Un théorème de la masse positive pour le
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Niveau: Elementaire
Un théorème de la masse positive pour le problème de Yamabe en dimension paire Pierre Jammes Résumé. Soit (M, g) une variété compacte conformément plate de dimen- sion n ≥ 4 et de courbure scalaire strictement positive. Selon une théorème de la masse positive dû à Schoen et Yau, le terme constant dans le développement de la fonction de Green du laplacien conforme est strictement positif quand (M, g) n'est pas conforme à la sphère ronde. Sur les variétés spin, Ammann et Humbert en ont donné une démonstration élémentaire, basée sur une preuve de Witten. En utilisant les formes di?érentielles au lieu des spineurs, nous en donnons une dé- monstration élémentaire sur les variétés de dimension paire, sans autre hypothèse sur la topologie. Mots-clefs : théorème de la masse positive, problème de Yamabe, formes di?é- rentielles. Abstract. Let (M, g) be a compact conformally flat manifold of dimension n ≥ 4 with positive scalar curvature. According to a positive mass theorem by Schoen and Yau, the constant term in the development of the Green function of the conformal Laplacian is positive if (M, g) is not conformally equivalent to the sphere. On spin manifolds, there is an elementary proof of this fact by Ammann and Humbert, based on a proof of Witten.

  • théorème de la masse positive

  • classe conforme

  • problème de yamabe

  • masse

  • variété

  • formule de transformation de la courbure scalaire pour les déformations conforme

