A Math PSI

Description

Niveau: Supérieur

• concours d'entrée

A 2003 Math PSI 1 ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AERONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ECOLE POLYTECHNIQUE (Filiere TSI). CONCOURS D'ADMISSION 2003 EPREUVE DE MATHEMATIQUES PREMIERE EPREUVE Filiere PSI (Duree de l'epreuve : 3 heures) (L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit). Sujet mis a la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT, TPE-EIVP. Les candidats sont pries de mentionner de fac¸on apparente sur la premiere page de la copie : MATHEMATIQUES 1-Filiere PSI. Cet enonce comporte 4 pages de texte. Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur d'enonce, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amene a prendre. Soit I le segment d'extremites 0 et 1 : I = [0, 1] ; dans tout ce probleme h et f sont des fonctions reelles donnees definies et continues sur la droite reelle R. Soit (E) l'equation di?erentielle suivante : (E) ? y?? (x) + h (x) y (x) = f (x) , ou la fonction y est une fonction inconnue definie sur la droite reelle R.

• conditions aux limites definies


• droite reelle


• equations exprimant la nullite de la solution


• solution au systeme


• equations du systeme


• fac¸on apparente sur la premiere


• continument derivable

Sujets

• École polytechnique
• Nombre réel

Informations

• Publié par: profil-nechor-2012
• Nombre de lectures: 20
• Langue: Français

Extrait

A 2003 Math PSI 1

´ ´ ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ´ ´´ ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L’AERONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, ´ ´´ DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, ´ DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, ´ ´ DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ´ ECOLEPOLYTECHNIQUE(Fili`ereTSI).

CONCOURS D’ADMISSION 2003

´ ´ EPREUVE DE MATHEMATIQUES ` ´ PREMIERE EPREUVE Filie`rePSI (Dur´eedel’´epreuve:3heures) (L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).

Sujetmis`aladispositiondesconcours:CycleInternational,ENSTIM,INT, TPE-EIVP.

Lescandidatssontpri´esdementionnerdefa¸conapparentesurlapremie`re page de la copie : ´ MATHEMATIQUES1-Filie`rePSI.

Cete´nonc´ecomporte4pagesdetexte.

Si,aucoursdel’´epreuve,uncandidatrepe`recequiluisembleeˆtreuneerreur d’´enonc´e,illesignalesursacopieetpoursuitsacompositionenexpliquantles raisonsdesinitiativesqu’ilestamen´ea`prendre.

SoitIl´time0se:1tegesntmeexd’´etrI= [0,lbe`em1];danstoutceproh etfller´eeoiteladrssrunieuoctnseteniefid´es´enndoesllee´rsnoitcnofsostned R. Soit(E:eseiuavtnntrelliendio´eiffe´’ltauq)

 (E)−y(x) +h(x)y(x) =f(x), o`ulafonctionynotcoiinetsnufefin´esuieonncednue´reelledalrtiorR.

Lebutdeceproble`meestd’´etudierlessolutionsdecettee´quationdiffe´rentielle (Eoinlotu)uqiv´erifientlesconitid“snolxuatimi”sesvauiesntas:ly´eerehcerhc estnulleenchacunedesextre´mit´es0et1del’intervalleI.

Les fonctionshetfnatesedt´seusrcsnoitunsr´eellefonctionR, soit (S) le syst`emeconstitue´del’e´quationdiff´erentielle(Elaitauesnoirpxtnam´sqeteed) nullit´edelasolutionyellavretmit´es0et1del’inaxuxerte´I:

1

  −y(x) +h(x)y(x) =f(x), (S) y(0) = 0, y(1) = 0. Une fonctionyefini,d´esurRsiocxuofuˆemtnni,deiverd´ntrsuleabRafiire´v,tn lese´quationsdusyst`eme(Sitesolut)estdme`t(ednoisysuS).

Premi`erepartie

La fonctionhstanecon`aungaletse´enoitcnofalteetfest nulle: 1.De´montrerque,lorsquelafonctionhiesurd,nfie´Ra`nue,est´egale constanter´eelleα(h(x) =α∈R) et la fonctionfest nulle (f(x) = 0), la seule solutiony(tsyusdeme`S) est la fonction nulle (y(x) = 0 pour toutx), sauf 2 pourcertainesvaleursdure´elαqropesee;ss´ci´eprntroseuiα=ωouα= 2 −ω(ω >lievra´n)t,qsueu0eelα.fitageictrusfon´ntmeteetemrtciisittnopests

Uneexpressiondelasolutiondusyste`me(S) : Unre´sultatpr´eliminaire:soitϕfenurunuesontieetcefiniel´de´leoirnnotc ladroitere´elleRtincfolatΦoi;sivante:lationsuperaalerno´dfiein

  x1 pourtoutre´elx,Φ (x) = (1−x)t ϕ(t)dt+x(1−t)ϕ(t)dt. 0x 2 2.De´montrerquelafonctionΦestd´efinieetdeclasseCsur toute la droite re´elleRerminersad´eriv´eeesocdnΦe;te´d´ainsi que les valeurs prises par la fonction Φ en 0 et en 1 :Φ (0),Φ (1).

