Analyse fonctionnelle pour la Licence

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Analyse fonctionnelle pour la Licence F. Poupaud

• elements d'analyse


• operateurs compacts


• dune application


• theoreme de stone weierstrass sur la densite des polynomes


• espace metrique


• riesz


• opposition aux boules ouvertes


• rudiments de la theorie spectrale


• analyse fonctionnelle

Sujets

• Topologie
• Éléments d'analyse
• Espace métrique
• Analyse fonctionnelle

Informations

• Publié par: thieg
• Nombre de lectures: 75
• Langue: Français

Extrait

Analyse

fonctionnelle

F.

Poupaud

pour

la

Licence

2 INTRODUCTION

Cetouvragecorresponda`uncoursdonne´a`l´Universite´deNicependantlesecondsemestre delaLicence.Ils´adresseaux´etudiantsquiveulentpoursuivreleurcursusparunemaıˆtrisede math´ematiquesoudemathe´matiquesappliqu´ees. Leslivresdontilestlargementinspire´sont H. Brezis. -ylanAoitasnroeihTe ´ lpcitepanctisefolle:onne. - Paris : Masson, 1983.-(MathematiquesAppliqu´eespourlaMaitrise.) J.A.Dieudonn´e. -’asdntme ´ eElesanyl. Tome I. Fondements de l’analyse moderne. - 3`emee´dition.-Paris-Gauthier-Villars,1979. L. Schwartz. -Analyse hilbertiennennma97,1-(9.llCoitce´mnoohte.sed).P-rasiH:re Lepremierchapitreestconsacr´eauxespacesme´triquesetauxrappelsdetopologie(queles ´etudiantsontvueaupremiersemestredelaLicence). Lesecondchapitretraiteducasdesespacesvectorielsnorm´esdanslecasdeladimension infinie:Th´eor`emedeRieszsurlanoncompacite´delabouleunite´,hyperplanetformeline´aire, applicationslin´eairescontinues,existenced´applicationline´airenoncontinue,etc... Letroisie`mechapitredonnelespremie`respropri´ete´sdesespacesdeBanach:se´riesnormale- mentconvergente,e´quationsdiff´erentiellesetinte´gralespourdesfonctionsdelavariabler´eelle`a valeur dans un Banach. Lequatrie`mechapitreetudieend´etailslesespacesdefonctionscontinues.DeuxThe´or`emes ´ importantsysontdonne´s:the´or`emedeStoneWeierstrasssurladensit´edespolynˆomesettheoreme ´ ` d´Ascolisurlacompacite´desensemblesdefonctions´equicontinus. Lecinqui`emechapitreexposelath´eorie´ele´mentairedesespacesdeHilbert:orthogona- lite´,projectionsurlesconvexes,th´eor`emesderepre´sentation:Riesz,Lax-Milgram,adjointdes operateurs. ´ Lesixie`meetdernierchapitreestconsacre´eauxrudimentsdelathe´oriespectrale:ensemble re´solvant,spectreetvaleurspropres.Lesd´emonstrations´etantplussimpleslathe´oriedeRiesz Fredholmestpr´esent´eedansuncadrehilbertienplutotquedanslesBanach.Onde´critlespectre desop´erateurscompactsainsiqueladiagonalisationdesop´erateurshermitienscompacts.

1 2 3 4 5

6

Tabledesmati`eres

Espacesme´triques5 1.1Topologiedesespaceme´triques..........................5 1.2Limitesetcontinuite´................................7 1.3E´etriquescomplets............................10 spaces m 1.4Compacite´......................................12 Espacesvectorielsnorme´s17 2.1G´en´eralit´esetthe´or`emedeRiesz..........................17 2.2Applicationslin´eaires................................19 2.3Hyperplansetformeslin´eaires...........................20 2.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Espaces de Banach 25 3.1G´en´eralit´es......................................25 3.2Inte´gralesdesfonctionsa`valeursdanslesBanach................27 3.3Equationsdiffe´rentielles...............................29 3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Espaces de fonctions continues 33 4.1G´en´eralite´s......................................33 4.2The´ore`medeStone-Weierstrass..........................35 4.3Equicontinuit´e....................................37 4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 EspacesdeHilbertetconvexite´41 5.1Ge´n´eralite´s......................................41 5.2Orthogonalite´....................................42 5.3Convexite´etprojectionsorthogonales.......................44 5.4 Espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5.5The´ore`mesderepr´esentation............................47 5.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Ele´mentsdethe´oriespectrale51 6.1Ge´n´eralite´s......................................51 6.2Ope´rateurscompacts.................................53 6.3Th´eorieHilbertiennedeRiesz-Fredholm......................55 6.4Spectred’unope´rateurcompact...........................57 6.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3

4

Table

des

matieres `

Chapitre 1 Espacesme´triques

Le but de ce chapitre est de rappeler les bases du cours de topologie qui sont utiles pour l etude des espaces fonctionnels. Le parti pris est de ne faire ces rappels topologiques que dans un ´´ cadreme´trique.Onintroduitdonctoutd´abordlesboulescequipermetdede´finirlesouvertset donclatopologieassoci´e.Ons´inte´resseensuitea`laconvergencedessuitespuisa`lacontinuit´edes applicationsentreespacesm´etriques.Unedesnotionscl´eestlanotiond´espacecomplet,cequi permetd´e´noncerundesth´eor`emesfondamentaux(meˆmes´ilest´el´ementaire)deprolongement desapplicationsuniforme´memtcontinues.Uneautrenotioncl´eestcelledecompacit´eetl´onfera lelienentrecompacit´eetcompacit´ese´quentielleentrerelativecompacite´etpre´compacit´ e. 1.1Topologiedesespacem´etriques Unespaceme´triqueestladonn´eed´unensembledontles´el´ementssontconsid´ere´scomme despointsetd´uneapplicationquipermetdemesurersideuxpointssontprochesoue´loign´es. Pluspre´cis´ementona De´finition1.qieuacem´etrUnesp(E d)eenstnsmaellobdnne´deu´eEet d´une application d:E×E→R + ppa,nctauieq´eelisedfiie´vre ∀ zx y∈E•d(x y) = 0ssix=y •d(x y) =d(y x) •d(x z)≤d(x y) +d(y z)

