Lycée Brizeux Mathématiques PCSI A

Description

Niveau: Elementaire
Lycée Brizeux Mathématiques PCSI A 2010-2011 Feuille d'exercices 4 : Géométrie élémentaire du plan Généralités. Exercice 1. Soit A, B et C trois points non alignés du plan et p un réel. On considère les points A?, B? et C ? définis par : ??? AA? = p ??? AB ; ??? BB? = p ??? BC ; ??? CC ? = p ?? CA. 1. Les points A?, B? et C ? peuvent-ils être alignés ? Justifier. 2. Exprimer A? (resp. B?, C ?) comme un barycentre des points A et B (resp. B et C, C et A). 3. Montrer que les triangles ABC et A?B?C ? ont le même centre de gravité. Exercice 2. La droite d'Euler. Soit ABC un triangle du plan. On note respectivement G, H et O son centre de gravité, son orthocentre et le centre de son cercle circonscrit. 1. SoitM le point tel que ??? OM = ?? OA+ ??? OB+ ??? OC. Montrer queM = H. ( Indication : exprimer ??? AM en fonction de ?? OI avec I milieu de [BC] ; en déduire que (AM)?(BC). Raisonner de même avec les autres points du triangle.

• repère orthonormé direct


• rayon


• droite d'euler


• centre du cercle


• ?? rc


• ??? ob


• coordonnées

Sujets

• Mathématiques
• Droite d'Euler
• Coordonnées

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Extrait

PCSI A2011-2012

Mathématiques

Feuille d’exercices 4 : Géométrie élémentaire du plan

Généralités

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0 00 Exercice 1.SoitA,BetCtrois points non alignés du plan etpun réel. On considère les pointsA,BetC définis par : −→ − − → −→ − → −−→ −→ 0 0 0 AA=pAB;BB=pBC;CC=pCA. 0 00 1. LespointsA,BetC? Justifier.peuvent-ils tre alignés 0 00 2. ExprimerA(resp.B,C) comme un barycentre des pointsAetB(resp.BetC,CetA). 0 0 0 3. Montrerque les trianglesABCetA B Cont le mme centre de gravité. Exercice 2.La droite d’Euler. SoitABCun triangle du plan. On note respectivementG,HetOson centre de gravité, son orthocentre et le centre de son cercle circonscrit. −−→−→−→−→ −−→ 1. SoitMle point tel queOM=OA+OB+OC. Montrer queM=H. ( Indication : exprimerAMen fonction −→ deOIavecImilieu de[BC]; en déduire que(AM)⊥(BC). Raisonner de mme avec les autres points du triangle. ) 2. Endéduire queO,GetHsont alignés (c’est la droite d’Euler du triangleABC) ou confondus. 3. SoitLle centre du cercle circonscrit au triangle dont les sommets sont les milieux des côtés du triangle ABC. Montrer queLest sur la droite d’Euler (si elle existe) du triangleABC.

Nombres complexes

Exercice 3.Le plan est muni d’un repère orthonormal direct. Montrer qu’un triangleABCest équilatéral direct si et seulement si : 2 a+jb+j c= 0, oùa,b,cdésignent les affixes respectives deA,B,C.

Exercice 4.Le plan est muni d’un repère orthonormal direct. SoitA,B,CetCquatre points du plan deux à deux distincts. Sur les côtés du quadrilatèreABCD, on construit les triangles isocèles rectanglesAP B,CQB, CRDetASDtels que :      −→ \ −→−→ \ −→−→ \ →−→− \ −→ π P B, P A=QB, QC=RD, RC=SD, SA= (2π). 2 On souhaite montrer queP QRSest un parallélogramme. Pour tout pointM, on noteml’affixe deM. 1 1. Montrerquep= (a(1 +i) +b(1−i)). Puis donner une expression similaire pourq,rets. 2 2. Endéduire quep+r=q+s. Conclure. 3. Donnerune condition nécessaire et suffisante sur les pointsA,B,CetDpour queP QRSsoit un rectangle.

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Mathématiques

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Repères orthonormés, produit scalaire et déterminant.   ~ ~ Sauf mention contraire, le planPest muni d’un repère orthonormé directRO, i, j.

