2ème cycle MB6 Introduction l'épidémiologie et aux biostatistiques variabilité causalité probabilité Année Universitaire

Nico

Description

Niveau: Supérieur
2ème cycle – MB6 - Introduction à l'épidémiologie et aux biostatistiques, variabilité, causalité, probabilité. Année Universitaire 2010- 2011 Faculté de Médecine Montpellier-NîmesP. DUJOLS (Mise ligne 27/0910– LIPCOM) Probabilités Objectifs • Comprendre la notion de probabilité • Comprendre le théorème de Bayes PARI s r la distrib tion des ariablesu u v population échantillontirage au sort Évènements incompatibles urne 100 boules 30 rouges 50 noires 20 vertes • Probabilité de tirer –1 boule rouge 30/100 –1 boule noire 50/100 –1 boule verte 20/100 –1 boule rouge ou verte (30+20)/100 –1 boule jaune 0/100 –1 boule ni rouge ni verte 50/100 P = nb cas favorables nb cas possibles • donc: rouge, noir, vert = évènements incompatibles –P(r) + P(n) + P(v) = 1 –P(non-r et non-n et non-v) = 0 –P(r ou v) = P(r) + P(v) –P(non-r et non-v) = P(n) évènements compatibles urne 100 boules 30 rouges 40 noires 20 vertes 10 rouges & vertes • Probabilité de tirer – 1 boule rouge (30+10)/100 – 1 boule noire 40/100 1 b l t (20 10)/100 P = nb cas favorables nb cas possibles – ou e

• courbe particulière avec ?


• loi de laplace-gauss


• faculté de médecine montpellier-nîmesp


• variable continue


• estimation des lois de probabilité


• boule


• probabilité


• évènements incompatibles

Sujets

• Loi normale
• Probabilité
• Événements incompatibles

Informations

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• Langue: Français

Extrait

2ème cycle –

MB6 -

Introduction à l'épidémiologie et aux biostatistiques, variabilité, causalité, probabilité.

Année Universitaire

2010- 2011

Faculté de Médecine Montpellier-Nîmes

P. DUJOLS

(Mise ligne 27/0910– LIPCOM)

Probabilités

Objectifs

• Comprendre la notion de probabilité

• Comprendre le théorème de Bayes

PARI

sur la distribution des variables

population

échantillon

tirage au sort

Évènements incompatibles

urne

100 boules

30 rouges

50 noires

20 vertes

• Probabilité de tirer

–1 boule rouge

30/100

–1 boule noire

50/100

–1 boule verte

20/100

–1 boule rouge ou verte

(30+20)/100

–1 boule jaune

0/100

–1 boule ni rouge ni verte 50/100

P =

nb cas favorables

nb cas possibles

•donc:

rouge

,

noir

,

vert

=

évènements incompatibles

–P(r) + P(n) + P(v) = 1

–P(non-r et non-n et non-v) = 0

–P(r ou v) = P(r) + P(v)

–P(non-r et non-v) = P(n)

évènements compatibles

urne

100 boules

30 rouges

40 noires

20 vertes

• Probabilité de tirer

– 1 boule rouge

(30+10)/100

– 1 boule noire

40/100

10

rouges

&

vertes

P =

nb cas favorables

nb cas possibles

– 1 boule verte

(20+10)/100

– 1 boule rouge ou verte

(30+20+10)/100

évènements compatibles:

P(r ou v) = P(r) + P(v) – P(r et v)

2ème cycle –

MB6 -

Introduction à l'épidémiologie et aux biostatistiques, variabilité, causalité, probabilité.

Année Universitaire

2010- 2011

Faculté de Médecine Montpellier-Nîmes

P. DUJOLS

(Mise ligne 27/0910– LIPCOM)

Probabilité: définition

• Probabilité

(définition axiomatique)

– à chaque événement

A

,

on associe un nombre

P(A)

•



A: 0 < P(A) <1

• P(S) = 1

•

P

(



) = 0

•



A,



B

P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A et B)

• Évènements incompatibles

• 2 évènements A et B sont incompatibles s’ils ne peuvent se réaliser

ensemble

– P(A et B) = 0

– P(A ou B) = P(A) + P(B)

• Événement complémentaire

• A et non-A sont: complémentaires (A + non-A = S) et disjoints

• P(non-A) = 1 – P(A)

Probabilité conditionnelle

50 boules



urne 1

18 rouges



30 noires



2 vertes



12 rouges

100 boules

30 rouges

50 noires

50 boules



urne 1

18 rouges



30 noires



2 vertes



12 rouges

50 boules



urne 1

18 rouges



30 noires



2 vertes



50 boules



urne 1

urne 1

18 rouges



30 noires



2 vertes



18 rouges



30 noires



2 vertes



12 rouges

12 rouges

12 rouges

100 boules

30 rouges

50 noires

100 boules

30 rouges

50 noires

30 rouges

50 noires

P(r et U1)

=

50 boules

urne 2

20 noires

18 vertes

urne totale

20 vertes

50 boules

urne 2

20 noires

18 vertes

50 boules

urne 2

20 noires

18 vertes

50 boules

urne 2

urne 2

20 noires

18 vertes

20 noires

18 vertes

urne totale

20 vertes

urne totale

urne totale

20 vertes

20 vertes

U1

p(U1

rouge

noir

vert

p(R /U 1)

U1 et rouge

U1 et noir

U1 et vert

p(R et U 1)

