Algebre et Geometrie Cours du Marcel Morales

Marcel Morales

Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
Algebre et Geometrie Cours du 28-09-05 Marcel Morales E designera un K?espace vectoriel de dimension finie et u un endomorphisme de E Rappels: • Ne pas confondre F sev propre( F 6= 0, F 6= E), et sev propre de l'endomorphisme u. • Lemme des noyaux: Si P (X) = Q1(X)Q2(X) et Q1(X), Q2(X) sont premiers entre eux alors Ker P (u) = Ker Q1(u)?Ker Q2(u) En particulier si ?u(X) = Q1(X)Q2(X) et Q1(X), Q2(X) sont premiers entre eux alors E = Ker Q1(u)?Ker Q2(u) et ausssi mu(X) = m1(X)m2(X) et m1(X),m2(X) sont premiers entre eux alors E = Ker m1(u)?Ker m2(u). • On suppose K = quelconque (preuve seulement si K = lC ou K = IR). Alors u est diagonal- isable si et seulement si son polynome minimal est scinde et a toutes ses racines simples. • On suppose K = quelconque. Alors u est triangularisable si et seulement si son polynome minimal est scinde.

• analogue d'endomorphisme hermitien


• endomorphisme defini par la matrice


• base orthonormee


• racine


• cos ?u


• cos t?


• blocs de taille ≤


• sin ?


• matrice de u1 dans la base b1

Sujets

• Moralès
• Base orthonormale
• Racine

Informations

• Publié par: profil-thowyeng-2012
• Nombre de lectures: 44
• Langue: Français

Extrait

Alg`ebreetG´eome´trieCoursdu28-09-05MarcelMorales Edise´rengnuaK−espace vectoriel de dimension finie etuun endomorphisme deE Rappels: •Ne pas confondreFsev propre(F6= 0, F6=E), et sev propre de l’endomorphismeu. •SiLemme des noyaux:P(X) =Q 1 (X)Q 2 (X) etQ 1 (X), Q 2 (X) sont premiers entre eux alors KerP(u) = KerQ 1 (u)⊕KerQ 2 (u) En particulier siχ u (X) =Q 1 (X)Q 2 (X) etQ 1 (X), Q 2 (X) sont premiers entre eux alors E= KerQ 1 (u)⊕KerQ 2 (u) et ausssim u (X) =m 1 (X)m 2 (X) etm 1 (X), m 2 (X) sont premiers entre eux alors E= Kerm 1 (u)⊕Kerm 2 (u). •On supposeK= quelconque (preuve seulement siK=ClouK=IR). Alorsuest diagonal- isablesietseulementsisonpolynˆomeminimalestscind´eetatoutessesracinessimples. •On supposeK= quelconque.Alorsuemoˆnyltseairtistebaelrasignluonpotsisemenseul minimalestscind´e. •lypoLeuqitlp,e´tcasiremesesintprusci´emilaidivˆnmomeninˆomecarselepoly n 1 n 2 n k χ u (X) =p 1 (X)p 2 (X)...p k (Xcaetenfnrre´ruis´ecotladitiomposse)ctduleibesdχ u (X) m 1 m 2 m k (n i >0 pour touti) alorsm u (X) =p 1 (X)p 2 (X)...p k (Xnneioi)tsopmoce´daltse facteursirre´ductiblesdem u (X) avecn i ≥m i >0 pour touti.   M 1 0 •SiM= alorsχ M (X) =χ M 1 (X)χ M 2 (X) etm M (X) = ppcm{m M 1 (X), m M 2 (X)} 0M 2 •SiF⊂Eest une sev stable parualorsm u 1 divisem u ou´u 1 est la restriction deu´aF. En particulier siuest triangularisable alorsu 1 est triangularisable.Siuest diagonalisable alorsu 1 est diagonalisable •Siuomprneodree´ihmsarleel,pxd’uchoie,esabenirtamaltceeunstMdeudans cette base onpeutd´efinirunmorphismecomplexe˜umetairecntlamˆemayaMdans la base canoniqe n deClu`o’d,χ u (X) =χ u˜ (X) etµ u (X) =µ u˜ (X). ⊥ ⊥⊥ •Dans un ev euclidien, Siuetm´eeritenutsosieu(F)⊂Falorsu(F)⊂F´ouFest ⊥ l’orthogonal deFet ausssiF⊕F=E 4 3) sionCslonerd´idieeuclncavee’psirleceotE=IRmuni de sa base canoniquee 1, , e 2 , e 3 , e 4 ,u l’endomorphismede´finiparlamatrice:   cosθ−sinθ0 0 sinθcosθ0 0   M=   0 0cosγ−sinγ 0 0sinγcosγ ou`θ, γ∈IR. a)Montrer queulreluclaoˆnylopectracameiqstri´eeuedseisomtuneie.C´etru, ses valeurs propres, ses vecteurs propres. Solution:baLacaseninoparmagesonirqueefiire´vedarffiuslincdoONeBunsteequuest uneBON,orl’imagedelabasecanoniqueestdonn´eeparlesvecteurscolonnesdelamatrice MOB.Nuten’iquntmeenrmfolsire´vno,ediparefi

