Analyse fonctionnelle pour la Licence
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Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Analyse fonctionnelle pour la Licence F. Poupaud

  • elements d'analyse

  • operateurs compacts

  • dune application

  • theoreme de stone weierstrass sur la densite des polynomes

  • espace metrique

  • riesz

  • opposition aux boules ouvertes

  • rudiments de la theorie spectrale

  • analyse fonctionnelle


Sujets

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Nombre de lectures 75
Langue Français

Extrait

Analyse
fonctionnelle
F.
Poupaud
pour
la
Licence
2 INTRODUCTION
Cetouvragecorresponda`uncoursdonne´a`l´Universite´deNicependantlesecondsemestre delaLicence.Ils´adresseaux´etudiantsquiveulentpoursuivreleurcursusparunemaıˆtrisede math´ematiquesoudemathe´matiquesappliqu´ees. Leslivresdontilestlargementinspire´sont H. Brezis. -ylanAoitasnroeihTe´lpcitepanctisefolle:onne. - Paris : Masson, 1983.-(MathematiquesAppliqu´eespourlaMaitrise.) J.A.Dieudonn´e. -asdntme´eElesanyl. Tome I. Fondements de l’analyse moderne. -3`emee´dition.-Paris-Gauthier-Villars,1979. L. Schwartz. -Analyse hilbertiennennma97,1-(9.llCoitce´mnoohte.sed).P-rasiH:re Lepremierchapitreestconsacr´eauxespacesme´triquesetauxrappelsdetopologie(queles ´etudiantsontvueaupremiersemestredelaLicence). Lesecondchapitretraiteducasdesespacesvectorielsnorm´esdanslecasdeladimension innie:Th´eor`emedeRieszsurlanoncompacite´delabouleunite´,hyperplanetformeline´aire, applicationslin´eairescontinues,existenced´applicationline´airenoncontinue,etc... Letroisie`mechapitredonnelespremie`respropri´ete´sdesespacesdeBanach:se´riesnormale-mentconvergente,e´quationsdi´erentiellesetinte´gralespourdesfonctionsdelavariabler´eelle`a valeur dans un Banach. Lequatrie`mechapitreetudieend´etailslesespacesdefonctionscontinues.DeuxThe´or`emes ´ importantsysontdonne´s:the´or`emedeStoneWeierstrasssurladensit´edespolynˆomesettheoreme ´ ` d´Ascolisurlacompacite´desensemblesdefonctions´equicontinus. Lecinqui`emechapitreexposelath´eorie´ele´mentairedesespacesdeHilbert:orthogona-lite´,projectionsurlesconvexes,th´eor`emesderepre´sentation:Riesz,Lax-Milgram,adjointdes operateurs. ´ Lesixie`meetdernierchapitreestconsacre´eauxrudimentsdelathe´oriespectrale:ensemble re´solvant,spectreetvaleurspropres.Lesd´emonstrations´etantplussimpleslathe´oriedeRiesz Fredholmestpr´esent´eedansuncadrehilbertienplutotquedanslesBanach.Onde´critlespectre desop´erateurscompactsainsiqueladiagonalisationdesop´erateurshermitienscompacts.
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6
Tabledesmati`eres
Espacesme´triques5 1.1Topologiedesespaceme´triques..........................5 1.2Limitesetcontinuite´................................7 1.3E´etriquescomplets............................10 spaces m 1.4Compacite´......................................12 Espacesvectorielsnorme´s17 2.1G´en´eralit´esetthe´or`emedeRiesz..........................17 2.2Applicationslin´eaires................................19 2.3Hyperplansetformeslin´eaires...........................20 2.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Espaces de Banach 25 3.1G´en´eralit´es......................................25 3.2Inte´gralesdesfonctionsa`valeursdanslesBanach................27 3.3Equationsdie´rentielles...............................29 3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Espaces de fonctions continues 33 4.1G´en´eralite´s......................................33 4.2The´ore`medeStone-Weierstrass..........................35 4.3Equicontinuit´e....................................37 4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 EspacesdeHilbertetconvexite´41 5.1Ge´n´eralite´s......................................41 5.2Orthogonalite´....................................42 5.3Convexite´etprojectionsorthogonales.......................44 5.4 Espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5.5The´ore`mesderepr´esentation............................47 5.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Ele´mentsdethe´oriespectrale51 6.1Ge´n´eralite´s......................................51 6.2Ope´rateurscompacts.................................53 6.3Th´eorieHilbertiennedeRiesz-Fredholm......................55 6.4Spectredunope´rateurcompact...........................57 6.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3
