A MATH II MP

Description

Niveau: Supérieur
A 2010 MATH. II MP ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP), ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI). CONCOURS 2010 SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière MP (Durée de l'épreuve : 4 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : CYCLE INTERNATIONAL, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - MP. L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

• entier ê


• rang rn du système constitué


• vecteur de rn


• rayon de convergence de la série entière


• ensta paristech


• espace vectoriel des matrices réelles


• matrices deun

Sujets

• Télécom ParisTech
• École polytechnique
• Télécom Bretagne
• École nationale supérieure de techniques avancées

Informations

• Publié par: profil-nechor-2012
• Nombre de lectures: 56
• Langue: Français

Extrait

A 2010MATH. II MP

COLE DES PONTS PARISTECH, SUPARO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TLCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-TIENNE, MINES DE NANCY, TLCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (F ILIRE MP), COLE POLYTECHNIQUE (F ILIRE TSI).

CONCOURS 2010

SECONDE ÈPREUVE DE MATHÈMATIQUES

Filire MP

(Dure de l’preuve : 4 heures) L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.

Sujet mis À la disposition des concours : C YCLE I NTERNATIONAL , ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.

Les candidats sont pris de mentionner de faÇon apparente sur la premire page de la copie :

MATHÈMATIQUES II - MP.

L’nonc de cette preuve comporte 4 pages de texte.

Si, au cours de l’preuve, un candidat repre ce qui lui semble tre une erreur d’nonc, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amen À prendre.

DÉnombrements de certaines matrices binaires

Soit n un entier Ê 2. On note M n ( R ) l’espace vectoriel des matrices relles À n lignes et n colonnes. On appellematrice binairede taille n une matrice A∈M n ( R ) dont tous les coefficients sont gaux À 0 ou À 1. L’lment d’une telle matrice situ sur la i -ime ligne et la j -ime colonne est dit en position ( i,j ), oÙ 1ÉiÉnet 1ÉjÉn. On dsigne par U n l’ensemble des matrices binaires de taille n comportant exactement deux 1 dans chaque ligne et exactement deux 1 dans chaque colonne. L’exemple suivant :   1 0 0 1 0 1 1 0   0 1 0 1  1 0 1 0

est une matrice deU 4 . On noteu n le cardinal deU n , et on pose par conventionu 0 =1 etu 1 =0.

La partie D est indÉpendante des parties B et C.

A. Questionsprliminaires 1) Exhiber toutes les matrices de U n pour n= 2 et 3, et dterminer les valeurs correspondantes de u n . (Dans le cas n= 3, on pourra raisonner sur la position des lments nuls dans chacune de ces matrices.) n Soit X 0 le vecteur de R dont tous les coefficients sont gaux À 1 et J la matrice deM n (R) dont tous les coefficients sont gaux À 1. 2) Si A∈U n , montrer que X 0 est un vecteur propre de A . Quelle est la valeur propre associe ? Soit H n l’ensemble des lments de U n comportant un 1 en position (1,1). On noteh n le cardinal deH n . 3) Calculer la somme de toutes les matrices de U n en fonction de h n et de J .

B. Ètudedu cardinal deU n n 4) tablir la relation u n =h n pour tout nÊ 2. (On pourra s’aider des deux 2 questions prcdentes.) Soit K n l’ensemble des lments de H n comportant un 1 en position (1,2) et un 1 en position (2,1). On notek n le cardinal deK n .

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5) Pour tout nÊ 2, tablir une relation donnant h n en fonction de k n et de 2 (n−1) . 6) En examinant les possibilits pour le coefficient situ en position (2,2), dmontrer la relationk n =u n−2 +h n−1 pour toutnÊ4. u n On posew n =pour toutn∈N. 2 (n!) 7) Dduire de ce qui prcde une relation de rcurrence pour la suite ( u n ) n∈N , puis pour la suite (w n ) n∈N . 8) Prouver que w n ∈ [0 , 1] pour tout n∈N , et que la srie de terme gnral w n diverge. Que peut-on en dduire pour le rayon de convergence de la X n srie entirew n x? ∞ X n On poseW(x)=w n xpour toutx∈]−1, 1[. n=0 9) Donner une quation diffrentielle vrifie par W et en dduire une ex- pression deW(x) en fonction dex.

C. Èquivalentd’une suite de coefficients d’un dveloppement en srie entire Cette partie permet d’obtenir un quivalent de u n pour n→ +∞ . Soit α un rel et β un rel > 0. On considre la fonction φ dfinie pour x∈ ] − 1 , 1[ par la formule : αx e φ(x)= ∙ β (1−x) R ∞ t−1−x On note Γ ( t ) =x e d x la fonction Gamma dfinie pour tout rel t> 0 ; 0 p 1 on rappelle queΓ( )=πet queΓ(t+1)=tΓ(t) pour toutt>0. 2 X n 10) Montrer que φ ( x ) est la somme d’une srie entire φ n x pour tout x∈]−1, 1[. 11)Montrer que six∈]−1, 1[,on peut crire : ∞ X 1 n =a n x β (1−x) n=0 oÙ l’on exprimera les coefficientsa n en fonction den!,Γ(β) etΓ(n+β). ψ n 12)En dduire queφ n =pour toutn∈N, oÙ l’on a pos : n!Γ(β) Z ∞ β−1−u n ψ n =u e(α+u) du. 0

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13)On fixea∈Rtel quea> |α|. A l’aide des variations de la fonction −u n u7→e(α+u) R a β−1−u n ¯ ¯ dfinie pour tout uÊ −α , montrer que u e ( α+u ) d u est ngli- 0 R ∞ β−1−u n geable devantu e(α+u) duquandn→ +∞. a 14) En dduire qu’il existe a> |α| tel que ψ n soit quivalent À l’intgrale R ∞ −u n+β−1 e(α+u) duquandn→ +∞. a α 15)En conclure que les suitesψ n eteΓ(n+β) sont quivalentes. On revient sur la suite (u n ) n∈N dfinie au dbut du problme. 16) tablir un quivalent de φ n , puis de u n quand n→ +∞ . On prendra soin de simplifier l’quivalent trouv deu n en utilisant la formule de Stirling.

D. Ètudede rang Dans cette partie, on cherche À dterminer le rang r n du systme constitu des u n matrices de U n , considres comme des lments de M n ( R ). On rappelle n que X 0 est le vecteur de R dont tous les coefficients sont gaux À 1, et que J est la matrice deM n (R) dont tous les coefficients sont gaux À 1. 17) Calculer r n pour n= 2 et 3. (Dans le cas n= 3, on pourra considrer les matricesJ−A, oÙA∈U 3 .) On considre l’espace vectoriel V n des matrices A∈M n ( R ) telles que X 0 soit À la t fois un vecteur propre pourAet pour sa transposeA. t 18) Montrer que U n ⊂V n et comparer les valeurs propres de A et de A asso- cies ÀX 0 lorsqueA∈V n . 19) Dterminer la dimension de V n . (On pourra considrer une base ortho- n norme de R dont un des vecteurs est colinaire À X 0 .) En dduire une majoration surr n . Pour nÊ 3, soit A une matrice de U n comportant des 1 en positions (1 , 1) et (2 , 2) et des 0 en positions (1,2) et (2,1). 20) Montrer qu’il existe une matrice B de U n telle que A−B ne comporte que des lments nuls,saufen positions ( i,j ) pour iÉ 2 et jÉ 2. En dduire 0 que si r dsigne le rang du systme constitu de toutes les matrices U−V n 02 oÙU,V∈U n , on arÊ(n−1) . n 21)Conclure.

F IN DU PROBLME

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