 √  1 3 Exercice 5.On considère un vecteuru~−,et le pointC(0,1). 2 2 ~ 1. Donnerles coordonnées dansRdu vecteurv~tel que(~v,u~)est un base orthonormée directe deP. 2. SoitAde coordonnées(−1,1)dansR. Déterminer les coordonnées deAdans(~,u~,Cv)  √   √  −→ 3 11 3 Réponse :v=−,−.A=,. 2 22 2

~ ~ Exercice 6.SoitP(1,−1). Donner les coordonnées du pointM=O+ 2i+jdans le repère polaire attaché au √ √ 2 2 pointP. Réponse :M= (−,3 ) 2 2

−→ Exercice 7.Identités usuelles.Soient~uet~vdeux vecteurs deP. Établir les identités suivantes : −→−→ 2 −→ 2 −→ 2 −→−→ ku+vk=kuk+kvk+ 2u∙v −→−→ 2 −→ 2 −→ 2 −→−→ ku−vk=kuk+kvk −2u∙v −→ 2 −→ 2 →−→→−−→− kukk −vk= (u+v)∙(u−v) SoitABCun triangle direct, on notea=BC, b=AC, c=AB. Retrouverla formule d’Al Kâshi:   2 22 \ a=b+c−2b ccosBAC .

Exercice 8.L’orthocentre. 1. Montrer,en employant le produit scalaire, que les hauteurs d’un triangle sont concourantes. 2. SoitABCun triangle. On noteOle centre etRle rayon du cercle circonscrit àABC. Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct(O, e~ 1 e~, 2 ). On note respectivementα,βetγles angles polaires des points A,BetC. Montrer que les coordonnées de l’orthocentre deABCsont :

(R(cos(α) + cos(β) + cos(γ)), R(sin(α) + sin(β) + sin(γ)))

Exercice 9.SoitA(1,1)et~u(1,−1). Donner les coordonnées du projeté orthogonal d’un pointM(x, y)sur la droite passant parAet dirigée par~u(1,−1).

Exercice 10.SoitDune droite passant par un pointAet dirigé par un vecteur~u. Pour tout pointMdu plan, on note :d(M,D)la distance deMàD. Montrer l’égalité suivante :   2 −→ −−→ u 2 2 AM=d(M,D) +.AM . −→ ||u||

Remarque : faire aussi un dessin.

2 2 Exercice 11.Soitk∈R. On considère les trois points suivants :A(kk ,), B(−k,0), C(1, k).   −→−→ CalculerdetAB, AC. Que peut-on en conclure?

Exercice 12.Calculer l’aire du triangle formé par les points suivants :A(1,1),B(−1,3)etC(3, λ). A quelle condition cette aire est-elle égale à1?

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Applications numériques : entrainez-vous!

Exercice 13.On considère les pointsA(−1,0),B(2,4)etC(3,3) 1. Calculerl’aire du triangleABCpuis la distance deAà(BC). 2. Donnerune équation de la droite(AB). En déduire la longueur de la hauteur issue deC. 7 77 1. Aire =; distance =. 2.4x−3y+ 4 = 0; hauteur =. √ 2 5 2

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Exercice 14.SoitR(1,4),S(−4,2)etT(3,−1). Préciser la nature du triangleRSTet donner une équation cartésienne de la hauteur issue deR. Réponses :RST;est isocèle rectangle en ...7x+ 3y−5 = 0.

0 Exercice 15.SoientDetDles droites d’équationx+y= 1et2x+y= 1. 0 1. MontrerqueDetDse coupent en un pointΩdont on donnera les coordonnées. 2. SoitA(2,−2). Donner les coordonnées de 0 0 (a)B, projeté deAsurDparallèlement àD; (indication : la parallèle àDpassant parAcoupeDenB). 0 (b)C, projeté deAsurDparallèlement àD. 3. Calculerl’aire du parallélogrammeΩA B C. 0 4. Endéduire les distances deAàDetD. Réponses :Ω(0,1);B(1,0);C(1,−1);A ΩA B C = 1.

Exercice 16.SoientD 1 etD 2 les droites d’équation cartésienne respective2x+y= 0et−2x+ 4y+ 1 = 0. Déterminer des équations cartésiennes des bissectrices de ces deux droites. Réponses :6x−2y−1 = 0;2x+ 6y+ 1 = 0.