  • invariante correspondante sur rn

  • courbure scalaire


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Exrait

(M;g)
n 4
(M;g)
(M;g)
n 4
(M;g)
n 6
4(n 1)L = + scalg g gn 2
ofmenrudinconform?dierenetR.deelemencourburecompactescalcasairehostrictemeofntoptconsistepd?cel?ositivmettane.rSelonari?t?sunelath?or?meHumdeinsteadlanmassevptroositivsescalaired?prop?[TScchoparenplateet3Y[LP87]).au,elelaplacientermeycononsttaenontwithoutdansordsleYd?v:eloppdeemenertconformededonlaApr?sfonctionladeamabGreenpuduleslaplacienm?triqueconformepestnstrictemen[Au76]tnonppositif[Sc84]quandpe(vtstrationcompacseari?t?asymptotiquemenvten'estppasfactconformemmann?ert,laprospUsingh?alrespinors,ronde.eSurprolesenvlaryiassumption.?t?spspin,massAmmanneetforms.Hum1.bLeertamabentrouonathaquedonn?vunened?monstrationla?l?mconstanenvtaire,erreurbas?e[YsurparuneN.-S.preuverecorrigerdepWitten.conformesEnpasutilisancourburetstrictemenlese.formestsdi??t?rAubeonvtiellemensdimensionauetlieuhodesdspineurs,5nouslesentdonnonsiuned?mod?-R.monstrationconsiste?l?men?tairevsureuclidiennelessuivvsiari?t?sositivdeladimensionthispaire,bsansAautreandhbypbasedoth?seasuroflaWitten.topdierenologie.iMots-clefsforms:ofth?worgiv?anmetarydeoflaevmassedimensiopaositivmanifolds,e,anprobl?meotherdeologicalYKeywamab:e,ositiformesedi?-theorem,renamabtielles.problem,Abstratialct.MSC2000Let58J50uneInSoitductionR?sum?.probl?meJammesYPierreeb?evadcompactnconformallycatclassemanifoldd'uneoari?t?fudimensionm?triquepairetdimensioncourbureenestwithte.paositivoireunescalardanscurvsolutionature.a60]Aos?ecYcordinge,toTagpaositivlaedansmassr68]theoremourbclassesyn'ad-Scthodeen?andsYalaireau,ttheositivconstanLestrestantermointther?soludevT.elopmenintpofuthelesGreenari?t?sfunctionconform?-oftthedeconformalourLaplacianeisparpScositiveneenifimensione?amabetYourdevprobl?meconform?menisplatesnotoconformalrlyLaequivnledesionScinenersible?pramenerrtil'?tuds'ild'uneuneari?t?ntidefolds,mani?rethereanis:alenconformeelemenplatedimen-massetdedetaryth?or?meproUnofalenesttvto(entheasphere.culierOnexistespin1mag P 2 M P
L = g P P
1
(x) = +A +f(x)P Pn 24(n 1)! rn 1
r = d(P;x) f(x) = O(r) !n 1
4
n 2n 1S (MnfPg; g)P
n nS nfPg R
A > 0 A
4
n 2(MnfPg; g)P
nR
3n 7
(M;g)
n 4
P2M A A = 0P P
(M;g)
n
n
2
surari?t?devE.laositive,[Wi81]noniqueCepca-:ph?repsmetriquelaari?t?sdelesolumesoitvilestpasymptotiquemenlatdueuclidiennede(cf.ar[LP87]).laOn(vappleelled?monstrationsouvypendetL'argumenprsurojestectioncst?rair?so?grdeaphiquespineurs,cetteeitzenconstructionYcaraelledug?n?raliseelautilisanproB.jectionl'onclassiquejectionsdem?menleconcised?signer?sultatsetque,deo?d?monstrationsurhir(1.1)qu'enformeautre.pasDanst[Sc84],ienneR.onfor-Scalairhoien),monesttresid'unecourburepartcqu'onassezpdi?renceeuttiellesr?soudreleleformprobl?mekdeprobl?meYe.amabE.eos?sielar?medeptles,tetlesd'autreaussipartequeblasimpli?econstandeste;emenari?t?spplateseutparticuli?remens'iden?l?gantiert,?tlatopmassevdeLeelopparticled?vdierun[admet?fonctioncettecetteneCommepaire,distributions.adestopsensvaul'orienque1.2.,ourlavari?t?masseo?tanettplate,uenstrictementindevilarianPourtconformeriemannienclassedesositive,veari?t?sseulementasymp-strictementotiquemenctsph?rplatesLadon1.2t?l'?tudeLa?tait?initialemenformestlieumotivon?equeparpair,desdeprobl?mes?issusourdeduladerelativit?amabg?n?rale.POnailleursestWittendoncpropramen?dansauunprobl?med?monstrationdeth?o-lademassemassepositivositivsure,vquiasymptotiquemenconsisteeuclidiennes?tmon-spineurstreroirque[Ba86]).laAmmannmassetd'uneHumvertari?t?tasymptotiquemendanstcasplproast?r?ographiquestesurdveconfor-cotuleurrbureestscalairetpetositivte.eendanestcespn?cessitenositivl'he,oth?sel'annologiqueulationladeari?t?laspin.massebutcaract?risancettesttellemoGreenla.deIlAH05]existemani?redif-s'arancf?rendetscondition.th?or?mestdefonctionnecedimensiontmaisypn'yeaucunedansrestrictiondesologiqueconlatexteari?t?,sm?meplustabilit?ouTh?or?memoinsSoitg?n?rauxtoudep-formesuneassezriemannetcamapt?eacteprobl?me.cconjecturem?mentaded'abourburordsc?t?emonptr?eetendimensiondimensiexopne.fonctiontoutunedet,oinmasseplaparpScethdanoositivenetetsiYtauscalairedansest[SY79]onformeetla[SY81],eeanonique.td?monstrationleth?or?mecasestdessimilaireprocellejections[AH05].st?r?ographiquesprincipaledeconsistevraisonnerari?t?sdesconform?mendi?rentauplatesdesestetcouvutiliseraertfaitparsi[SY88],escelaquiuleacWh?vbeclapr?solutileson(vestoirsimplelebiensurvdolau[He98]).2Cette = dd + dd
2d p L
d d
M
! d! = d! = 0
n(p+1)+1! = 0 d = ( 1) d
p n p :
(M)!
(M)
d
2d L
n n
2 2n :
(M)!
(M)
n
2! 2
(M) !
! = 0
n(M ;g) n
P2
M AP
g
g B (r ) rP 0 0
P
n MnfPg2
M
n nn
2’ 2 R0 2
nR d’ =0
d’ = 0 i0
n R nf0g di (’ ) = di (’ ) = 0 r0 0
n 4 nR i (g ) =r g ji (’ )j =r0
n nr (i (r ’ )) = 0 i (r ’ )r 0 0
n
n n
2’ 2 R ’0 2
0 0MnfPg ’ =i (’ ) +’ B (r )nP ’0 P 0
B (r )P 0

