Interférences ondes multiples avec un réseau de fentes

Alain Robichon

Description

Niveau: Elementaire
LES RÉSEAUX. Page 1/ 6 INTERFÉRENCES À ONDES MULTIPLES PAR UN RÉSEAU. I : Ce que vous ne pouvez pas deviner. 1°) Description succincte des réseaux. Un réseau est une structure périodique imposant à une onde plane incidente une variation périodique de son amplitude, de sa phase ou des deux à la fois. Dans son principe général de fonctionnement, un réseau diffracte l'onde in- cidente. Cela revient aussi à considérer un phénomène d'interférences à on- des multiples par chacun des motifs élémentaires du réseau. ? Le réseau le plus simple est constitué par un ensemble de fentes parallèles réalisant une transmittance en amplitude périodique binaire. ? Les premiers réseaux d'excellente qualité furent réalisés par Rowland en 1882 (en traçant des traits équidistants sur une lame de verre à l'aide d'une pointe en diamant). ? Actuellement, on réalise d'excellents réseaux à partir de l'interférence d'ondes planes : ce sont les réseaux holographiques (réseaux sinusoïdaux dont la transmittance est proportion- nelle à l'intensité du phénomène d'interférences). 2°) Les grandeurs caractéristiques d'un réseau. ? Le pas du réseau: noté a (ou d), encore appelé période spatiale du réseau. Pas a = distance entre deux fentes consécutives (ou deux motifs consécutifs). On définit aussi l'inverse de a, noté n¸ indiquant le nombre de périodes (on dit aussi traits ou lignes) par unité de longueur .

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Sujets

• Onde plane
• Réseau

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Extrait

LES RÉSEAUX. INTERFÉRENCES À ONDES MULTIPLES PAR UN RÉSEAU. I : Ce que vous ne pouvez pas deviner. 1°) Description succincte des réseaux. Unréseauest une structure périodique imposant à une onde plane incidente une variation périodique de son amplitude, de sa phase ou des deux à la fois. Dans sonrinci eénéral de fonctionnement, un réseaudiffracte l'onde in- cidente. Cela revient aussi à considérer unhénomène d’interférences à on- des multiplespar chacun des motifs élémentaires du réseau. ¾réseau le plus simple est constitué par un ensemble de Lefentes parallèlesune réalisant transmittance en amplitude périodiquebinaire. ¾ Lespremiers réseaux d'excellente qualité furent réalisés par Rowland en 1882 (en traçant des traits équidistants sur une lame de verre à l'aide d'une pointe en diamant). ¾ Actuellement,on réalise d'excellents réseaux à partir de l'interférence d'ondes planes : ce sont les réseaux holographiques (réseaux sinusoïdaux dont la transmittance est proportion- nelle à l'intensité du phénomène d'interférences). 2°) Les grandeurs caractéristiques d'un réseau. ¾Le pas du réseau: notéa(ou d), encore appelépériode spatialedu réseau. Pas a= distance entre deux fentes consécutives (ou deux motifs consécutifs).  Ondéfinit aussil'inverse de a, notén¸ indiquant le nombre de périodes (on dit aussi "traits" ou "lignes") par unité de longueur .nest souvent donné ennombre de lignes par millimètre(voire en nombre de lignes par inche, oulpi!). ¾Autres caractéristiques du réseau:- la largeurAdu motif élémentaire (d'un trait),  -le nombre total de traits utilisé N,  -la largeur L de la zone éclairée: L = a.N. II : Ce qu’il faut retenir. 1°) La relation fondamentale des réseaux par transmission.  Considéronsun réseau de fentes éclairé x (L) avec une OPPM incidente de longueur d’onde λ, tombant sous une incidenceθ(angle comp- 0 té par rapport à la normale au plan du réseau).  Lesdifférentes fentes se comportent P comme des sources secondaires, mutuellement θ cohérentes pouvant interférer entre elles. 0  Chaquefente (ou trait) diffracte l'onde in- cidente, donnant dans la direction faisant l'an- f' gleθla normale au plan du réseau, un avec réseau rayon d'amplitude A(θ).  Ons'intéresse ensuite au phénomène d'in- terférences à ondes multiples entre les rayons diffractés dans la directionθpar les N traits utilisés. # le résultat suivant, qui constitue la relation fondamentale des réseaux par transmis- Montrer sion, donnant la position angulaire des « pics principaux » d’intensité : On obtiendra des interférences constructives à l’infini (franes brillantes) si : θ−λ a.(sin sin)m. , avecm entier. 0 Page 1/ 6

