A MATH II MP

Description

Niveau: Supérieur

• concours d'entrée

A 2008 MATH. II MP ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS D'ADMISSION 2008 SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière MP (Durée de l'épreuve : 4 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE ParisTech, ENSTIM, TELECOM SudParis (ex TELECOM INT), TPE-EIVP, Cycle international Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - MP L'énoncé de cette épreuve comporte 7 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

• r2 ?r


• disposition des concours


• ?? ∫


• support compact


• supérieure de l'aéronautique et de l'espace

Sujets

• École polytechnique
• Support de fonction

Informations

• Publié par: profil-nechor-2012
• Nombre de lectures: 39
• Langue: Français

Extrait

A 2008 MATH. II MP
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES.
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES
DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS,
DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE,
DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS D’ADMISSION 2008
SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière MP
(Durée de l’épreuve : 4 heures)
L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours :
ENSAE ParisTech, ENSTIM, TELECOM SudParis (ex TELECOM INT), TPE-EIVP,
Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - MP
L’énoncé de cette épreuve comporte 7 pages de texte.
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur
sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.Support de la transformation de Radon
Notations de géométrie
Dans tout le problème, on se place dans le plan affineP, muni d’un repère orthonormé
direct(O, e , e )etdelanormeeuclidienne,notéekk.Onnotera(x , x )lescoordonnées1 2 1 2
2dans ce repère d’un élément x∈ P. L’application x∈ P7→ (x , x )∈R permettra1 2
2d’identifier le plan affineP et l’espace vectorielR . On introduit les notations suivantes :
◦
B(x, r) ={y∈P,kx−yk<r}
B(x, r) ={y∈P,kx−yk6r}
S(x, r) ={y∈P,kx−yk =r}.
Soit θ∈ [0, 2π[, on note
u = cosθe +sinθe et v =−sinθe +cosθe .θ 1 2 θ 1 2
Pour tout ϕ∈ [0, 2π[, on note Rot la rotation de centre 0 et d’angle ϕ. Ainsi,ϕ
Rot e =uθ 1 θ
x+Ru = (x +Rcosθ, x +Rsinθ).θ 1 2
D
pu +tvθ θ
t
vθ
p
uθ
θ
Fig. 1 – Notations
À toute droite affine D ne passant pas par l’origine, on associe un unique couple
+(p, θ) où p∈R et θ∈ [0,2π[ sont tels que
D ={pu +tv , t∈R}.θ θ
2Si D passe par l’origine, on lui associera l’unique couple (0, θ) qui convienne avec
θ∈ [0, π[. On appelle p et θ les paramètres de la droite D.
Notations d’analyse
2Pour X =R ou X =R et f fonction de X dansR, on appelle support de f,
noté supp f, l’adhérence de l’ensemble des points où f est non nulle. Pour X =R
2 1ou X =R , on note C (X;R) l’ensemble des fonctions f de X dansR, de classeK
1C sur X, à support compact : il existe M > 0, dépendant de f, avec f(x) = 0 si
2kxk>M, oùkxk =|x| si X =R. En d’autres termes, supp f⊂B(O, M) si X =R
et supp f⊂ [−M, M] si X =R. On notera que de telles fonctions sont bornées et on
posera
kfk = sup|f(x)|.∞
x∈X
2 2Pour les fonctions deR dansR, si x = (x , x )∈R , on utilisera, selon le contexte,1 2
la notation f(x) ou la notation f(x , x ) pour représenter l’image de x par f.1 2
1Pour f∈C (R;R), il existe M tel que supp f⊂ [−M, M] et alorsK
Z Z
M J
f(x) dx = f(x) dx, dès que J >M.
−M −J
R
Onnote f(x) dxlavaleurcommunedetouteslesintégralessurunintervallecontenantR
le support de f.
1 2Le même principe vaut pour la dimension 2 : pour f∈C (R ;R), on remarqueK
que ZZ ZZ
f(x , x ) dx dx = f(x , x ) dx dx ,1 2 1 2 1 2 1 2
B(O,M) J
pour tout compact J qui contient B(O, M) où M est tel que supp f⊂B(O, M). On
note ZZ
f(x ,x ) dx dx cette valeur commune.1 2 1 2
2R
2Définition 1. On dit qu’une fonction f : R → R est radiale lorsque pour tout
ϕ∈ [0, 2π[, f◦Rot =f.ϕ
+Pour h : R →R, continue, nulle en dehors d’un intervalle [0, M], on pose
Z +∞ h(v)
√Lh(x) = dv.
x v−x
