Un théorème de la masse positive pour le

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Niveau: Elementaire
Un théorème de la masse positive pour le problème de Yamabe en dimension paire Pierre Jammes Résumé. Soit (M, g) une variété compacte conformément plate de dimen- sion n ≥ 4 et de courbure scalaire strictement positive. Selon une théorème de la masse positive dû à Schoen et Yau, le terme constant dans le développement de la fonction de Green du laplacien conforme est strictement positif quand (M, g) n'est pas conforme à la sphère ronde. Sur les variétés spin, Ammann et Humbert en ont donné une démonstration élémentaire, basée sur une preuve de Witten. En utilisant les formes di?érentielles au lieu des spineurs, nous en donnons une dé- monstration élémentaire sur les variétés de dimension paire, sans autre hypothèse sur la topologie. Mots-clefs : théorème de la masse positive, problème de Yamabe, formes di?é- rentielles. Abstract. Let (M, g) be a compact conformally flat manifold of dimension n ≥ 4 with positive scalar curvature. According to a positive mass theorem by Schoen and Yau, the constant term in the development of the Green function of the conformal Laplacian is positive if (M, g) is not conformally equivalent to the sphere. On spin manifolds, there is an elementary proof of this fact by Ammann and Humbert, based on a proof of Witten.

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• formule de transformation de la courbure scalaire pour les déformations conforme


• invariante correspondante sur rn


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• Jammes
• Positive
• Minerbe
• Humbert
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Exrait

(M;g)
n 4
(M;g)
(M;g)
n 4
(M;g)
n 6
4(n 1)L = + scalg g gn 2
ofmenrudinconform?dierenetR.deelemencourburecompactescalcasairehostrictemeofntoptconsistepd?cel?ositivmettane.rSelonari?t?sunelath?or?meHumdeinsteadlanmassevptroositivsescalaired?prop?[TScchoparenplateet3Y[LP87]).au,elelaplacientermeycononsttaenontwithoutdansordsleYd?v:eloppdeemenertconformededonlaApr?sfonctionladeamabGreenpuduleslaplacienm?triqueconformepestnstrictemen[Au76]tnonppositif[Sc84]quandpe(vtstrationcompacseari?t?asymptotiquemenvten'estppasfactconformemmann?ert,laprospUsingh?alrespinors,ronde.eSurprolesenvlaryiassumption.?t?spspin,massAmmanneetforms.Hum1.bLeertamabentrouonathaquedonn?vunened?monstrationla?l?mconstanenvtaire,erreurbas?e[YsurparuneN.-S.preuverecorrigerdepWitten.conformesEnpasutilisancourburetstrictemenlese.formestsdi??t?rAubeonvtiellemensdimensionauetlieuhodesdspineurs,5nouslesentdonnonsiuned?mod?-R.monstrationconsiste?l?men?tairevsureuclidiennelessuivvsiari?t?sositivdeladimensionthispaire,bsansAautreandhbypbasedoth?seasuroflaWitten.topdierenologie.iMots-clefsforms:ofth?worgiv?anmetarydeoflaevmassedimensiopaositivmanifolds,e,anprobl?meotherdeologicalYKeywamab:e,ositiformesedi?-theorem,renamabtielles.problem,Abstratialct.MSC2000Let58J50uneInSoitductionR?sum?.probl?meJammesYPierreeb?evadcompactnconformallycatclassemanifoldd'uneoari?t?fudimensionm?triquepairetdimensioncourbureenestwithte.paositivoireunescalardanscurvsolutionature.a60]Aos?ecYcordinge,toTagpaositivlaedansmassr68]theoremourbclassesyn'ad-Scthodeen?andsYalaireau,ttheositivconstanLestrestantermointther?soludevT.elopmenintpofuthelesGreenari?t?sfunctionconform?-oftthedeconformalourLaplacianeisparpScositiveneenifimensione?amabetYourdevprobl?meconform?menisplatesnotoconformalrlyLaequivnledesionScinenersible?pramenerrtil'?tuds'ild'uneuneari?t?ntidefolds,mani?rethereanis:alenconformeelemenplatedimen-massetdedetaryth?or?meproUnofalenesttvto(entheasphere.culierOnexistespin1mag P 2 M P