LES RÉSEAUX. 2°) Discussion. ¾La valeur dementier donnant un pic principal définitl'ordrede diffraction du réseau.  Pourl'ordre zéro, on obtientθ=θpour toute longueur d'onde: l'ordre zéro est dans lepro- 0 longement de l'onde plane incidente, à lacouleur de la source.  Sim≠0, la position des pics dépend deλ:un réseau disperse la lumière blanche(voir §III). ¾On observe nécessairement unnombre limité d'ordres. En supposant queθ= 0, il reste: 0 a a a m =sinθ≤).= ent(Donc m . max λ λ λ 1 Si a(ou si n =), on voit moins d'ordres de diffraction, mais leur sépara- a tion angulaire est plus importante. Remarque :Il existe une seconde cause de limitation de m, liée à la diffraction par chaque fente du ré- max seau (avec diminution d’autant plus grande de l’intensité diffractée que l’ordre est plus grand). Quand l'or- dre augmente, les pics sont de moins en moins lumineux, le maximum étant obtenu pour l'ordre zéro, sans intérêt car le pouvoir dispersif est nul dans cet ordre : c'est pour cette raison que les réseaux de fentes sont pratiquement abandonnés. ¾fur et à mesure que l'ordre augmente, on peut observer un recouvrement des ordres, no- Au tamment en travaillant avec une source polychromatique, conduisant à une interprétation dé- licate des raies observées. 3°) Cas des réseaux par réflexion.  Lesréseaux utilisés en pratique (dans les spectromètres par exemple) sont toujours des réseaux par ré- flexion. En effet, un réseau par transmission doit obligatoirement être déposé sur un support transparent, qui est à l’origine de défauts, dont notamment les réflexions parasites sur les dioptres, la réfraction disper- sive sur le dioptre d’entrée (n(λ)), la diffusion ou l’absorption de la lumière par le support.  Considéronsle réseau ci-contre, utilisé en ré- onde plane incidente sous i 0 flexion, constitué de N zones parallèles réfléchissan- tes, centrées en O, O, .. O, … de largeur très petite 1 2p i 0 et de longueur infinie, séparées les unes des autres onde par une même distancea(aest le pas du réseau). plane K H p p diffractée  Onéclaire ce réseau par une O.P.P.M. de lon-  suivantθ gueur d’ondeλ, de direction de propagation perpen- diculaire à celle des traits, sous une incidence i. O O …O 0 1 2p  Onobserve la lumière diffracté par réflexion par le a pa réseau suivant la directionθ.  Lesangles ietθsont tous les deux définis par rapport à la normale au plan du réseau, et orien- 0 tés dans le même sens (voir figure). # Montrer que la différence de marche entre le rayon diffracté en O 1 et celui diffracté en O p , en pre ffracté 1 mme origine s’écrit : δ 1p =n air ( H p O 1 +O 1 K ) nant le rayon dien Oco →p . 2π2π ϕ δasin(i) sin()  Endéduire que le déphasage correspondant vaut : p = 1→p =p [ 0 +θ ] λ λ 0 On retient : La relation fondamentale des réseauxar réflexion donnant laosition anu- laire des « pics principaux » d’intensité (interférences constructives à l’infini) est : . sinθ+ =λ a [ ( )sin(i 0 )m. , avecm entier. Page 2/ 6

LES RÉSEAUX. III : Aspect pratique : emploi des réseaux en spectroscopie. 1°) Minimum de déviation. réseau θ ¾ Dansun réseau par transmission, la déviation de l'onde incidente passe par un minimum comme P θ 0 pour la dispersion avec un prisme. La déviation par un réseau s'écrit D =θ-θ 0 # Montrer que pour une longueur d’onde donnée, cettedéviation est minimalepour :

