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Description

Niveau: Elementaire
EM4 Interaction électrostatique : Théorème de Gauss I Théorème de Gauss I.1 Flux du champ électrostatique I.1.a) Flux d'un champ de vecteur Soit un champ de vecteur ?? E prenant la valeur ???? E(M) en un point M d'une surface S. Cette surface est orientée normale sortante si elle est fermée et par une normale arbitraire si elle est ouverte. – On appelle flux élémentaire de ???? E(M) à travers l'élément de surface ?? dS entourant le point M le produit scalaire d? = ???? E(M). ?? dS avec ?? dS = dS??n où ??n est le vecteur normal à la surface. – Le flux du champ ?? E à travers la surface S est la somme des flux élémentaire : ? = s S ?? E . ?? dS I.1.b) Flux d'un champ électrostatique créé par une charge à travers une surface ouverte Le champ ???? E(M) créé par une charge q placée en un point P s'écrit : ???? E(M) = q ??u 4pi0r2 ou ??u est le vecteur unitaire défini par ??u = ??? PM PM et r = PM . Le flux élémentaire en un point M s'écrit alors : d? = ???? E(M).

  • ?? ds entourant le point

  • charge

  • vecteurs unitaires

  • symétrie de la distribution de charges

  • flux du champ électrostatique

  • analyse des symétries et des invariances de la distribution de charges

  • ?? ds


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Langue Français

Exrait

EM4 Interaction Électrostatique : ThÉorÈme de Gauss
I ThÉorÈmede Gauss I.1 Fluxdu champ Électrostatique I.1.a) Fluxd’un champ de vecteur Soit un champ de vecteurEprenant la valeurE(M)en un pointMd’une surfaceS. Cette surface est orientÉe normale sortante si elle est fermÉe et par une normale arbitraire si elle est ouverte. – Onappelle flux ÉlÉmentaire deE(M)À travers l’ÉlÉment de surfacedSentourant le point −−−→ −→−→ Mle produit scalaire=E(M).dSavecdS=dS nnest le vecteur normal À la surface. −→s– Leflux du champEÀ travers la surfaceSest la somme des flux ÉlÉmentaire :φ=E .dS S
I.1.b) Fluxd’un champ Électrostatique crÉÉ par une charge À travers une surface ouverte −→ q u−→ Le champE(M)crÉÉ par une chargeqplacÉe en un pointPs’Écrit :E(M) =2ouu 4π0r −−→ −→P M est le vecteur unitaire dÉfini paru=etr=P M. P M
Le flux ÉlÉmentaire en un pointMs’Écrit alors : −→ −→ q u.dS =E(M).dS=2. 4π0r d’oÙ le flux rÉsultant sur la surfaceS: −→ s−→ q u.dS φ=2 4π0S r
I.1.c) Fluxd’un champ Électrostatique crÉÉ par une charge À travers une surface fermÉe vLe flux du champ Électrostatique s’Écrit alorsφ=E .dSOn admet les rÉsultats suivants : S Le pointP(q)est À l’intÉrieur de la surface fermÉeS −→ Le flux deEÀ traversSne dÉpend pas du pointPni de q la forme deSet il s’exprime parφ= 0 Remarque :Si le pointPse situe au centre d’une sphÈre, 2 le vecteur ÉlÉment de surface s’ÉcritdS=rsinθdθdϕet ss q u. n dSq q φ=2= sinθdθdϕ= 4π0r4π00 Le pointP(q)est À l’extÉrieur de la surface fermÉeS 0 On dÉcomposeSen couples de surface ÉlÉmentaires (dS, dS) : les flux ÉlÉmentaires À travers ces surfaces s’annulent deux À deux. Le flux du champ Électrostatique crÉÉ par une charge ponc-tuelleqÀ travers une surface fermÉe quelconque est nul siqest extÉrieur au volume dÉlimitÉ parS:φ= 0
I.2 ThÉorÈmede Gauss Les rÉsultats prÉcÉdents se gÉnÉralisent À des distributions de charges quelconques par le principe de superposition. Ce thÉorÈme constitue un outil essentiel pour calculer le champ Élec-trostatique en tout point de l’espace lorsque la symÉtrie de la distribution de charges le permet.
I.2.a) Distributionde charges discrÈtes
vΣqint φ=E .dS= S 0
I.2.b) Distributioncontinues de charges vQint φ=E .dS= S 0 Qintse dÉtermine À partir des densitÉs linÉque, surfacique ou volumique de charges : t sR Qint=ρdτouQint=σdSDouQint=λdlVDSDLD VD,SDetLDsont les parties de la distribution inclues dans le volume intÉrieur dÉfini par la surface fermÉeS.
I.3 ConsÉquencesdu thÉorÈme de Gauss I.3.a) Fluxconservatif en l’absence de charges Dans cette partie on se place dans une rÉgion vide de charges; le thÉorÈme de Gauss s’Écrit valorsφ=E .dS= 0. Soit un tube de champ formÉ par deux sections quelconquesS1etS2: Le thÉorÈme de Gauss s’Écrit : vs−→s−→s−→−→ E .dS=E .dS1+E .dS2+E .dSlat= 0 S s−→−→ orE .dSlat= 0d’aprÈs la dÉfinition du tube de −→−→s−→s−→champ (EdSlat) soitE .dS1+E .dS2= 0or dS1=S1n1=S1n2d’oÙφ1=φ2.
Le flux se conserve À travers toute section du tube de champ : on dit que le flux est conservatif.
I.3.b) ThÉorÈmede l’extremum de potentiel Le potentiel Électrostatique ne peut pas prÉsenter d’extremum en un point de l’espace dÉpourvu de charges. DÉmonstration par un raisonnement par l’absurde: On considÈre une surface fermÉeSau voisinage d’un pointMdans une rÉgion vide de charge. On fait l’hypothÈse que le potentiel est est extrÉmal enM. Les lignes de champ divergent (ou convergent) alors de ce pointM. Le flux À traversSest donc soit positif soit nÉgatif. On est donc en contradiction avec le thÉorÈme de Gauss : L’hypothÈse est fausse.
II Calculsde champ par le thÉorÈme de Gauss II.1 MÉthodede calcul i. Choixd’un systÈme de coordonnÉes adaptÉ À la gÉomÉtrie de la distri-−−−→ bution de charges crÉant le champE(M). ii. Analysedes symÉtries et des invariances de la distribution de charges : −−−→ DÉtermination de la direction du champE(M)(symÉtries) −−−→ DÉtermination de la dÉpendance de||E(M)||(invariances) −−−→ iii. Choixde la surface de Gauss :Spour dÉterminerE(M) La surface passe par le pointM −−−→ La norme||E(M)||est identique en tout point deS −−−→ E(M)est normal ÀSen tout point de la surface (surface Équipoten-tielle) Pour obtenir des surfaces fermÉes on pourra complÉter par des surfaces −−−→ de flux nulle (surfaces perpendiculaire ÀE(M)) iv. Applicationdu thÉorÈme de Gauss vQint φ=E(M).dS= S 0 −−−→ Qint ||E(M)||= 0S
II.2 Exemplesde calculs II.2.a) Filinfini II.2.b) PlanuniformÉment chargÉ