n}(ou de n’importe quel ensemble ànéléments) dansE. SoitIun ensemble quelconque, ﬁni ou inﬁni. Par analogie avec ce qui précède, l’en-I semble de toutes les applicationsf:I→Esera notéE. Par exemple avecE={0,1} N etI=N, on obtient l’ensemble{0,1}de toutes les suites de chiﬀres binaires indexées N parN:{0,1}={u= (ui)i∈N;ui= 0ou1}. AvecE=RetI= [0,1], on obtient [0,1] l’ensembleRdes fonctions déﬁnies sur l’intervalle[0,1]et à valeurs dansR.

1.1.2 Bĳections Déﬁnition 1.2(injection).Une applicationf:E→Fest diteinjectivesi deux élé-ments distincts deEont toujours des images distinctes dansF:

′ ∀x∈E,∀x∈E,

Une formulation équivalente est :

′ ∀x∈E,∀x∈E,

′ ′ (x6=x)⇒(f(x)6=f(x)).

′ ′ (f(x) =f(x))⇒(x=x).

Une application injectivef:E→Fest appeléeinjectiondeEdansF.

Déﬁnition 1.3(surjection).Une applicationf:E→Fest ditesurjectivesi tout élément de l’ensemble d’arrivée a au moins un antécédent parf:

∀y∈F,∃x∈E,

f(x) =y.

Une application surjectivef:E→Fest appeléesurjectiondeEsurF.

3. Noter qu’ici le quantiﬁcateur «∀i» ne se traduit pas par une intersection. Ne confondez pas «∀i= 1x, . . . , n, ∈Ei» qui traduit l’appartenance dexà l’intersection desEiavec «∀i= 1, . . . , n, xi∈Ei».

Ch.Suquet,Cours I.P.É. 2008

Chapitre 1.

Dénombrer et sommer

Déﬁnition 1.4(bĳection).Une applicationf:E→Fest ditebĳectivesi elle est à la fois injective et surjective, autrement dit si tout élément de l’ensemble d’arrivéeFa un uniqueantécédent parfdans l’ensemble de départE: ∀y∈F,∃!x∈E, f(x) =y. Une application bĳectivef:E→Fest appeléebĳectiondeEsurF. Remarque 1.5.Sif:E→Fest une injection, en restreignant son ensemble d’arrivée àf(E) :={y∈F;∃x∈E;f(x) =y}la nouvelle applicationf:E→f(E)est une bĳection. En eﬀet cette opération préserve clairement l’injectivité et rendfsurjective. Déﬁnition 1.6(application réciproque).Soitf:E→Fune bĳection. Touty∈F −1 admet un unique antécédentxparfdansE. En posantf(y) :=x, on déﬁnit une −1 applicationf:F→Eappelée application réciproque defou inverse def. Cette −1 applicationfest bĳective. −1′ Justiﬁcation.Pour vériﬁer l’injectivité def, soientyetydeux éléments deFtels que −1−1′ f(y) =f(y). Cela signiﬁe qu’ils ont le même antécédentxparf, donc quey=f(x) ′ ′ ety=f(x), d’oùy=y. Pour la surjectivité, soitx∈Equelconque. Posonsy=f(x). Alorsxest antécédent −1−1 deyparf, doncf(y) =xet ainsiyest antécédent dexparf. Tout élément deE −1−1 a donc un antécédent dansFparf. Autrement dit,fest surjective. Remarque 1.7.Ainsi l’existence d’une bĳectionE→Féquivaut à celle d’une bĳection F→E. On dira queE« est en bĳection avec »Fs’il existe une bĳectionE→F(ou F→E). Proposition 1.8.Soientf:E→Fetg:F→Gdeux bĳections. Alorsg◦fest une −1−1−1 bĳection deEsurG. De plus(g◦f) =f◦g.

Preuve.Rappelons que(g◦f)(x) :=g(f(x))pour toutx∈E. Pour vériﬁer l’injectivité, ′ ′ soientxetxdansEtels que(g◦f)(x) = (g◦f)(x). Cette égalité réécriteg(f(x)) = ′ ′ ′ g(f(x))implique par injectivité degl’égalitéf(x) =f(x), laquelle impliquex=xpar injectivité def. Pour la surjectivité deg◦f, soitz∈Gquelconque. Par surjectivité deg,za au moins un antécédentydansFavecg(y) =z. À son toury∈Fa un antécédentx∈Epar la surjectionf. Finalementy=f(x)etz=g(y), d’oùz= g(f(x)) = (g◦f)(x), ce qui montre queza pour antécédentxparg◦f. Commez était quelconque, la surjectivité deg◦fest établie. Ainsig◦fest une bĳection deE −1−1 surG. En conservant les notations on a(g◦f) (z) =x. D’autre partx=f(y)et −1−1−1−1−1 y=g(z), d’oùx=f(g(z)) = (f◦g)(z). On a donc pourzquelconque dans −1−1−1−1−1−1 Gl’égalité(g◦f) (z) =x= (f◦g)(z), d’où(g◦f) =f◦g.

1.2

Ensembles ﬁnis et dénombrement

Déﬁnition 1.9.Un ensembleEest dit ﬁni s’il est vide ou s’il est en bĳection avec un ensemble{1, . . . , n}pour un certain entiern≥1. Un telnest alors unique et est appelé cardinal de E (notationcardE). Par convention le cardinal de l’ensemble vide est0.

Ch.Suquet,Cours I.P.É. 2008

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