Espaces hermitiens Rappel On note A =tA¯ Matrice hermitienne A A Matrice antihermitienne A A

Description

• cours - matière potentielle : algebre

Espaces hermitiens : Rappel : On note A? =tA¯. Matrice hermitienne : A? = A. Matrice antihermitienne : A? = ?A. Matrice normale : A?A = AA?. Exercice 1 On pose E = C3, et on definit l'application q de E dans E par : q(x) = |x1| 2 + 3|x2| 2 + 6|x3| 2 + ix¯1x2 ? ix1x¯2 + 2ix2x¯3 ? 2ix¯2x3 a) Demontrer qu'il existe une forme hermitienne f : E?E ? E telle que pour tout x, f(x, x) = q(x). b) Calculer la matrice de f dans la base canonique. c) Calculer une base orthonormale de f . Correction a) Directement, ou matrice de q, ou formule de polarisation (mais c'est galere a calculer). On obtient : f(x, y) = x1y¯1+3x2y¯2+6x3y¯3+ix¯1y2?ix¯2y1+2ix¯3y2?2ix¯2y3. La forme f est evidemment hermitienne (vu son expression). b) La matrice de f est : [1 i 0] [-i 3 -2i] [0 2i 6] c) On part de la base canonique, et on applique Gram-Schmidt : e1 = (1, 0, 0) est le premier vecteur de la base. Pour calculer e2, on projette (0, 1, 0) sur l'orthogonal de e1, donc on cherche ? ? C tel que (0, 1, 0) + ?(1, 0

• dimension


• matrice hermitienne


• sauf erreur de calcul


• unique couple de matrices hermitiennes


• structure hermitienne canonique


• carres des modules des coefficients de ax

Sujets

• Algèbre
• Dimensión
• Hermitien

Informations

• Publié par: profil-urra-2012
• Nombre de lectures: 156
• Langue: Français

Extrait

Espaces hermitiens : ∗t∗ ∗ ¯ Rappel : On noteA=A. Matrice hermitienne :A=A. Matrice antihermitienne :A=−A. ∗ ∗ Matrice normale :A A=AA. 3 Exercice 1On poseE=Cotdne´nfie,icationitl’applqdeEdansEpar : 2 2 2 q(x) =|x 1 |+ 3|x 2 |+ 6|x 3 |+ix¯ 1 x 2 −ix 1 x¯ 2 + 2ix 2 x¯ 3 −2ix¯ 2 x 3 a)De´montrerqu’ilexisteuneformehermitiennef:E×E→Etelle que pour toutx,f(x, x) = q(x). b) Calculer la matrice defdans la base canonique. c) Calculer une base orthonormale def. Correction a) Directement, ou matrice deqn.Or)leuclaca`ere`lagts(maisc’erisationeledopalo,furoum obtient :f(x, y) =x 1 y¯ 1 +3x 2 y¯ 2 +6x 3 y¯ 3 +ix¯ 1 y 2 −ix¯ 2 y 1 +2ix¯ 3 y 2 −2ix¯ 2 y 3 . La formefidevt´esntmeem hermitienne (vu son expression).

b) La matrice defest : [1 i 0] [-i 3 -2i] [0 2i6]

c) On part de la base canonique, et on applique Gram-Schmidt : e 1 = (1,0,0) est le premier vecteur de la base. Pour calculere 2 , on projette (0,1,0) sur l’orthogonal dee 1 , donc on chercheλ∈Ctel que (0,1,0) +λ(1,0,0) = (λ,1,ogantroh1`l(aoito0)s,0,.O0)´enrudsof((λ,1,0),(1,0,0)) = 0, et on trouveλ=−i. Poure 3 , on projette (0,0,1) sur l’orthogonal dee 1 ete 2 , donc on chercheλetµtels que (0,0,1) +λe 1 +µe 2 nagoal`otioohtrse 1 ete 2 nt(saufquce´le`dae,momnemoemrpe´´rseuocdOn. adeux´equationsaulieud’une)etonobtientλ= 0 etµ=i/2. Finalement, on normalise les trois vecteursobtenus,etontrouvelabaseorthonorme´esuivante: √ √√ e 1 = (1,0,0), e 2 = (−i/2,1/2,0), e 3 = 3/2×(1/2, i/2,1) (Aconditionquemescalculssoientjustes,maisentoutcasl’id´eeestla`.) 3 Exercice 2SoitE=Cavec sa structure hermitienne canonique. SoitFseuo-sselnioatqu´ed’cepa x 1 −x 2 +ix 3 . a) Calculer l’orthogonal deF. b) Calculer la matrice de la projection orthogonale surFdans la base canonique. c) Trouver une base orthonormale deF. Correction a)Unvecteurorthogonal`aFest (1,−1, i). L’orthogonal deFcearep´edrenngtieedaorselt vecteur (pour des raisons de dimension).

b)Commedanslame´thodedeGram-Schmidt:oncherchelaprojectionde(1,0,0) surF parall`elementa`(1,−1, i). On calcule donc le produit scalaire de (1,0,0)+λ(1,−1, i) et de (1,−1, i), et lorsque ce produit scalaire est nul, on obtient la bonne valeur deλ. Au final, on a (1,0,jote)0rp´e sur (0,1,−i), et ainsi de suite. Sauf erreur de calcul, la matrice de la projection orthogonale est alors : [0 1 i] [1 0-i] [-i i0]

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