Exercice 17.Trouver l’équation du cercle de centreA(1,1)et tangent à la droite d’équation cartésienne −2x+y−1 = 0ainsi que les coordonnées du projeté orthogonal deAsur la droite. 4 2 2 1 7 Réponses :(x−1) +(y−1) =;(,). 5 5 5

Exercice 18.On considère les pointsO,A(1,0)etM(a, b). 1. Aquelle condition les pointsO,AetM?sont-ils alignés 2. Donnerune équation cartésienne pour les médiatrices de[OA]et de[OM]. 3. Donnerl’équation du cercle circonscrit (lorsqu’il exsite) au triangleOAM.

Exercice 19.SoitA(8,4)etB(1,−3). 1. Déterminerle rayon et le centreIdu cercleCpassant parO,AetB. La hauteur issue deOcoupe(AB)enHpuisCenR. 2. Déterminerles coordonnées deR On construit le symétriqueHdeRpar rapport à(AB). 3. Déterminerles coordonnées deH. 4. Vérifierque(AH)et(OB)sont orthogonales. Que dire du pointHpour le triangleOAB? Réponses :I(5,0), rayon= 5;R(5,−5);H(−1,1).

Exercice 20.Soit le cercleCde centreOet de rayon1. 1. Déterminerles coordonnées des points d’intersection (lorsqu’ils existent) deCet du cercleC R de centre A(1,0)et de rayonR≥0. 2. OnnoteM R le point d’intersection d’abscisse≥0(lorsqu’il existe). Déterminer les coordonnées du centre de gravitéΩ R du triangleOAM R . 3. Décrirel’ensemble des pointsΩ R lorsqueRparcourtR + .

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Droites et cercles

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2 2 Exercice 21.Equation d’une tangente. On considère le cercleCd’équationx+y+ 2αx+ 2βy+γ= 0, 2 2 avecα+β≥γ. SoitT(x 0 , y 0 )un point deCetDla tangente àCenT. p 2 2 1. MontrerqueCest le cercle de centreA(−α,−β)et de rayonR= α+β−γ. −→ 2. MontrerqueATest vecteur normal àD. 3. Endéduire qu’une équation deDest donnée par :x(x 0 +α) +y(y 0 +β) +αx 0 +βy 0 +γ= 0..

2 2 Exercice 22.Soit le cercleCd’équationx+y−4x−2y= 0etA(3,−2). Chercher une équation pour les tangentes tangentes àCpasant parA, par les deux méthodes suivantes : 1.Méthode 1.Utiliser la forme générale de l’équation d’une tangente pour trouver les coordonnées des pointsT 1 etT 2 de tangence. 2.Méthode 2.SoitΩde le centre deC; les pointsT 1 etT 2 de tangence sont surCet sur le cercle de diamètreAΩ. On trouveT 1 (4,0),T 2 (1,−1) .

2 Exercice 23.Pour toutk∈R, on noteD k la droite d’équation catésienne :(1−k)x+ 2ky= 4k+ 2. Montrer queΩ(1,2)est équidistant de toutes les droitesD k .

Exercice 24.SoitΓl’ensemble des cercles passant par le pointA(2,1)et tangents à la droite d’équation 4x−3y−10 = 0. Montrer qu’il existe dansΓun unique cercle de rayon minimal dont on déterminera une équation cartésienne.

Questions de géométrie plane

Exercice 25.SoitABCun triangle. Montrer que le centre de gravitéGdeABCpartage le triangleABCen trois trianglesABG,BCG,CGAde mme aire.

Exercice 26.Lignes de niveau. Soitfune application définie d’un planPversR; pour toutk∈R, on définit le sous-ensemble deP: L k ={M∈ P,tel quef(M) =k} L’ensembleL k est uneligne de niveaupourf. −→ −→ 1. Soientu6= 0etAun point du plan. Déterminer géométriquement les lignes de niveaux pour les appli- cations   −−→−−→ −→−→ h 1 :M7→uAM .eth 2 :M7→detuAM ,

2 2 2. SoientAetBdeux points du plan. Déterminer les lignes de niveau pourf:M7→M A+M B.Indication : introduire le milieuIde[AB]. 2 3.Fonctions de Leibniz; cette question généralise la précédente. SoientAetBdeux points du plan et(a, b)∈R tel quea+b6= 0. On noteGle barycentre de la famille(A, a),(B, b). 2 2 On considère l’applicationfdéfinie surPparf(M) =aM A+bM B. 2 (a) Montrerque pour toutM∈ P,f(M) =f(G) + (a+b)M G. (b) Endéduire les lignes de niveaux def.

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