A MATH II PSI

Description

Niveau: Supérieur
A 2010 MATH II PSI ECOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH MINES DE SAINT ETIENNE, MINES DE NANCY, TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filiere PSI). ECOLE POLYTECHNIQUE (Filiere TSI). CONCOURS 2010 SECONDE EPREUVE DE MATHEMATIQUES Filiere PSI (Duree de l'epreuve : trois heures) Sujet mis a la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP. Les candidats sont pries de mentionner de fac¸on apparente sur la premiere page de la copie : MATHEMATIQUES II - PSI L'enonce de cette epreuve comporte 6 pages de texte. Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur d'enonce, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amene a prendre.

• developpement suivant des lignes par cofacteurs


• matrice de taille


• algorithme de calcul de determinant n?


• telecom paristech


• calcul explicite de la matrice produit

Sujets

• École polytechnique
• Carroll
• Télécom ParisTech

Informations

• Publié par: profil-nechor-2012
• Nombre de lectures: 32
• Langue: Français

Extrait

A 2010 MATH II PSI

´ ECOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH ´ MINES DE SAINT ETIENNE, MINES DE NANCY, ´ ´ TELECOMBRETAGNE,ENSAEPARISTECH(Filie`rePSI). ´ ECOLEPOLYTECHNIQUE(Filie`reTSI).

CONCOURS 2010

´ ´ SECONDE EPREUVE DE MATHEMATIQUES

Fili`erePSI

(Dur´eedel’e´preuve:troisheures) Sujetmisa`ladispositiondesconcours: Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.

Lescandidatssontprie´sdementionnerdefa¸conapparente surlapremi`erepagedelacopie:

´ MATHEMATIQUES II - PSI

L’e´nonce´decettee´preuvecomporte6pagesdetexte.

Si,aucoursdel’e´preuve,uncandidatrepe`recequiluisembleˆetreuneerreurd’´enonc´e,il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’ilestamen´e`aprendre.

De´terminantsetformuledecondensation.

Lebutdeceproble`meestdemontrerlaformuleditedecondensationsurles de´terminantsetd’enexplorerlesapplicationsetg´en´eralisations. Notations Soitnetunenga´ea1l`reeiruuoitreus´pMune matrice deM n (R) (l’ensemble des matricescarre´esd’ordrenqieur´tsencieffico`assuaaridnO.)sleeMest une matrice de taillen×n. •On noteM i,j le coefficient deMqui se trouve sur laineetlegi`-mej-`e.elonnmeco t t •On noteMartasees´ponsepanriefid´M i,j =M j,i pour touti, j∈ {1,2, ..., n}. •On note detMimantn.no´dteres j • Pourn≥2 eti, j∈ {1,2, ..., n}, on note [M] i la matrice deM n−1 (R) obtenue `apartirdeMen enlevant lailta`e-limeeegnj.`-mecelonoen •Plusg´en´eraleios,tnemtr≥0. Pourn≥r+ 1eti 1 , ..., i r , j 1 , ..., j r ∈ {1,2, ..., n},ifiantv´eri k 6=i l etj k 6=j l si j 1 ,...,j r k6=l, on note [M] lamatrice deM n−r (Rue`apart)obtenriedMen enlevant i 1 ,...,i r les lignes d’indicesi 1 , ..., i r et les colonnes d’indicesj 1 , ..., j r . On conviendra que cette matrice vautMsir= 0. •On note ComMla comatrice deMrapd´efinie i+ j j M] (ComM) i,j = (−1) det[ i •arapergnsnid´eOI n e´titnediecirtamladeM n (R) et pare= (e 1 , . . . , e n ) la base n canoniquedel’espacevectorielre´elR. I.Pre´liminaires. ∗ 1- Soitn∈Nun entier non nul. Montrer que l’applicationNdeM n (R) dansR d´efiniepar ∀M∈ M n (R), N(M) =sup|M i,j |, i,j∈{1,...,n} est une norme surM n (R). Danslecaso`uM∈ M n (R) n’est pas inversible, on rappelle qu’il existe deux matrices inversiblesPetQ(de taillesn×n) telles queM=P.J.Qou`   1 . .(0) J = 1 , (0) 0     . 0 2

J´ntretmuaeaniectdiagonaledont lesrts´el´emenmerpsreidiagonauxvalent 1 et dont lesn−r´ersierndeuanogaidstneme´lent0xval.SiJ= 0 on convient quer= 0. 2ppaRreleni’lpretetr´ioatendr. 3e´ce´rpnoM.etnedu’rqrentteisexiliuetnuse-Ocnnoesvrleseonattionsdelaquestio de matrices inversibles (J k ) k∈N deM n (R) telle queM= lim k→+∞ P.J k .Qau sens de ladistanceassocie´ea`lanormeN.