3.D´emontrerque,siΦ 1 e´iravlbuefxiodsesurlatsefenuel´e,dlectonnrio droiter´eelleRelrsletavee´irefilequ’ell,telteans:nsioivsu

 pourtoutre´elx,Φ (x) 1 =−ϕ(x),Φ 1 (0) = 0,Φ 1 (1) = 0, les fonctions Φ et Φ 1 ntsoΦ(selage´ 1 = Φ). 4.End´eduire,lorsquelafonctionhestentleeni’ut´ci’uedllun’l,esixecnet solutionye(t`emsusydS 0 ) suivant :   −y(x) =f(x), (S 0 ) y(0) = 0, y(1) = 0. Une condition sur la fonctionhlorsque la fonctionfest nulle: La fonctionfulen´eosppsuste(elfe`tsysel;)0=me(St,ecri)s’´   −y(x) +h(x)y(x) = 0, (S 1 ) y(0) = 0, y(1) = 0. 5.D´emontrerque,pourqu’unefonctiony,unitnoctrdalruseteoid´efiniee re´elleRelysirefiem(tse`´e,vS 1 ),il faut et il suffit que la fonctionyvuorefip,e´ir toutr´eelx, la relation (R) suivante :   x1 (R´pe)elourtoutrx, y(x) = (x−1)t h(t)y(t)dt+x(t−1)h(t)y(t)dt. 0x

2

6.D´emontrerl’existencededeuxre´elsHetYrespectivement maximums des valeurs absolues des fonctionshetysur le segmentI= [0,1].

7. Soity(emesudn`tsyesolutiounS 1 ;)e´leuort,perrtouemd´tronxappar- tenant au segmentI(0≤x≤1),lage´ni’l:teanivsu´eit H Y |y(x)| ≤. 8 8.End´eduireuneconditionne´cessairesurlafonctionh, pour qu’il existe des solutionsytincfolae,llnuone`tsysud(ema,qseutuerS 1 uel,euqsroVi.r)e´qrefi la fonctionhest constante, cette condition est remplie lorsqu’il y a des solutions diff´erentesde0.

Seconde partie

Rappel :une fonctionf,iter´eellee´d,einfilrusorda´erleelR, est dite 2- pe´riodiquesietseulementsi:pourtoutre´elx, f(x+ 2) =f(x).Les coeffi- cients de Fouriera n (f), b n (f), n≥1,sparefinintd´soviussnoitalerselstean :

pour toutnor´ugelapue´irues`a1,

  2 2 a n (f) =f(t) cos(n π t)dt, b n (f) =f(t() sinn π t)dt. 0 0

Lebutdecettesecondepartieestdere´soudrel’e´quationdiffe´rentiellesuiv- ante

 (F)−y(x) +h(x)y(x) =f(x), o`uhetfonssedtcnofnoite´dsueinntcoe,lleer´etiordalrusseinfi-se2,apri,smi pe´riodiques.Lafonctioninconnueympeireaippsu´eostseiodiqueis-2´pree,llaesu, maisenplusdeuxfoiscontinuˆmentd´erivableetve´rifiantlesconditionsauxlim- ites suivantes sur le segmentI: elleest nulle en 0 et en 1.

Lorsque la fonctionyblvae,itnomuˆndtneire´odique,deuxfoisc,miapri2ep-e´ir v´erifiel’´equationdiffe´rentielle(Fniefid´eses-dciessnoitidntimilxuaesco)etlsus, elleestditesolutiondusyst`eme(T) suivant :   −y(x) +h(x)y(x) =f(x), (T) y(0) = 0, y(1) = 0. SoitGnotclfae´rraclensdaiefin´endioI×Ipar la relation suivante :  t(1−x),si 0≤t≤x, (x, t)→−G(x, t) x(1−t),six≤t≤1. ´ Etantdonne´unre´elxsedu´efixtengmI ,soitG x la fonction impaire, 2- pe´riodique,´egale`aG(x, tltuotee´r)ruoptappartenant au segmentI:

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