A Math PSI

Description

Niveau: Supérieur

• concours d'entrée

A 2004 Math PSI 2 ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AERONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ECOLE POLYTECHNIQUE (Filiere TSI). CONCOURS D'ADMISSION 2004 SECONDE EPREUVE DE MATHEMATIQUES Filiere PSI (Duree de l'epreuve : 3 heures) (L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit). Sujet mis a la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT, TPE-EIVP. Les candidats sont pries de mentionner de fac¸on apparente sur la premiere page de la copie : MATHEMATIQUES 2-Filiere PSI. Cet enonce comporte 4 pages de texte. Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur d'enonce, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amene a prendre. Le but de ce probleme est l'etude de deux suites reelles F = (fn)n?N et G = (gn)n?N et des series entieres de termes generaux (fnxn)n?N et (gnx n)n?N. Soient F = (fn)n?N et G = (gn)n?N les deux suites reelles definies chacune par leurs deux premiers elements et la meme relation de recurrence ci-dessous : F : f0 = 0, f1 = 1, pour tout entier naturel n, fn+2 = fn+1 + fn ;

• inverse de la matrice


• resultats preliminaires


• polynome pn


• deduire


• resultats de la question precedente


• superieures de l'aeronautique et de l'espace

Sujets

• École polytechnique
• Déduction

Informations

• Publié par: profil-nechor-2012
• Nombre de lectures: 9
• Langue: Français

Extrait

A 2004 Math PSI 2

´ ´ ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ´ ´´ ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L’AERONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, ´ ´´ DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, ´ DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, ´ ´ DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ´ ECOLEPOLYTECHNIQUE(Fili`ereTSI).

CONCOURS D’ADMISSION 2004

´ ´ SECONDE EPREUVE DE MATHEMATIQUES Filie`rePSI (Dure´edel’e´preuve:3heures) (L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).

Sujetmis`aladispositiondesconcours:CycleInternational,ENSTIM,INT,TPE-EIVP.

Lescandidatssontpri´esdementionnerdefac¸onapparentesurlapremi`erepagedelacopie: ´ MATHEMATIQUES2-Filie`rePSI.

Cet´enonce´comporte4pagesdetexte.

Si,aucoursdel’e´preuve,uncandidatrep`erecequiluisembleˆetreuneerreurd’´enonc´e,illesignale sursacopieetpoursuitsacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesqu’ilestamen´e`aprendre.

Lebutdeceproble`meestl’´etudededeuxsuitesre´ellesF= (f n ) etG= (g n )edtse´sreeis n∈Nn∈N n n entie`resdetermesge´n´eraux(f n x) et(g n x) . n∈Nn∈N

SoientF= (f n ) etG= (g n euxpremiearrsleursdhccanupe´dfieinseeer´esllsuuxesitledse) n∈Nn∈N ´el´ementsetlameˆmerelationdere´currenceci-dessous:

F:f 0 = 0, f 1 = 1,pour tout entier natureln, f n+2 =f n+1 +f n ; G:g 0 = 2, g 1 = 1,pour tout entier natureln, g n+2 =g n+1 +g n . SoitM 2 llse´reerd2e’droent;soil’esecaptceveirosedltrmaesicrrcaes´eIee´tinuettriclamaJla matricecarr´eede´finiesparlesrelationssuivantes:   √  √   1 00 5/ 2 5 0 1 √ I= ;J= =. 0 1 5/ 0 2 0 2 1 Pour tout entier natureln,soitU n rtamaltn:eiuavoisnletarlariepa´efiniced 1 U n =f n J+g n I. 2   1 SoientUla matriceU 1 U=U 1 =J+IetEle sous-espace vectoriel deM 2 sdlearepxeu´rdnegne 2 matricesIetJ.

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Premi`erepartie

Lebutdecettepartieestl’´etudealterne´edesdeuxsuitesdere´elsetdelasuitedesmatrices;elle permetd’obtenirdesr´esultatspre´liminaires. Quelquesproprie´te´s: n n 1.D´emontrerquelasuitedesmatrices(U) ,ou`Uest la matriceUecnass´eevel´uiapale`n, n∈N 0 (avec la convention habituelleU=Iirotlet`en’ealacspecev)a,ppraitE. ´ 2. Etablirla relation qui, pour tout entier natureln,lie les matricesU n+2 , U n+1 etU n . Caract´erisationdelasuitedematrices(U n )´enssencqeuquelcoesuq;: n∈N p 3. Comparer,pour tout entierpcompris entre 0 et 2 (0≤p≤2) les matricesU p etUr.Dmo´erent n qu’il existe, pour tout entier natureln, une relation simple entre les matricesU n etU . 4.De´duiredesdeuxre´sultatspr´ec´edentslesrelationssuivantes: n2 2n pour tout entier natureln,detU n = (−1),(g n )−5 (f n ) =4 (−1).