4euniednoittnocnetuncfod´ntniefitereimanqreuel´d-MontreM n (R), muni de la distanceassoci´ee`alanormeN, dansR´eraurpoedelircrno(unee´etmrninactmoem somme de fonctions toutes en forme de produits).

II. Formule de condensation On se propose de montrer dans cette partie la formule de Desnanot-Jacobi, dite decondensationvanteo`u,suinest un entier≥3 : ∀M∈ M n (R), 1,n 1n1n detMdet[Mdet[] =M] det[M]−det[M] det[M] (1) 1,n1n n1

5- Soiti∈ {1,2, ..., n}. Calculer 1 2n−1n Mdet +...+ (−1)M i ,n det[M] i i,1 [M]−M i,2 det[M] i i en fonction de detMet dei. 6- Montrer que 1 2n−1n M]−Mdet[M] +...+ (−1)Mdet[M] =0 M j,1 det[ i j,2i j,n i pouri, j∈ {1,2, ..., n}ri´e,vntfiai6=jmmcoepr`etera(oninteredagcuehelembmer led´eveloppementparrapport`aunelignedud´eterminantd’unecertainematrice). t 7-Duqxuedsederiude´esntitsepsnoce´rede´le fait queM .(ComM) =xI n `ouxest unnombrer´eelquel’onpr´ecisera. On introduit la matrice deM n (R) suivante :   1n+1 1 det[M] 00. . .0 (−1) det[M] 1n 2n+2 2 −det[M0] 1. . .0 (−1) det[M] 1n 3n+3 3 det[M1] 0. . .0 (−1) det[M] 1n . .. .. . ? M= . .. . .. . .. .. .   n n−1 n−1   (−1) det[M0] 0. . .1−det[M] 1 n n+1n n (−1) det[M] 00. . .0 det[M] 1n 3

? t Autrement dit,Mpartirde(Comotsea`eunetbMharcequ)ernmelp¸aactnp,uo t i∈ {1, . . . , n}et chaquej∈ {2, . . . , n−1}le coefficient(ComM) i,j par 0 sii6=jet par 1 sii=j. ?1n1n 8- Calculer detMen fonction de det[M],det[M],det[M],det[M]. 1n n1 ? 9- Ecrire le calcul explicite de la matrice produitMM .sous la forme du tableau usuel de taillen×n. 10ltnaeuqaoits´rpn-utEnisilrtre1(d)nalscesa`eoc´uedente,d´emonMest inversible. 11-D´emontrer(ad)1elsnosacu`Mn’est pas inversible. III. Algorithme de Lewis Carroll LeRe´ve´rendCharlesL.Dodgson,plusconnusoussonnomdeplume,LewisCar- roll, s’est servi de la formule de condensation (1) pour mettre au point un algorithme decalculdede´terminantn×nninast2u’n,ilittnasleuqalecldcu´eedrmte×2. L’algorithme fonctionne comme suit. Ondoittrouverled´eterminantd’unematriceMde taillen×n. (k) (k) Pour cela, on met en jeu une suite de couples de matrices (BA ,)∈ M n−k (R)× M n−k−1 (R) pourk= 0, ..., n−t.esuicommseinfie´d2 (0) (0) Pourk= 0,A=MetBest la matrice deM n−1 (R) dont tous les coefficients valent 1. (k) (k) (k+1) (k+1) Voici comment l’on passe du couple (A ,B) (k≤n−3) au couple (A ,B). (k) (0) Si aucun des coefficients deBn’est nul, (ce qui est le cas pourB) alors on pose, (k) (k) (k+1) 1 A A i,j i,j+1 A=×, i,j∈ {1, . . . , n−k−1} i,j (k) (k) (k)  A A  B i+1,j i+1,j+1 i,j (k+1) (k) B=A ,i, j∈ {1, . . . , n−k−2}. i,j i+1,j+1 (k+1) Bienentendu,danslemembrededroitequid´efinitletermeA,| |d´esigneun i,j (n−2) (n−2) d´eterminant2×2.Enfin, si (BA ,du´e,reteenocpred´eˆetr)apu´cderpe´raalnfipi (n−1) (n−1) alorsonde´finitlamatricedetaille1×1, A= (A) par : 1,1 (n−2) (n−2) (n−1) 1 A A 1,1 1,1+1 A=×. 1,1 ( n−2) (n−2) (n−2) B  A A  1+1,1 1+1,1+1 1,1 (n−1) Noter qu’iln’y a pasde termeB .L’algorithme se termine en affirmant que (n−1) (k) A= detM,iolsvasndilae´tioronperuvluapednest’und.SilefficiescoB 1,1 estnul,l’algorithmenes’appliquepas,etLewisCarrollpre´conisederecommencer apr`esavoir´echang´e(convenablement)deslignesdanslamatriceinitiale.

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