P(U1) P(r/U1)

totale

U2

p(U2

rouge

noir

vert

totale

U2 et rouge

U2 et noir

U2 et vert

• Proba conditionnelle

(définition axiomatique)

– A et B, 2 évènements compatibles

probabilité que A se réalise si B est réalisé

• P(A/B)= P(A quand B) = P(A si B)

P(A/B) = P(A et B)/P(B) avec P(B)



0

• Évènements indépendants

– 2 évènements sont indépendants si la probabilité de l’un

n’est pas modifiée si on connaît l’autre

• P(A/B) = P(A / non-B) = P(A)

• alors P(A et B) = P(A) P(B)

Théorème de Bayes

•

Question

– D = diagnostic dont on connaît la probabilité

– E = évènement

– La présence de E modifie-t-elle la probabilité du diagnostic ?

• p(D)

probabilité a priori

• est-elle égale à

• p(D/E)

probabilité a posteriori

•

Ce que l’on connaît

–

p(D) =

probabilité d’avoir le diagnostic

= prévalence

–

P(non D) =

probabilité de ne pas avoir le diagnostic

= 1 – p(D)

–

P(E/D) =

probabilité d’avoir l’événement quand on a le diagnostic

–

P(E/nonD) =

probabilité d’avoir l’événement quand on n’a pas le

diagnostic

2ème cycle –

MB6 -

Introduction à l'épidémiologie et aux biostatistiques, variabilité, causalité, probabilité.

Année Universitaire

2010- 2011

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P. DUJOLS

(Mise ligne 27/0910– LIPCOM)

• démonstration

– p(D et E) = p(D/E)p(E) = p(E/D)p(D)

•

n

:

D E =

D

E D

E

v

E

donc

:

p(D/E)

[p(D)p(E/D)]/p(E)

avec

p(E)



0

– E = (E et D) ou (E et non-D)

2 évènements incompatibles

•

donc

: p(E) = p(E et D) + p(E et non-D)

• p(E) = p(D)p(E/D) + p(non-D)p(E/non-D)

p(D) p(E/D)

p(D/E) =

p( ) p(

)

p(D) p(E/D) + p(nonD) p(E/nonD)

E

non E

p(E/D)

p(D)

D

E

non E

E

non E

p(E/D)

p(D)

D

p(D) p(E/D)

p(E/non D)

p(non D)

E

non E

non D

p(E/non D)

p(non D)

E

non E

E

non E

non D

non D

p(D) p(E/D)

p(non D) p(E/non D)

+

p(D/E) = p(D et E) / p(E)

P(D/E) =

P(D) P(E/D)

P(D)P(E/D) + P(nonD)P(E/nonD)

exemple

•

E

x

e

m

p

l

e

–

D = herpès

p(D) = 0,01

=

’

E

résultat

d

u

n test

•

p(E/D) = 0,75

•

p(E/non D) = 0,10

–

en ayant un test positif

•

p(D/E) = [0,01 x 0,75] / [(0,01 x 0,75) + (1 –0,01) x 0,10]

•

p(D/E)

= 0,07=

7 fois p(D)

Estimer les lois de probabilité

• Estimation des lois de probabilité

– raisonnement mathématique

– expérimentation sur grands échantillons

• recherche clinique

• épidémiologie

échantillon de 20 femmes

échantillon de 1000 femmes

distribution des valeurs

loi de probabilité

2ème cycle –

MB6 -

Introduction à l'épidémiologie et aux biostatistiques, variabilité, causalité, probabilité.

Année Universitaire

2010- 2011

Faculté de Médecine Montpellier-Nîmes

P. DUJOLS

(Mise ligne 27/0910– LIPCOM)

Variable qualitative

• Liste de valeurs possibles x

1

, x

2

, …, x

k

• Liste de probabilités p

1

, p

2

, …, p

k

avec



p

i

= 1

• % associés à x

i

dans la population

Ex: jeu de dé, urne

% de 3 selon le nombre de lancers

P rob a b ilité

1 /6

1 /6

1 /6

1 /6

1 /6

1 /6

Variable quantitative

• Infinité de valeurs possibles

• Probabilité d’une valeur donnée = 0

• X variable et x valeur : p(X = x) = 0

• donc définition de la probabilité sur un intervalle

• X variable et a,b valeurs: p(a<X<b) existe

– densité de probabilité f(x)

avec

p(x



X



x+dx) = f(x) dx

f(x)









b

a

dx

)

x

(

f

)

b

X

a

(

P

a

b

x

f(x)

x+dx

Loi de Laplace-Gauss

Loi la plus utilisée pour les variables continues



















2

2

2

)

(

exp

2

1

)

(









x

x

f

d e n s ité d e p r o b a b ilité

0

0

,

1

0

,

2

0

,

3

0

,

4

0

,

5

x





0

1

2

3

4

5

6

•



= moyenne (valeur centrale)

•



= écart-type ;



2

= variance (dispersion)

• Aire sous la courbe = 1

• Loi normale centré réduite

: LG(0,1)

– Courbe particulière avec



= 0,



= 1

– Toutes les lois normales se ramènent à la LNCR par

changement de variable u = (x -



)/



• LNCR tabulée



/2

-



/2

Proba (-u



< u < u



) = 1-



0

u



u



Si échantillon suffisamment grand, la moyenne des valeurs sur

l’échantillon suit LG