L´in´egalite´ci-dessusestappel´eein´egalit´etriangulaire.Elleditquelalongueurc”toude´” (x z) du “triangle” (x y znitse)lrau`eeire´aflongueureulnoeDˆmmeqeotecs.´euxdetraused ´ a des “triangles” on a aussi des boulesB(x;r) de centrexde rayonr. B f (x;r) ={y∈E  d(x y)≤r}(1.1) Cesboulessontditesferme´es,paroppositionauxboulesouvertesdonne´espar B(x;r) ={y∈E  d(x y)< r}(1.2) Iln´yapasdenotationsuniversellementadmisespourfaireladiff´erenceentreboulesouverteset boulesferme´es.Endehorsd´uncontexteclairilfautdonctoujoursmieuxpr´ecisersilanotation B(x;r)dnglee´iseluobauouleortvefeleouab.ee´mr L´ine´galit´etriangulairepermetdere´soudrel´exercicesuivant.

5

Chapitre1.Espacesme´triques

6 Exercice 1. Soit0≤ρ < retx ydeux points deE, montrer queB f (x;ρ)⊂B(x r)⊂B f (x;r)et que sid(x y)< r−ρalorsB f (y;ρ)⊂B(x r). Lasignificationduvocabulaire:ouvert,ferm´e,vadevenirclaireapr`eslapropositionsuivante. Proposition 1. Soit(E d)rietm´cepaesunetonnO.euqOl´ensemble des partiesO⊂Etnirefivie´uq ∀x∈Oil exister >0 B(x;r)⊂O(1.3) AlorsOsuieogolrnfie´dpotenutiEst´e,cd´ouvertsquisatia`idernuneesbmelest´nofsxuatporpe´ir suivantes ∅ E∈ O SoitSun sous ensemble deOalorsΩ =∪ O∈S O∈ O SiO 1  O n  n∈Nest une famillefiniedeOalorsO 1 ∩O 2 ∩O n ∈ O

Lav´erificationestimme´diate.Six∈Ω alors il existe unO∈ S ⊂ Otel quex∈O. Donc par definition deO, il exister >0 tel queB(x;r)⊂O⊂Ωapteonrceqs´ntueΩ∈ OeDˆmmesei. ´ x∈O 1  O n alors il exister 1  r n >0 tels queB(x;r 1 )⊂O 1  B(x;r n )⊂O n . On choisit alors r= min{r 1  r n }on a bien quer >0 et pour toutk= 1  n B(x;r)⊂B(x;r k )⊂O k . Il s´en suit queB(x;r k )⊂O 1 ∩O 2 ∩O n que ce dernier ensemble est bien danset O. Onditquelesouvertssontstablesparr´eunionquelconqueetparintersectionfinie.Attention uneintersectioninfinied´ouvertsn´estpasne´cessairementunouvertcommelemontrel´exemple e´l´ementairesuivant.OnprendE=R,d(x y) =|x−y|. AlorsO n =]− 1 n  1 n [ n= 12 sont bien des ouverts mais∩ n ∞ =1 O n ={0}n´en est pas un ! Un sous ensembleFdeEtiefsedtomplestcs´ilrm´emeeaintd´reouuntreve´c,a`tserid ´ E\F∈ Obleststapareml´mpcoesirtaenefseleuqnosse´mr.Onv´erifieaolsrapprsaasegua intersectionsquelconquesetre´unionsfinies.OnnoteF´ensldeesm´erfseitrapsedelbmeE. On a aussi Exercice 2.ertessonoulesouveLbsesm´ntsoleouersf,strbselsedtevuo´desfes. erm Lespartiesquisonta`lafoisouvertesetferme´essontrelie´es`alanotiondeconnexite´.On renvoiepourcettenotionaucoursdetopologie.Onrappelleuniquementquepard´efinitionEest ditconnexesilesseulespartiesouvertesetferm´eesdeEsont∅etE. Lesnotionssuivantesdetopologievontparcontreeˆtreutilise´esdanslasuite. ◦ SoitX ´triqueun sous ensemble d´ (E drieur.)inoSe´tnXestpard´enfitioilne un espace me plus grand ouvert contenu dansXfaS.emreerut(ouadh´erence)Xleuieqm´etsellpsuepitftre contient. ◦ X=∪ O∈O O⊂X O X=∩ F∈F X⊂F F ◦ Lafrontie`redeXest∂X=X\X. On dit queXest une partie dense deEsi et seulement si X=E. On rappelle aussi qu´un voisinage d´un pointx∈E(ou d´une partieX⊂E) est un sous ensemble deEqui contient un ouvert contenantx(respectivementX). Exercice 3.ensemble est un ouvert si et seulement si il est voisinage de tous sesMontrer qu´un points.