A MATH II PSI

Description

Niveau: Supérieur

• concours d'entrée

A 2008 MATH. II PSI ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI). CONCOURS D'ADMISSION 2008 SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière PSI (Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : ENSTIM, TELECOM SudParis (ex TELECOM INT), TPE-EIVP, Cycle international Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - PSI L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

• filière tsi


• somme de la série double ∑


• disposition des concours


• classe c∞ sur r2


• solution du problème posé


• série ∑


• ∂u ∂y

Sujets

• École polytechnique

Informations

• Publié par: profil-nechor-2012
• Nombre de lectures: 14
• Langue: Français

Extrait

A 2008MATH. IIPSI

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FilièreTSI).

CONCOURS D’ADMISSION 2008

SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière PSI

(Durée de l’épreuve : 3 heures) L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours : ENSTIM, TELECOM SudParis (ex TELECOM INT), TPE-EIVP, Cycle international

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES II - PSI

L’énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble tre une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

Équation de la chaleur en dimension 2

∞ Dans ce qui suit, on dira qu’une fonction de plusieurs variables est de classe C si elle admet des dérivées partielles de tous ordres et si toutes ces dérivées partielles sont continues. Définition 1. Soit( a n ) n∈Z une suite de réels positifs indexée par Z . La série de terme général(a n , n∈Z)est convergente lorsque les séries +∞+∞ X X a n eta −n n=0n=1 sont convergentes. On a alors +∞+∞ X XX a n =a n +a −n . n∈Z n=0n=1 2 Définition 2. Soit( a m,n ) (m,n)∈Z une suite double (indexée par Z ) de nombres com- 2 plexes telle que la série X XX X (|a m,n |() [respectivement|a m,n |)] n∈Zm∈Zm∈Zn∈Z converge. On admet alors que la série X XX X (|a m,n |) [respectivement(|a m,n |)] m∈Zn∈Zn∈Zm∈Z P converge également. On dira alors que la série double m,n∈Z a m,n est sommable. En outre, on a : X XX X (a m,n ) =(a m,n ). n∈Zm∈Zm∈Zn∈Z P La valeur commune de ces deux nombres complexes sera notée m,n∈Z a m,n et appelée P somme de la série double m,n∈Z a m,n . 2 Pourufonction bornée deRdansC, on note kuk ∞ = sup|u(x, y)|. x, y 2 Soit(u n (x, y), n∈Z)une suite de fonctions bornées deRdansC. Définition 3. La série de terme général( u n ( x, y ) , n∈Z )est dite normalement 2 convergente surRlorsque la série de terme général(ku n k ∞ , n∈Z)est convergente. 2

On admet le théorème suivant : Théorème 1.Si 2 a) pourtout entier relatifn,u n est continue surR, b) etla série de terme général(u n (x, y), n∈Z)est normalement convergente alors la fonctionudéfinie par X u(x, y) =u n (x, y) n∈Z 2 est continue surR.

I Sériede Fourier à deux variables ∞2 Dans les questions 1 à 9, u est une fonction de classe C sur R , à valeurs complexes et doublement2 π− périodique, c’est-à-dire que pour tous les entiers relatifs k, l et tout couple de réels(x, y),on a : u(x, y) =u(x+ 2kπ, y+ 2lπ). On pose pour chaque couple d’entiers relatifs(m, n): Z Z 2π2π 1 −imx−iny a m,n (u) =u(x, y)e edxdy.(1) 2 4π 0 0

Pour tout entier relatif m , on introduit la fonction u m définie pour tout réel y , par Z 2π 1 −imx u m (y) =u(x, y)edx. 2π 0

1. Montrer, pour tout entier relatif m, que u m est2 π -périodique, continue sur R et que l’on a la relation suivante : Z 2π X 2 2 |u m (y)|dy= 2π|a m,n (u)|. 0 n∈Z

2. Pourtout réely, établir l’identité Z X 2π 1 2 2 |u m (y)|=|u(x, y)|dx. 2π 0 m∈Z

3

3. Prouverque la série double X X 2 |a m,n (u)| m∈Zn∈Z converge et établir l’identité Z Z X X 2π2π 1 2 2 |a m,n (u)|=|u(x, y)|dxdy. 2 4π 0 0 m∈Zn∈Z

(2)

On suppose maintenant, que pour tous les entiers positifsketl, la suite double   k l |a m,n (u)|(1 +|m|+) (1|n|) 2 (m,n)∈Z

est bornée.