2 22 Nous avonsχ u (X) = (X−2 cosθX+ 1)(X−2 cosγXemo+1)LepolynˆX−2 cosθX+ 1 2 a des racines dansIRsi et seulement si−4 sinθ≥0 i.e.siθ=kπ, k∈Z. Siθ= 0 nous avons la racine 1, siθ=πlerquenoad´etailsnsualsiosonavarslusnoaylIsac4nica.1-e au lecteur. 2 b)On suppose queθ=γ6= 0modπ. Montrerqueu−2 cosθu+I= 0.   M θ 0 Solution:Dans ce casM= ,avec 0M θ   cosθ−sinθ M θ = sinθcosθ 2 etsonpolynˆomecaractX) =X−2 cosθXc+ 1, eristique estχ M θ emmoopecˆnylnem(o’a 2 pasderacinesr´eellesilcoincideaveclepolynomeminimal,d’ou´m u =X−2 cosθX(cf+ 1. 2 rappel) etuaonleelets.’apasdevnpoerrse´lauesrrpu−2 cosθu+I= 0. b-1)Soitx∈E, x6pa´edrenngleieorrntre0.Mo=evtcapec’lseqreux, u(x) est de dimension 2 globalement invariant paru. 2 Solution:La relationu−2 cosθu+I= 0 implique que cet sev est stable paru, il est de dimension deux car sinonxserait une vecteur propre deu. b-2)Montrer que tout sous espace vectoriel propre deEglobalement invariant paru, est de dimension2etdelaformede´critea`laquestionpre´c´edente. Solution:SoitF⊂Eun sev propre stable paru, alors dimF= 1,2 ou 3, Si dimF= 1 alorsFcontient un vecteur propre pouru, ce qui est ⊥ ⊥ ⊥ absurde. SidimF= 3 alors puisqueuietr´eomisnetuseu(F)⊂Fou´Fest l’orthogonal ⊥ deFet dimF= 1, contradiction, donc dimF= 2.Soit maintenantx∈Fnon nul, et on proc´edecommea´laquestionpr´ece´dente. 2 c)On suppose queθ6=γ, θ, γ6= 0modπ. OnposeQ 1 (u) =u−2 cosθu+IetQ 2 (u) = 2 u−2 cosγu+I. c-1)Montrer quee 1 , e 2 ∈KerQ 1 (u), e 3 , e 4 ∈KerQ 2 (u)    M θ 0 cosθ−sinθ Solution:Dans ce casMavec= ,M θ = (resp.pourM γ ) 0M γ sinθcosθ (X)χ etsonpolynoˆmecaracteristiqueestχ M (X) =χ M θ M γ (X) =Q 1 (X)Q 2 (X), comme c’est uned´ecompositionenpolynoˆmesirr´eductiblesnousavonsm u =χ M (X).etun’a pas de valeurspropresr´eelles.EnparticulierQ 1 (M θ ) = 0, Q 2 (M γ on.esti0,)=riuqope´a´dnuqal c-2)Montrer que tout sous espace vectoriel propre deEglobalement invariant paru, est soit KerQ 1 (u) ou KerQ 2 (u). AttentionLasolutiondonne´eencourse´taitincompl´ete,cherchezl’erreur! Solution:SoitF⊂Epropre, stable paru, alorsm u 1 divisem u ou´u 1 est la restriction de ua´F, doncm u 1 (X) =Q 1 (X) oum u 1 (X) =Q 2 (X). Sim u 1 (X) =Q 1 (X) alorsQ 1 (u 1 ) = 0 ce qui signifieF⊂KerQ 1 (u), dimF=entc´emcfor2donF= KerQ 1 (umeˆmeD.)ies m u 1 (X) =Q 2 (X) alorsF= KerQ 2 (u). 4) Dans cet exerciceK=IR, ouK=Cl. a)Montrer qu’il existe un entier naturelαopyltenueˆnmoP(X), avecP(0)6= 0 tels que: α E= Keru⊕KerP(u) Consid´ererlescasparticuliers. Solution:eedinacrenutse0is,sapuoUolnpoˆnylaemcara0eniχ u amclveatie´lpciluitα α nouspouvons´ecrireχ u (X) =X P(X) avecP(0)6Remarquez que si 0 n’es pas racine= 0. deχ u (X) alorsuest injective, et comme on est en dimension finieuOn trouveest bijective. α lere´sultatparlelemmedesnoyaux.Demˆemesiχ u (X) =Xalorsuest nilpotent.