´ 5.Etantdonne´sdeuxentiersnaturelspetq,exprimer les termesf p+q etg p+q des suitesFetGen fonction des termesf p , g p , f q etg q eecdmseˆemssiuet.s Inverse des matricesU n : 6.De´terminerl’inversedelamatriceU n en fonction des matricesIetJ. Exprimerles coefficients des matricesIetJail’dede`ae´rsslef n etg n . Despolynˆomesannule´sparlamatriceU Soit, pour tout entiern,l`a2´egauorueire´pusP n (Xalraalernoitviustean:)lenfipidee´ˆnmoopyl n P n (X) =X−f n X−f n−1 . 2 7.De´montrerquelepolynˆomeP n (Xse)bisividteprlpalemeˆoynolX−X−1. 8.Quelestlepolynˆomecaract´eristiquedelamatriceU? n 9. Calculerla valeur de la matriceC n =U−f n U−f n−1 I.

n 2n n2 Divisibilite´dupolynˆomeX−g n X+ (−1)parX−X−1: Soit toujoursnou´eieura2.gal`neitnu´prereus 10.De´terminerlepolynˆomecaract´eristiquedelamatriceU n :te.End´eduireeralitalusnonavi

2 n n n U−g n U+ (−1)I= 0.

2n 11. SoientQetRlypoomnˆendiduneetuaneffecusenbtencuiloienvisiltdaosemoˆnylopselX− n n2 g n X+ (−nˆomearlepolyp)1X−X−1 :   2n n n 2 X−g n X+ (−1) =Q(X)X−X−1 +R(X). Pr´eciserlesdegr´esdespolynˆomesQetR. 2n De´montrer,enutilisantparexemplelesr´esultatsdelaquestionpr´ec´edente,quelepolynoˆmeX− n n2 g n X+ (−1) estdivisible parX−X−1.

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Deuxi`emepartie

Lebutdecettepartieestl’e´tudedepropri´et´esdesuitesconstruites`apartirdesdeuxsuitesFetG.

Un calcul de sommes : 12. Lebut de cette question est de calculer, pour tout entiern(2a`lage´uorueriesup´n≥2), des expressions plus simples des deux expressions suivantes :

n X α n =f 0 +f 2 +. . .+f 2n =f 2k . k=0 n X β n =g 0 +g 2 +. . .+g 2n =g 2k . k=0 De´terminerlesexpressionsdeα n et deβ n en fonction respectivement def 2n+1 et deg 2n+1 en con- sid´erantparexemplelamatriceS n suontilarelaarepinfie´det:vina n X S n =U 0 +U 2 +. . .+U 2n =U 2k . k=0

SoitTla suite (t n epnilear)efid´tes:snusvinarsletaoi n∈N

t 0 = 1, t 1 = 4,pour tout entier natureln, t n+2 = 4t n+1 +t n . D´eterminationdese´l´ementst n de la suiteTedede´rssle`aail’f n etg n . 6 32 13.D´emontrerquelepolynˆomeX−4X−eparlepolynˆomee1tsidivislbX−X−1.

14.Ende´duirequelamatriceUernaentilturefii,e´vreottuoprup,la relation suivante :

6+p3+p p U= 4U+U .

15.D´eduiredelarelationpr´ece´dentequelestermesdessuitesFetGre´vitreutenurtot,poifien naturelp,les relations suivantes :

f 6+p = 4f 3+p +f p ,

g 6+p = 4g 3+p +g p .

16.D´eduiredesr´esultatspr´ece´dentsl’expressiondutermeg´ene´ralt n de la suiteT ,raelinpeefid´s relations suivantes :

t 0 = 1, t 1 = 4,pour tout entier natureln, t n+2 = 4t n+1 +t n , en fonction de termes des suitesFetG.

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