4. Prouver que pour tout couple de réels( x, y ) , la série double suivante est sommable : X X imx+iny a m,n (u)e . m∈Zn∈Z

On pose alors

X X imx+iny v(x, y) =a m,n (u)e . m∈Zn∈Z

5. Prouverquevainsi définie est continue.

∞2 6. Démontrer que v est de classe C sur R et que pour tout couple( k, l )d’entiers naturels : k+l X X ∂ v k limx+iny (x, y) =(im) (in)a m,n (u)e . k l ∂x ∂y m∈Zn∈Z

7. Soitun réely. Montrer que pour tout entier relatifk, Z X 2π 1 −ikx iny v(x, y)edx=a k,n (u)e . 2π 0 n∈Z

8. Pourtout couple(k, l)d’entiers relatifs, calculera k, l (v).

9. Endéduire queu=v.

4

II Application ∞2 Soit u 0 ( x, y )une fonction de classe C sur R à valeurs complexes et doublement 2 π− périodique. On cherche à déterminer l’existence et l’unicité d’une fonction u ( t, x, y ) 2 a) continuesur[0,+∞[×R, b) doublement2π−périodique en(x, y), ∞ ∗2 c) declasseCsurR×R + d) et dont toutes les dérivées partielles en( t, x, y )admettent un prolongement continu 2 à[0,+∞[×R, e) quisoit solution du problème suivant : 2 ∀(x, y)∈R, u(0, x, y) =u 0 (x, y),et(3) 2 2 ∂u ∂u ∂u ∗2 ∀(t, x, y)∈R×R,(t, x, y)−(t, x, y)−(t, x, y) = 0.(4) + 2 2 ∂t ∂x∂y

∂u 0 10. Pour tout couple d’entiers relatifs( m, n ), exprimer a m,n ( )en fonction de ∂x a m,n (u 0 ).

11. Démontrer,pour tous les entiers naturelsketl, que la suite double   k l |a m,n (u 0 )|(1 +|m|+) (1|n|) 2 (m,n)∈Z est bornée.

12. Construireune fonctionuqui soit solution du problème posé. Indication : on pourra chercherusous la forme X X imx+iny u(t, x, y) =ϕ m, n (t)α m, n e . m∈Zn∈Z

Soitu(t, x, y)une solution du problème précédent. Pourtréel positif, on pose Z Z 2π2π 1 2 E u (t) =|u(t, x, y)|dxdy 2 0 0   2 2 Z ZZ t2π2π ∂u ∂u   + (s, x, y() +s, x, y)dxdyds.   0 00 ∂x ∂y

5

+∗ 13. Montrer que la fonction E u est continue sur R et dérivable sur R . Exprimer sa + 2 dérivée sous forme d’une intégrale sur[0,2π].

∗2 14. Pourtout(t, x, y)appartenant àR×R, établir l’identité suivante : +  ! ∂u ∂¯∂u ∂u¯∂uu u¯u¯∂u + ++ (t, x, y) ∂x ∂x∂y ∂y2∂t2∂t  ! !! 1∂ ∂¯∂ ∂u ∂u¯u ∂u =u+u¯ +u+u¯ (t, x, y). 2∂y ∂y∂x ∂y∂x ∂x

15. ProuverqueE u (t) =E u (0)pour toutt>0.

16. Montrerque le problème posé possède au plus une solution.

Fin du problème

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