α b)On poseE 1 = Keruetu 1 la restriction deu`aE 1 l’existence d’une base. JustifierB 1 deE 1 tel que la matrice deu 1 dans la baseB 1 esirttugnarialevaecdesz´erossurladaioganelo,n note cette matriceM 1 . α Solution:Dans ce casχ u 1 (X) =Xuesearelayaenutnneciil0,estu,c’nyoˆpnloni´demcs est donc triangularisable surKet il existe une baseB 1 deE 1 tel que la matrice deu 1 dans la baseB 1 la.e´erossurladiagonrtaietsdeszavecairengul c)ede´DtemenireebunecasveonblnaE, on poseMla mtrice deudans cette base etn= dim (E). 2 n D´efiniruneapplicationcontinueφ:K−→Ktel que φ(0) =M, φ(t)∈GL(n),pour toutt6= 0.

Solution:SoitB 2 base de KerP(u) etB=B 1 ∪ B 2 . NotonsM 2 la matrice deu| KerP(u)   M 1 0 dans la baseB 2 . LamatriceMdeudans la baseBseraMRemarquez que= . 0M 2 r χ M (X) =X χ M 2 (X) avecr= cardB 1 , et commeM 2 est bijectiveχ M 2 (0)6= 0, il en suit que r=α. On pose   M 1 +tI α 0 φ(t) = 0M 2 α Remarquez queφest continue, detφ(t) =tdetM 2 6= 0 pourt6= 0, et

φ(0) =M, φ(t)∈GL(n),pour toutt6= 0.

Siα= 0,φest constante. d)Montrer queGL(E) est dense dansL(E). Solution:On prenduexilteisitnorpe´´cdeneetf,d’apr´eslaquesonemsihpitcejibnuoromndne 2 n une application continueφ:K−→Ktel que φ(0) =M, φ(t)∈GL(n),pour toutt6= 0. Parde´finitiondelacontinuit´e,pourtout >0 il existeδ >0 tel que si|t|< δalors kφ(t)−φ(0)k< , cela signifie que dans toute boule de centreuet de rayonil y a une infinite´demorphismesbijectifs. 5) Endomorphismes normaux.Dans cet exerciceK=IR, ouK=CletEest soit un espace hermi- tien ou un espace euclidien etuun endomorphime deE.rexfiruoPl`obprlessouenemesorpuopsn K=Cl. Rappelons que: ∗ ∗ •L’adjointudeuest l’unique morphisme tel que:hu(x), yi=hx, u(y)iet siBest une base ∗t orthonorme´edeE, alorsM B (u) =M B (u). ¯ ∗ ∗∗ ∗∗ ∗∗ ∗ •(u+v) =u+v, (uv) =v uetP(u) =P(u).χ u (X) =χ u (X) etλ∈Spec(u)⇐⇒ ∗ ¯ ∗ λ∈Spec(u). ∗ ∗ •uest normal si et seulement siuu=u u. ∗ •uest hermitien si et seulement siu=u. ∗ ∗ •uest unitaire si et seulement siuu=u u=I. •Siuv=vuspoualoremsnyoˆpslotruoP(X), Q(X) on aP(u)Q(v) =Q(v)P(u). Siuest normal alorsP(unyloptuoemoˆampluotr)sentroP(Xmeˆeem.D)Sisiuest hermitien alors P(uotruoptuˆnylemother)esenpomitiP(X).