B (r =2) B (r ) ’P 0 P 0
MnfPg ’ =i (’ ) B (r )0 P 0
tecdeetMinerbplusest0unesurpropri?t?gconformede(clonlatrairemeneucltforme?dgetcalemenncencutVilaqueun).tConsid?ronsSimaintiellestenanctloune:v2.1.ari?t?-formecompactetainsi,[AH05],:deund?monstrationsilapart?ladepardimensiondoncpr?senpaire,paire.conform?menlatonplatedesetermetdesignecourburemaisscalaireendpdositivlee,tetestunexistepdeoincot-formesoireutvunem'aus.cCommevladi?ren-pConositivit?ondeledediraerttable.neunit?d?pconformeenrappdonpashniquesdu?rateurclaplacienhoutre,otinotexordonn?edesonlanem?triqueeucldansqueladoncclassequiconformelesdeetbn'aecte([Au98],d'orienpropcositioncar5.41),oorennconstanpoeutdroiteenl'origine.faitisuppparoser.quedelaharmoniquem?trique(leHumleesttielleplateurdanstune?crirepOnetitetblisseoulequeuel.n'estcommenceEmmanuneremercieconditionid?e1Jequide.radehorsyton,quandestd?nid?nieetecenformetr?esuite,enDansbienorien.sph?reLaestpremi?redi?omorphisme?tapdeequelquesdeelsla,d?monstrationaconsisteaussi?concernanconstruleirel'opuneesttdimensionsonsi-formeEnharmoniqueagissansur.r?pandue,onetpaslesco?rateursradiale,tp,ouraensuitequil'utiliserdi?renpformesour?estimer'appliquerla,masseddeplaepro),jectiondest?r?ographiquelededeoppasCommeceladetation,etcalghoixpard'unend?pdlaefsrmesoutilsi?sptielles?ciquesestauxteformesldi?renntielles.d'uneOnpassancommenceparparLemmeconstruireSoitunlmod?nid?leo?euclidienHodeIlformeuneharmoniquedualit?:lasoitsurm'asignevlaoirtelrecoquemmand?di?renlaagissansisparticulier,lesuneestformesuraltern?eloqu'onaussiidenptie).?l'adjoinla?tantEnformet.sur-formeladi?renfortetielleplinD?monstrationvOnarianpartehoisircorrespfonctionondanotequisurautariansurvest.(ceCettetielleformeetestenparall?le,dedonctrairemenin?tharmoniqueconform?menetestnotelectureunedeforme[LP87].sur2.lD?monstrationti.di?renL'inqu'unevonersionaCommen?onsalorsparsurrappel'harmonicit?pas?ortCeprolontte?e?tap0edehors.n?cessite3.d’ = 0 B (r =2)nfPg d’P 0
M B (r )P 0
n B (r ) d = d’ B (r )nfPgP 0 P 02
d’ MnfPg M
d = d’ MnfPg d = 01 1 1
d d
d’ = 0 B (r =2)nfPgP 0
M d = d’2 2
’ =’ 1 2
MnfPg
P
4
n 2L P G = 4(n 1)! g~ =G gg n 1 P
L (G) = 0g
scal = 0 (MnfPg;g~)g~
n’
2
(MnfPg;g~) ’ = 0
n
2
M
scal = 0 ’ =rr’ = 0 (MnfPg;g~)g~
Z Z Z
2 jr’j dv = hrr’;’i dv + hr ’;’i dsg~ g~ g~ g~ g~g~
MnB (r) MnB (r) S (r)P P PZ Z
1 2= hr ’;’i ds = @j’j ds g~ g~ g~g~2S (r) S (r)P P
g~ S (r) dsg~P
S (r) g~P
f rf(x) f(x) = O(1) r! 0
ort:enSid'uneoincar?(parestsuppltranatfonctionalorsdeassureGreenerdestevPladestrictemenauUpm?trique,oin[AH05],tdelemmesur,leonth?oriepunitaireosedeleseulemen;sdansdge,orttellesuppla?estsurgrationferm?eoirformeuneetspineuron.pdoncose.netusurenplisseesti?resurnonmaestdeoth?se.ypDuestfaitqueque.prolongetseari?t?stielle(1.1)di?rendoncformeune,psurscalaire,silavformdeuleindepartietransformationl'opdesalasurcourbure?scalairesurpconstructionour2.2.lescorollaired?formationsqu'ilconformehoisindiquesutque-forme1.2dansth?or?mevduetD?monstrationformeoth?se.desurargumenypEnd'hrestrictiongenreexactecePdeaussiensererue).dispo?seveour.normalCommedela,formetdlafournieinduiteparleleicilemmep2.1saestfaitdelesdegr?termet(onpeut,pelleo?reerslisseteositivharmoniquetsurestquicourbureoincar?surPexempledeersiblelemmeinduDiracl'utilisation.c'estne:t?,paresdonne4?rateurtiellquedi?renvformes?lesla.conditionJ.-Pn?cessite.suppBourguignoncompactaharmoniquemond'untr?la([Bo81],DanspropRemarqueosition([BT82],8.64.7.1)etalorsremarqueexiste8.7)irquecpalorsourIllesuneformes?deortdegr?telleec?rianvqueenferm?edimensionlissepaire,.leunetermetrouvdeermetcourburetdem?mela,formparticulier,ulelade?Wformeeitzensurb.?arcdkas'Commeesupx-(2.3)primetationuniquemenletecteur?(pl'aided'oriendu)teenntseursph?redel'hWeeyletetl'adjoindeHolaformecourbureolumescalairesur(vfaitoirtaussipar[La06],utilisepropD'uneositionart,4.2).utiliCommenaleestqueconform?menurtvplateconform?menetplatesquefonctioncasdansleppass'?criren'estonCeeut,etonclassiquemenatrouvsimplsuremformeenquandtquee).etdonc2n
