A MATH I PC

Description

Niveau: Supérieur

• concours d'entrée

A 2008 MATH. I PC ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS D'ADMISSION 2008 PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière PC (Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : ENSTIM, TELECOM SudParis (ex TELECOM INT), TPE-EIVP, Cycle international Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES I - PC L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

• polynômes li


• espaces vectoriels de polynômes


• disposition des concours


• coefficients complexes de degré inférieur


• supérieure de l'aéronautique et de l'espace

Sujets

• École polytechnique

Informations

• Publié par: profil-nechor-2012
• Nombre de lectures: 15
• Langue: Français

Extrait

A 2008MATH. IPC

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FilièreTSI).

CONCOURS D’ADMISSION 2008

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière PC

(Durée de l’épreuve : 3 heures) L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours : ENSTIM, TELECOM SudParis (ex TELECOM INT), TPE-EIVP, Cycle international

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES I - PC

L’énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.

Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble tre une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

Translations dans des espaces de fonctions

La partie III est indépendante des deux premières.

I Préliminaires Pour n∈N , {a 0 , a 1 ,∙ ∙ ∙, a n } un ensemble de n + 1complexes distincts et pour i entier compris entre0etn, on définit le polynômeL i par : Y X−a j L i (X) =. a i −a j 06j6n,j6=i 1. Montrerque les polynômesL i forment une base deC n [X].

2n 2. Écrire la matrice M du système { 1 ,, X, X∙ ∙ ∙, X} dans la base {L 0 , L 1 ,∙ ∙ ∙, L n } .

II Fonctionspolynomiales Dans cette partie, on note k un entier naturel fixé et E l’espace vectoriel des ∗ polynômes à coefficients complexes de degré inférieur ou égal à k . Pour a∈C , on définit t a :E−→E P→−7(X7→P(X+a)). PourP∈E, on noted(P)le polynôme dérivé : d:E−→E 0 P−7→P . k k−1k−1 Pour k> 2 , on pose d = d◦d = d◦d . On tiendra pour acquis que t a et d sont des endomorphismes deE. On désignera parB={e 0 , e 1 ,∙ ∙ ∙, e k }la base deEdéfinie 2k par{1, X, X,∙ ∙ ∙, X}.

3. Écrire les matrices, notées respectivement T a et D , des endomorphismes t a et d dans la baseB.

4. Endéduire les éléments propres de ces endomorphismes. On donnera les valeurs propres, les espaces propres correspondants ainsi que leurs dimensions. 2

5. Quelssont les sous-espaces vectoriels deEstables pard? Donner leur nombre. Indication : on pourra considérer un polynôme de degré maximal dans F , sous- espace stable.

P k i p 6. Soit P ( X ) = i=0 i X un polynôme fixé de degré k ( p k 6 = 0). Montrer que le système ( ) 2k d(P)d(P)d(P) P, ,,∙ ∙ ∙, 1! 2!k! constitue une baseB 1 deE. Donner la matrice de passageRdeBversB 1 .

∗ 7. Poura∈C, exprimer les coordonnées du système S={P(X), P(X+a), P(X+ 2a),∙ ∙ ∙, P(X+ka)} dans la base B 1 . On note U la matrice ainsi obtenue. En déduire que S constitue une base deEqu’on noteraB 2 .

8. On note Q la matrice de passage de B vers B 2 . Exprimer Q en fonction de R et U.

∗ 9. Pourafixé dansC, caractériser les sous-espaces vectoriels deEstables part a .

III Fonctionscontinues,2π-périodiques Dans cette partie, E désigne l’espace vectoriel des fonctions complexes continues sur R et2 π -périodiques. Pour f∈E , on désignera par c n ( f )la suite (indexée sur Z ) des coefficients de Fourier def: pour tout entier relatifn, Z 2π 1 −inx c n (f) =f(x)edx. 2π 0 Pour tout entier relatifk, on noterae k la fonction e k :x−→7exp(ikx). Poura∈Retf∈E, on notet a (f)la fonctions à valeurs dansCdéfinie t a (f) :x→7−f(x+a). Cela nous permet de définir l’endomorphismet a deE: t a :E−→E f7→−t a (f).

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Pour tout réela, on définit la fonctionφ a par φ a :Z−→C n−→7exp(ina).

10. Préciser les réels a pour lesquels la fonction φ a est injective. Dans le cas contraire, montrer queφ a est périodique.

11. Pour f∈E , donner les valeurs de la suite c n ( t a ( f ))en fonction des valeurs prises par la suitec n (f).

12. Donner les valeurs propres de t a . Caractériser les valeurs de a pour lesquelles les espaces propres det a sont tous de dimension 1.

13. Soit F un sous-espace vectoriel de E de dimension finie p> 1et stable par t a . Soit f∈F , f non nul, montrer qu’il existe p + 1scalaires α j non tous nuls tels que pour tout entier relatifn,   p X   α j exp(inaj)c n (f) = 0. j=0

14. Soit a réel fixé tel que a/π soit irrationnel. Soit f appartenant à F , montrer qu’il existe un entierN f tel quec n (f) = 0pour|n|>N f .

15. Montrerqu’il existe un entierNtel que pour toutgappartenant àF,c n (g) = 0 pour|n|>N.

16. Soit G le sous-espace vectoriel de E engendré par( e k , k = −N,∙ ∙ ∙, N ). Vérifier queF⊂GetGstable part a .

17. L’endomorphismet a restreint àGest-il diagonalisable?

18. Montrer qu’on peut trouver un ensemble fini S d’entiers relatifs tel que F soit le sous-espace vectoriel engendré par lese k pourkdécrivantS.

Fin du problème

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