On admet que Lh est continue, nulle en dehors de [0, M] et que L(Lh) est dérivable avec
0(L(Lh)) =−πh. (1)
3I Un peu de géométrie
1 2 1 +1. Soit f∈C (R , R). Montrer que si f est radiale, il existe F∈C (R ;R) telleK K
que
2f(x) =F(kxk), pour tout x∈R .
1 2 22. Soit f∈C (R ;R); pour x∈R , on considère la fonctionK
2T : R ×R−→Rf,x
(y, ϕ)7−→f(x+Rot (y)).ϕ
2Montrer que la fonction T (y, ϕ) est continue surR ×R et que pour toutf,x
2y∈R , la fonction ϕ7→T (y, ϕ) est 2π-périodique.f,x
3. Montrer que la fonction
Z 2π1
T : y7→ T (y, ϕ) dϕf,x f,x
2π 0
est radiale.
24. Soit x∈R , que l’on écrit x =kxku où ψ appartient à [0, 2π[. Soit ϕ∈ [0,2π[ψ
et θ∈ [0,2π[. Montrer que l’ensemble
D ={x+Rot (pu +tv ), t∈R}x,ϕ ϕ θ θ
est une droite dont on précisera les paramètres en fonction dekxk, ψ,ϕ, p et θ.
On pourra commencer par étudier D .O,ϕ
II Lemme préparatoire
Soit A> 0, on note Q l’ensembleA
2 +Q ={(x,R)∈R ×R , R>kxk+A}.A
L’objectif de cette partie est de montrer le lemme suivant.
2 1 2Lemme 1. Soit f : R →R, f∈C (R ;R) telle que pour tout (x, R)∈Q ,AK
Z 2π
f(x +Rcosθ, x +Rsinθ) dθ = 0, (2)1 2
0
alors f est nulle sur le complémentaire de B(O, A).
4A R
x S(x, R)O
Fig. 2 – (x, R)∈QA
1 2 2 +5. Soit f∈C (R ;R). Soit (x, R)∈R ×R . Montrer que les applicationsK
Z R
V : x 7−→ f(x +rcosθ, x +rsinθ)r dr, i = 1,2i i 1 2
0
Z Z2π R
W : x 7−→ f(x +rcosθ, x +rsinθ)r dr dθ, i = 1,2i i 1 2
0 0
sont dérivables surR et calculer leur dérivée.
1 2 2 +6. SoientP etQ deux éléments deC (R ;R) et soit (x, R)∈R ×R . En utilisantK
la formule de Green-Riemann, montrer l’identité :
!Z Z2π R ∂Q ∂P
(x+ru )− (x+ru ) r dr dθθ θ
0 0 ∂x ∂x1 2
Z Z2π 2π
= P(x+Ru )(−Rsinθ) dθ+ Q(x+Ru )Rcosθ dθ.θ θ
0 0
Dans les questions 7 à 13, on suppose que f vérifie les hypothèses du lemme.
7. Établir, pour tout (x, R)∈Q , les deux identités suivantes :A
ZZ ZZ
f(y , y ) dy dy = f(x +z , x +z ) dz dz1 2 1 2 1 1 2 2 1 2
2 2R R
Z Z2π R
= f(x +rcosθ, x +rsinθ)r dr dθ.1 2
0 0
◦
8. Soit R>A. Montrer que W et W sont constantes sur B(O, R−A) et établir,1 2
◦
pour tout x∈B(O, R−A), les relations :
Z 2π
f(x +Rcosθ, x +Rsinθ)cosθ dθ = 0 (3)1 2
0
5et Z 2π
f(x +Rcosθ, x +Rsinθ)sinθ dθ = 0. (4)1 2
0
Pour i = 1, 2, on introduit les fonctions suivantes :
2yf : R −→Ri
y = (y , y )7−→yf(y).1 2 i
Plus généralement, pour une fonction g deR dansR, on noteg(y )f la fonction définiei
par
2g(y )f : R −→Ri
y = (y , y )7−→g(y )f(y).1 2 i
9. Montrer que y f et y f satisfont les hypothèses du lemme.1 2
10. Soit (x, R)∈Q . Montrer, pour tous les entiers k et l, l’identité suivante :A
Z 2π
k lf(x+Ru )cos θsin θ dθ = 0. (5)θ
0
On pourra raisonner par récurrence sur n =k+l.
11. Soit (x, R)∈Q . En déduire, pour tout entier n, les identités :A
Z Z2π 2π
f(x+Ru )cos(nθ) dθ = 0 et f(x+Ru )sin(nθ) dθ = 0.θ θ
0 0
12. Établir, pour tout (x, R)∈Q , queA
Z
2π
2f (x +Rcosθ, x +Rsinθ) dθ = 0.1 2
0
13. Prouver le lemme.
6III Théorème de support
1 2Définition 2. Pour f∈C (R ;R), on poseK
Z
bf(θ, p) = f(pu +tv ) dt pour θ∈ [0, 2π[, p> 0.θ θ
R
On veut montrer le théorème de support suivant :
1 2 bThéorème 1. Soit f∈C (R ;R). Si il existe A> 0 tel que f(θ, p) = 0 pour p>AK
quel que soit θ alors f(x) = 0 pourkxk>A.
Soit f une fonction qui satisfait les hypothèses du théorème. On suppose dans les
1 +questions 14 à 16 que f est radiale. Soit F∈C (R ;R) telle que f(x) =F(kxk).K
14. Montrer, pour tout θ∈ [0, 2π[ et pour tout p> 0, les identités suivantes :
Z q+∞
b b 2 2f(θ, p) =f(0, p) = 2 F( p +t ) dt.
0
15. Établir, pour tout v> 0, l’identité
Z +∞√ √
−1/2bf(0, v) = F( u)(u−v) du.
v
16. En déduire que F est nulle sur ]A,+∞[.
2On ne suppose plus que f est radiale. Soit x un élément quelconque deR .
17. Établir, pour tout (θ, p), l’identité
Z Z2π1dT (θ, p) = T (pu +tv , ϕ) dt dϕ.f,x f,x θ θ
2π 0 R
18. Montrer pour tout θ∈ [0, 2π[, la propriété :
dT (θ, p) = 0 pour p>A+kxk.f,x
19. Quel est géométriquement, l’ensemble{x+Rot y, ϕ∈ [0, 2π]}? Que signifieϕ
géométriquement la conditionkyk>A+kxk?
20. Prouver le théorème.
Fin du problème
7