L = g P P
1
(x) = +A +f(x)P Pn 24(n 1)! rn 1
r = d(P;x) f(x) = O(r) !n 1
4
n 2n 1S (MnfPg; g)P
n nS nfPg R
A > 0 A
4
n 2(MnfPg; g)P
nR
3n 7
(M;g)
n 4
P2M A A = 0P P
(M;g)
n
n
2
surari?t?devE.laositive,[Wi81]noniqueCepca-:ph?repsmetriquelaari?t?sdelesolumesoitvilestpasymptotiquemenlatdueuclidiennede(cf.ar[LP87]).laOn(vappleelled?monstrationsouvypendetL'argumenprsurojestectioncst?rair?so?grdeaphiquespineurs,cetteeitzenconstructionYcaraelledug?n?raliseelautilisanproB.jectionl'onclassiquejectionsdem?menleconcised?signer?sultatsetque,deo?d?monstrationsurhir(1.1)qu'enformeautre.pasDanst[Sc84],ienneR.onfor-Scalairhoien),monesttresid'unecourburepartcqu'onassezpdi?renceeuttiellesr?soudreleleformprobl?mekdeprobl?meYe.amabE.eos?sielar?medeptles,tetlesd'autreaussipartequeblasimpli?econstandeste;emenari?t?spplateseutparticuli?remens'iden?l?gantiert,?tlatopmassevdeLeelopparticled?vdierun[admet?fonctioncettecetteneCommepaire,distributions.adestopsensvaul'orienque1.2.,ourlavari?t?masseo?tanettplate,uenstrictementindevilarianPourtconformeriemannienclassedesositive,veari?t?sseulementasymp-strictementotiquemenctsph?rplatesLadon1.2t?l'?tudeLa?tait?initialemenformestlieumotivon?equeparpair,desdeprobl?mes?issusourdeduladerelativit?amabg?n?rale.POnailleursestWittendoncpropramen?dansauunprobl?med?monstrationdeth?o-lademassemassepositivositivsure,vquiasymptotiquemenconsisteeuclidiennes?tmon-spineurstreroirque[Ba86]).laAmmannmassetd'uneHumvertari?t?tasymptotiquemendanstcasplproast?r?ographiquestesurdveconfor-cotuleurrbureestscalairetpetositivte.eendanestcespn?cessitenositivl'he,oth?sel'annologiqueulationladeari?t?laspin.massebutcaract?risancettesttellemoGreenla.deIlAH05]existemani?redif-s'arancf?rendetscondition.th?or?mestdefonctionnecedimensiontmaisypn'yeaucunedansrestrictiondesologiqueconlatexteari?t?,sm?meplustabilit?ouTh?or?memoinsSoitg?n?rauxtoudep-formesuneassezriemannetcamapt?eacteprobl?me.cconjecturem?mentaded'abourburordsc?t?emonptr?eetendimensiondimensiexopne.fonctiontoutunedet,oinmasseplaparpScethdanoositivenetetsiYtauscalairedansest[SY79]onformeetla[SY81],eeanonique.td?monstrationleth?or?mecasestdessimilaireprocellejections[AH05].st?r?ographiquesprincipaledeconsistevraisonnerari?t?sdesconform?mendi?rentauplatesdesestetcouvutiliseraertfaitparsi[SY88],escelaquiuleacWh?vbeclapr?solutileson(vestoirsimplelebiensurvdolau[He98]).2Cette = dd + dd
2d p L
d d
M
! d! = d! = 0
n(p+1)+1! = 0 d = ( 1) d
p n p :
(M)!
(M)
d
2d L
n n
2 2n :
(M)!
(M)
n
2! 2
(M) !
! = 0
n(M ;g) n
P2
M AP
g
g B (r ) rP 0 0
P
n MnfPg2
M
n nn
2’ 2 R0 2
nR d’ =0
d’ = 0 i0
n R nf0g di (’ ) = di (’ ) = 0 r0 0
n 4 nR i (g ) =r g ji (’ )j =r0
n nr (i (r ’ )) = 0 i (r ’ )r 0 0
n
n n
2’ 2 R ’0 2
0 0MnfPg ’ =i (’ ) +’ B (r )nP ’0 P 0
B (r )P 0

B (r =2) B (r ) ’P 0 P 0
MnfPg ’ =i (’ ) B (r )0 P 0