θ= -θet alorsD =2.θ. 0 min0 ¾ L'utilisationd'un réseau au minimum de déviation permet de comparer deux longueurs d'onde, et donc d'en déterminer une connaissant l'autre, ou encore de mesurer le pas du ré- seau, en utilisant une raie de longueur d'onde connue (Voir TP sur spectroscope à réseau). 2°) Utilisation d’une source polychromatique.  Pourun réseau donné (a fixé), éclairé par une onde plane (angle d’incidenceθfixé), la 0 position angulaire (angle θ ) des pics principaux dans un ordre donné dépend de la longueur d’onde considérée : un réseau constitue un système disper- sif (comme un prisme).  Plusprécisément, la courbe donnant les va- riations de sin(θ) en fonction deλune est droite affine, de pentem/a (m estl’ordre eta le pas du réseau).  Onmet à profit ce pouvoir dispersif pour analyser la lumière émise par une source don- née : c’est le domaine de laspectroscopie. Remarque :  Sile prisme et le réseau sont deux systèmes dispersifs, les phénomènes physiques mis en jeu sont très différents dans les deux cas.  Avecun prisme, la dispersion est due à la dépendance de l’indice avec la longueur d’onde : n(λ).  Avecun réseau, la dispersion vient d’un phénomène interférentiel à N ondes (qui s’explique avec la prise en compte de la diffraction par chaque motif).

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LES RÉSEAUX. IV : Compléments (hors programme). 1°) Expression générale de l'intensité diffractée par un réseau.  Leréseau est éclairé par une OPPM (longueur d'ondeλ) tombant sous l'incidenceθ. 0  SoitA(θ) l'amplitude de l'onde plane diffractée dans la directionθpar une fente du réseau.  Nousavons déjà vu qu'elle est en phase avec le rayon émis par le centre de la fente suivant cette directionθ. sin−sin 0 =  Posons u . Soitεla largeur de chaque fente du réseau. A(u) est de la forme: λ A(u) = C. sinc(π.u.ε), où C est une constante indépendante de la fente considérée.  Exprimonspour la première fente (n° 1) la vibration lumineuse diffractée à l'infini à un instant t, en représentation complexe sous la forme: s= A(u).exp(jωt) (C'est toujours possible par un 1 choix judicieux de l'origine des dates).  L'ondeplane diffractée dans la directionθpar la fente n° 2 présente par rapport à la fente n° 1 2 π un déphasage supplémentaire "à l'infini" deϕ = a.(sin θ - sin θ ) = 2 π ua . (déphasage calculé au 0 λ centre des fentes). La vibration s'écrit en représentation complexe: s= A(u).exp(jωt).exp(-jϕ). 2 etc …  Lavibration diffractée suivantθ= A(u).exp(jpar la fente n° p s'écrit: sωt).exp[-j(p-1)ϕ]. p  CesN ondes, mutuellement cohérentes, interfèrent entre elles à l'infini. La vibration résultante ϕ ⎛ N ⎞ ⎡ (N−1)ϕ ⎤ N sin ⎜ ⎟ jωt − ⎢ ⎥ 2 ⎝ 2 ⎠ ⎣ ⎦ ∑ est: s = A(u).exp(jωt) { exp[−j(p−1)ϕ] }. Soit encore : s = A(u)e. ϕ ⎛ ⎞ p=1 sin ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ 2 ⎫ 1 2 ⎧ sin(Nπua) =π ε L'intensité diffractée s'écrit: I(u) =s.s*, qui conduit à : I(u)I(0).[sinc(u)] . ⎨ ⎬ . 2 ⎩ sin(πua) ⎭  L'intensitéest donc le produit d'un facteur de diffraction (par une seule fente) en sinus cardinal et d'un terme d'interférences (fonction réseau) à variations spatiales beaucoup plus rapides.  Quandl'ordre augmente, les pics sont de moins en moins lumineux, le maximum étant obtenu pour l'ordre zéro (sans intérêt car le pouvoir dispersif est nul dans cet ordre): c'est pour cette rai- son que les réseaux de fentes sont pratiquement abandonnés. Les réseaux effectivement utilisés dans les spectromètres sont presque toujours des réseaux par réflexion, dont le motif est choisi pour concentrer toute la lumière sur un seul ordre, différent de zéro. 2°) Pouvoir de résolution d'un réseau. On a vu que le réseau présente, comme le prisme, un certain pouvoir dispersif: la déviation dé- ‰ pend de la longueur d'onde. Quelle est le plus petit écart en longueur d'ondeΔλdétectable ? min  Onpeut prendre comme critère visuel le critère de Rayleigh: La distance entre deuxics rinciaux (d'un même ordre !)our deux lon- ueurs d'ondeλetλ+ dλour l'unue le maximumêtre tellelus rèsdoit au des pics coïncide avec le zéro du pic principal pour l'autre. On définit lepouvoir de résolution (P.R.)d'un réseau (ou d'un prisme) par la quantité sans ‰ = dimension: P.R. . Δλ min Page 4/ 6