n 22n 12 2 0 2n 2j’j = G j’j = + 4(n 1)! A +rf(x) ji (’ ) +’jn 1 0g~ g gn 2r
2n
n 2 n 1 n n 0 2 n 2= (1 + 4(n 1)! Ar +r f(x)) ji (r ’ ) +r ’jn 1 0 g
2n
n 2 n 1 n 2= (1 + 4(n 1)! Ar +r f(x)) n 1
n n 0 2n 0 2(1 +r hi (r ’ );’i +r j’j ):0 g g
nr (i (r ’ )) = 0 r! 0r 0
@ 2 n 3 n 3j’j = 8n(n 1)! Ar +o(r )n 1g~@r
2
@ 2 @n 2r = G r ds =g~@r @r
2(n 1)
n 1 (n 1)n 2G r ds r ds ds
n 1S
Z Z
12 2 20 jr’j dv = @j’j ds = 4n(n 1)! A+o(1)g~ g~g~ g~ n 12MnB (r) S (r)P P
A 0
A = 0
n
n2’ 2 R ’ (MnfPg;g~)0
n
2
(MnfPg;g~)
n(MnfPg;g~) R (M;g)
4
erlag([LP87],Gelemmeest6.4),la(2.6)1986.etPonAenAd?duitymptoticqued?signeonB.aYamab(2.4)(3),.lin?airesIlappl.restein?traiterelevcasao?sph?reEnHumberutilisantheoremtSpin.AL'in?galit?2005,pr?c?den?quationsteYamabp,ermet269296,d'armernonlinequeometrypR.ourmasstouteforme39,leguignonfait?queet,aussion?enR?f?rencesd?duitetquand,elatformeproblemquecorrespFondan,te56757sur[Au76](2.5)D'autretiellespart,probl?mepconcernantscalaireobtienmath.on55,),[Au98]??estprparall?le.iemannianOnSpringera1998.doncaruneTbanaseatdeCommun.(Math.et661-formesJ.-P.di?rentiellesdeparall?leslas,uron)o???et(conformeeclavcanonique.a[AH05]conjonctionAmmannEnE..t,etositivonmasspforeutheenedon?duiremanifoldsqu'il,existeom.aussiunct.unenal.base15dep.c6,hampsmath.DG/0304043.dT.eubinvecteursdi?renparall?lesnonouret?denoneullettcourbureaestJ.sonpur.d'Einstein,,p.Math.1976.63T.2ubin,Some263286,ar5oblemsauxRdegeformes,parall?les,Vil,sera[Ba86]parall?le.BPtnikarcons?quenhetoflaasvallyari?t?manifoldp,etit,Pursph?reAppl.la,dep.canonique693,olume[Bo81]vBourformeestLesplate,ari?t?sdoncdimensionisom?trique:signaturesinondonconstruitluncourburecharmoniquehamptdevInvent.ecteur,comme(in)tersectionp.de1981.noyon[BT82]IR.OnBottinianetofL.VW.R.Tu[Ter.DierComm.entialp.formvignoninPhys.algebruaiInvent.cctopolo[Wi81]gye,1981.SpringermanifoldsVit?erlaglin?aire,e1982.Comm.[He98]p.M.etHeratzcurvl(1),ichudingernonLesn.th?or?mesp.demasseositivpeositiv80eYRiemannian,Math.S?min.Jammesth?desor.isp215epctr.theoreg?om.h,7916,1981.p.e10712Y6,1998.anifolds,[La06]andM.-L.Labbi,4771,N.-S.OnWeitzenthebl?RiemannianctkAcurvNorm.ature,op274,eratorsWittennew,thepr?publication,e2006,theomath.DG/0607521.[LP87]Phys.J.p.Leea60]etT.deformationPonarker,,1960.TheeYamabvignoneysproblemLabd'analyse,g?om?trieBulF-84018l.iv-avignon.frAositivmer.massMath.m.SoIc.,,Mat17.(1),,p.(2),3791,231260,1987.[SY88][Sc84]SchoR.nSchoenS.-T.aConformalConformallydeformationmofKleagroupsriemannianscalarmeaturetr,iMath.c92top.constan1988.tr68]scalarTrcurvatureRemarksoncerning,coJ.formaDierdeformatientialofGestructuresom.compac,manifolds20,(2),np.Sc.479495,Sup1984.Pisa[SY79]22,R.265Schoen1968.etE.S.-T.YAaprouofpeOnnthergyprorofmof,theMath.p,ositiv(3),e381402,mass[YconjectureH.inamabegeneralrelativitayofstructures,compactComm.Math.OsakaPhys.J.,12,652137,(1),Pierrep.Univ4576,rs1979.d'A[SY81]etR.paSchoendeetaucluseS.-T.oratoYreanonuet(EA1)ProAofPierre.Jammes@unof6the