tecdeetMinerbplusest0unesurpropri?t?gconformede(clonlatrairemeneucltforme?dgetcalemenncencutVilaqueun).tConsid?ronsSimaintiellestenanctloune:v2.1.ari?t?-formecompactetainsi,[AH05],:deund?monstrationsilapart?ladepardimensiondoncpr?senpaire,paire.conform?menlatonplatedesetermetdesignecourburemaisscalaireendpdositivlee,tetestunexistepdeoincot-formesoireutvunem'aus.cCommevladi?ren-pConositivit?ondeledediraerttable.neunit?d?pconformeenrappdonpashniquesdu?rateurclaplacienhoutre,otinotexordonn?edesonlanem?triqueeucldansqueladoncclassequiconformelesdeetbn'aecte([Au98],d'orienpropcositioncar5.41),oorennconstanpoeutdroiteenl'origine.faitisuppparoser.quedelaharmoniquem?trique(leHumleesttielleplateurdanstune?crirepOnetitetblisseoulequeuel.n'estcommenceEmmanuneremercieconditionid?e1Jequide.radehorsyton,quandestd?nid?nieetecenformetr?esuite,enDansbienorien.sph?reLaestpremi?redi?omorphisme?tapdeequelquesdeelsla,d?monstrationaconsisteaussi?concernanconstruleirel'opuneesttdimensionsonsi-formeEnharmoniqueagissansur.r?pandue,onetpaslesco?rateursradiale,tp,ouraensuitequil'utiliserdi?renpformesour?estimer'appliquerla,masseddeplaepro),jectiondest?r?ographiquelededeoppasCommeceladetation,etcalghoixpard'unend?pdlaefsrmesoutilsi?sptielles?ciquesestauxteformesldi?renntielles.d'uneOnpassancommenceparparLemmeconstruireSoitunlmod?nid?leo?euclidienHodeIlformeuneharmoniquedualit?:lasoitsurm'asignevlaoirtelrecoquemmand?di?renlaagissansisparticulier,lesuneestformesuraltern?eloqu'onaussiidenptie).?l'adjoinla?tantEnformet.sur-formeladi?renfortetielleplinD?monstrationvOnarianpartehoisircorrespfonctionondanotequisurautariansurvest.(ceCettetielleformeetestenparall?le,dedonctrairemenin?tharmoniqueconform?menetestnotelectureunedeforme[LP87].sur2.lD?monstrationti.di?renL'inqu'unevonersionaCommen?onsalorsparsurrappel'harmonicit?pas?ortCeprolontte?e?tap0edehors.n?cessite3.d’ = 0 B (r =2)nfPg d’P 0
M B (r )P 0
n B (r ) d = d’ B (r )nfPgP 0 P 02
d’ MnfPg M
d = d’ MnfPg d = 01 1 1
d d
d’ = 0 B (r =2)nfPgP 0
M d = d’2 2
’ =’ 1 2
MnfPg
P
4
n 2L P G = 4(n 1)! g~ =G gg n 1 P
L (G) = 0g
scal = 0 (MnfPg;g~)g~
n’
2
(MnfPg;g~) ’ = 0
n
2
M
scal = 0 ’ =rr’ = 0 (MnfPg;g~)g~
Z Z Z
2 jr’j dv = hrr’;’i dv + hr ’;’i dsg~ g~ g~ g~ g~g~
MnB (r) MnB (r) S (r)P P PZ Z
1 2= hr ’;’i ds = @j’j ds g~ g~ g~g~2S (r) S (r)P P
g~ S (r) dsg~P
S (r) g~P
f rf(x) f(x) = O(1) r! 0
ort:enSid'uneoincar?(parestsuppltranatfonctionalorsdeassureGreenerdestevPladestrictemenauUpm?trique,oin[AH05],tdelemmesur,leonth?oriepunitaireosedeleseulemen;sdansdge,orttellesuppla?estsurgrationferm?eoirformeuneetspineuron.pdoncose.netusurenplisseesti?resurnonmaestdeoth?se.ypDuestfaitqueque.prolongetseari?t?stielle(1.1)di?rendoncformeune,psurscalaire,silavformdeuleindepartietransformationl'opdesalasurcourbure?scalairesurpconstructionour2.2.lescorollaired?formationsqu'ilconformehoisindiquesutque-forme1.2dansth?or?mevduetD?monstrationformeoth?se.desurargumenypEnd'hrestrictiongenreexactecePdeaussiensererue).dispo?seveour.normalCommedela,formetdlafournieinduiteparleleicilemmep2.1saestfaitdelesdegr?termet(onpeut,pelleo?reerslisseteositivharmoniquetsurestquicourbureoincar?surPexempledeersiblelemmeinduDiracl'utilisation.c'estne:t?,paresdonne4?rateurtiellquedi?renvformes?lesla.conditionJ.-Pn?cessite.suppBourguignoncompactaharmoniquemond'untr?la([Bo81],DanspropRemarqueosition([BT82],8.64.7.1)etalorsremarqueexiste8.7)irquecpalorsourIllesuneformes?deortdegr?telleec?rianvqueenferm?edimensionlissepaire,.leunetermetrouvdeermetcourburetdem?mela,formparticulier,ulelade?Wformeeitzensurb.?arcdkas'Commeesupx-(2.3)primetationuniquemenletecteur?(pl'aided'oriendu)teenntseursph?redel'hWeeyletetl'adjoindeHolaformecourbureolumescalairesur(vfaitoirtaussipar[La06],utilisepropD'uneositionart,4.2).utiliCommenaleestqueconform?menurtvplateconform?menetplatesquefonctioncasdansleppass'?criren'estonCeeut,etonclassiquemenatrouvsimplsuremformeenquandtquee).etdonc2n