LES RÉSEAUX. λ  Lesmaxima principaux d'ordre m vérifient la relation: sinθ- sinθ= m. m 0 a  Lepied du pic principal d'ordre m , pour la longueur d'ondeλobtenu pour l'angle estθ, très 1 λ proche deθtel que: sinθ- sinθ= (m± ) . m 0 N a 1λ λ+ dλ  Lecritère de Rayleigh conduit à l'égalité: (m +) =m (ensupposant que dλ> 0). N aa On en déduit le pouvoir de résolution dû au réseau seul, (oupouvoir de ré- λ P.R.= =m.N solution intrinsèque ): int , où m est l'ordre observé N et Δλ min le nombre total de fentes utilisées. Le pouvoir de résolution réel (ou effectif) est toujours beaucoup plus faible que la résolu- tion intrinsèque ( au moins 10 fois plus faible): l'écart provient essentiellement de la largeur de la fente d'entrée du collimateur (Pour obtenir l'onde plane incidente qui éclaire le réseau). 3°) Compléments mathématiques. La fonction "réseau". Les rére uismathémati ues: −iϕ−2iϕ−i(N−1)ϕ 1.Calcul de la somme: S=1+e+e+"+e . S est la somme des Nremiers termes d'une suiteéométri ue: Nϕ ⎛ ⎞ (N−1)ϕ sin − iN ϕ ⎜ ⎟ i 1 − e 2 ⎝ ⎠ 2 S = = e ⋅ −iϕ ϕ 1 − e ⎛ ⎞ sin ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ 2 ⎛ ⎛ N ϕ ⎞ ⎞ ⎜ sin ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎜ ⎟ 2.Fonction réseau: ℜ (ϕ) = , N entier avec en pratique N >> 1. ⎜ ⎛ ϕ ⎞ ⎟ sin ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎠ ‰ La fonction réseau est une fonctionpaire,2 π− périodiqueen ϕ . ‰ ℜ(ϕ)s'annule pour Nϕ= 2q.π, avecq entier, q≠0 etq/N non entier. ‰ Pourϕ= 2p.π, avec p entier,ℜ ϕest indéterminée. Étant donnée la pé- riodicité de la fonction réseau, on lève cette indétermination en exami- nant le comportement de ℜ ϕ e deau voisina ϕ = 0. 2  Ainsi : lim ℜ ( ϕ ) = N . ϕ→0 ‰ Entre deux minima nuls on obtient des maxima secondairesou des maxima principaux deux fois plus larges pour ϕ  =2p. π , avec p entier). Une discussionra hi ue de d ℜ /d ermetde montrerue ces maxima secondaires sont très peu marqués: Ainsi seuls sont visibles les maxima principaux, tels que ϕ = 2p. π , p entier. 2π ‰ La largeur à mi hauteur des pics principaux est Δϕ≈ . N

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LES RÉSEAUX.