n 22n 12 2 0 2n 2j’j = G j’j = + 4(n 1)! A +rf(x) ji (’ ) +’jn 1 0g~ g gn 2r
2n
n 2 n 1 n n 0 2 n 2= (1 + 4(n 1)! Ar +r f(x)) ji (r ’ ) +r ’jn 1 0 g
2n
n 2 n 1 n 2= (1 + 4(n 1)! Ar +r f(x)) n 1
n n 0 2n 0 2(1 +r hi (r ’ );’i +r j’j ):0 g g
nr (i (r ’ )) = 0 r! 0r 0
@ 2 n 3 n 3j’j = 8n(n 1)! Ar +o(r )n 1g~@r
2
@ 2 @n 2r = G r ds =g~@r @r
2(n 1)
n 1 (n 1)n 2G r ds r ds ds
n 1S
Z Z
12 2 20 jr’j dv = @j’j ds = 4n(n 1)! A+o(1)g~ g~g~ g~ n 12MnB (r) S (r)P P
A 0
A = 0
n
n2’ 2 R ’ (MnfPg;g~)0
n
2
(MnfPg;g~)
n(MnfPg;g~) R (M;g)
4
erlag([LP87],Gelemmeest6.4),la(2.6)1986.etPonAenAd?duitymptoticqued?signeonB.aYamab(2.4)(3),.lin?airesIlappl.restein?traiterelevcasao?sph?reEnHumberutilisantheoremtSpin.AL'in?galit?2005,pr?c?den?quationsteYamabp,ermet269296,d'armernonlinequeometrypR.ourmasstouteforme39,leguignonfait?queet,aussion?enR?f?rencesd?duitetquand,elatformeproblemquecorrespFondan,te56757sur[Au76](2.5)D'autretiellespart,probl?mepconcernantscalaireobtienmath.on55,),[Au98]??estprparall?le.iemannianOnSpringera1998.doncaruneTbanaseatdeCommun.(Math.et661-formesJ.-P.di?rentiellesdeparall?leslas,uron)o???et(conformeeclavcanonique.a[AH05]conjonctionAmmannEnE..t,etositivonmasspforeutheenedon?duiremanifoldsqu'il,existeom.aussiunct.unenal.base15dep.c6,hampsmath.DG/0304043.dT.eubinvecteursdi?renparall?lesnonouret?denoneullettcourbureaestJ.sonpur.d'Einstein,,p.Math.1976.63T.2ubin,Some263286,ar5oblemsauxRdegeformes,parall?les,Vil,sera[Ba86]parall?le.BPtnikarcons?quenhetoflaasvallyari?t?manifoldp,etit,Pursph?reAppl.la,dep.canonique693,olume[Bo81]vBourformeestLesplate,ari?t?sdoncdimensionisom?trique:signaturesinondonconstruitluncourburecharmoniquehamptdevInvent.ecteur,comme(in)tersectionp.de1981.noyon[BT82]IR.OnBottinianetofL.VW.R.Tu[Ter.DierComm.entialp.formvignoninPhys.algebruaiInvent.cctopolo[Wi81]gye,1981.SpringermanifoldsVit?erlaglin?aire,e1982.Comm.[He98]p.M.etHeratzcurvl(1),ichudingernonLesn.th?or?mesp.demasseositivpeositiv80eYRiemannian,Math.S?min.Jammesth?desor.isp215epctr.theoreg?om.h,7916,1981.p.e10712Y6,1998.anifolds,[La06]andM.-L.Labbi,4771,N.-S.OnWeitzenthebl?RiemannianctkAcurvNorm.ature,op274,eratorsWittennew,thepr?publication,e2006,theomath.DG/0607521.[LP87]Phys.J.p.Leea60]etT.deformationPonarker,,1960.TheeYamabvignoneysproblemLabd'analyse,g?om?trieBulF-84018l.iv-avignon.frAositivmer.massMath.m.SoIc.,,Mat17.(1),,p.(2),3791,231260,1987.[SY88][Sc84]SchoR.nSchoenS.-T.aConformalConformallydeformationmofKleagroupsriemannianscalarmeaturetr,iMath.c92top.constan1988.tr68]scalarTrcurvatureRemarksoncerning,coJ.formaDierdeformatientialofGestructuresom.compac,manifolds20,(2),np.Sc.479495,Sup1984.Pisa[SY79]22,R.265Schoen1968.etE.S.-T.YAaprouofpeOnnthergyprorofmof,theMath.p,ositiv(3),e381402,mass[YconjectureH.inamabegeneralrelativitayofstructures,compactComm.Math.OsakaPhys.J.,12,652137,(1),Pierrep.Univ4576,rs1979.d'A[SY81]etR.paSchoendeetaucluseS.-T.oratoYreanonuet(EA1)ProAofPierre.Jammes@unof6the