4
Table
des
matieres `
Chapitre 1 Espacesme´triques
Le but de ce chapitre est de rappeler les bases du cours de topologie qui sont utiles pour l etude des espaces fonctionnels. Le parti pris est de ne faire ces rappels topologiques que dans un ´´ cadreme´trique.Onintroduitdonctoutd´abordlesboulescequipermetdede´nirlesouvertset donclatopologieassoci´e.Ons´inte´resseensuitea`laconvergencedessuitespuisa`lacontinuit´edes applicationsentreespacesm´etriques.Unedesnotionscl´eestlanotiond´espacecomplet,cequi permetd´e´noncerundesth´eor`emesfondamentaux(meˆmes´ilest´el´ementaire)deprolongement desapplicationsuniforme´memtcontinues.Uneautrenotioncl´eestcelledecompacit´eetl´onfera lelienentrecompacit´eetcompacit´ese´quentielleentrerelativecompacite´etpre´compacit´ e. 1.1Topologiedesespacem´etriques Unespaceme´triqueestladonn´eed´unensembledontles´el´ementssontconsid´ere´scomme despointsetd´uneapplicationquipermetdemesurersideuxpointssontprochesoue´loign´es. Pluspre´cis´ementona De´nition1.qieuacem´etrUnesp(E d)eenstnsmaellobdnne´deu´eEet d´une application d:E×ER+ppa,nctauieq´eelisedie´vre  zx yEd(x y) = 0ssix=y d(x y) =d(y x)d(x z)d(x y) +d(y z)
L´in´egalite´ci-dessusestappel´eein´egalit´etriangulaire.Elleditquelalongueurctoude´(x z) du “triangle” (x y znitse)lrau`eeire´aflongueureulnoeDˆmmeqeotecs.´euxdetraused ´ a des “triangles” on a aussi des boulesB(x;r) de centrexde rayonr. Bf(x;r) ={yE  d(x y)r}(1.1) Cesboulessontditesferme´es,paroppositionauxboulesouvertesdonne´espar B(x;r) ={yE  d(x y)< r}(1.2) Iln´yapasdenotationsuniversellementadmisespourfaireladi´erenceentreboulesouverteset boulesferme´es.Endehorsd´uncontexteclairilfautdonctoujoursmieuxpr´ecisersilanotation B(x;r)dnglee´iseluobauouleortvefeleouab.ee´mr L´ine´galit´etriangulairepermetdere´soudrel´exercicesuivant.
5
Chapitre1.Espacesme´triques
6 Exercice 1. Soit0ρ < retx ydeux points deE, montrer queBf(x;ρ)B(x r)Bf(x;r)et que sid(x y)< rρalorsBf(y;ρ)B(x r). Lasignicationduvocabulaire:ouvert,ferm´e,vadevenirclaireapr`eslapropositionsuivante. Proposition 1. Soit(E d)rietm´cepaesunetonnO.euqOl´ensemble des partiesOEtnirevie´uq xOil exister >0 B(x;r)O(1.3) AlorsOsuieogolrne´dpotenutiEst´e,cd´ouvertsquisatia`idernuneesbmelest´nofsxuatporpe´ir suivantes  E∈ O SoitSun sous ensemble deOalorsΩ =O∈SO∈ OSiO1 On nNest une famillefiniedeOalorsO1O2On∈ O
Lav´ericationestimme´diate.SixΩ alors il existe unO∈ S ⊂ Otel quexO. Donc par definition deO, il exister >0 tel queB(x;r)OΩapteonrceqs´ntueΩ∈ OeDˆmmesei. ´ xO1 Onalors il exister1 rn>0 tels queB(x;r1)O1 B(x;rn)On. On choisit alors r= min{r1 rn}on a bien quer >0 et pour toutk= 1  n B(x;r)B(x;rk)Ok. Il s´en suit queB(x;rk)O1O2Onque ce dernier ensemble est bien danset O. Onditquelesouvertssontstablesparr´eunionquelconqueetparintersectionnie.Attention uneintersectioninnied´ouvertsn´estpasne´cessairementunouvertcommelemontrel´exemple e´l´ementairesuivant.OnprendE=R,d(x y) =|xy|. AlorsOn=]1n 1n[ n= 12 sont bien des ouverts maisn=1On={0}n´en est pas un ! Un sous ensembleFdeEtiefsedtomplestcs´ilrm´emeeaintd´reouuntreve´c,a`tserid ´ E\F∈ Obleststapareml´mpcoesirtaenefseleuqnosse´mr.Onv´erieaolsrapprsaasegua intersectionsquelconquesetre´unionsnies.OnnoteF´ensldeesm´erfseitrapsedelbmeE. On a aussi Exercice 2.ertessonoulesouveLbsesm´ntsoleouersf,strbselsedtevuo´desfes. erm Lespartiesquisonta`lafoisouvertesetferme´essontrelie´es`alanotiondeconnexite´.On renvoiepourcettenotionaucoursdetopologie.Onrappelleuniquementquepard´enitionEest ditconnexesilesseulespartiesouvertesetferm´eesdeEsontetE. Lesnotionssuivantesdetopologievontparcontreeˆtreutilise´esdanslasuite. SoitX ´triqueun sous ensemble d´ (E drieur.)inoSe´tnXestpard´entioilne un espace me plus grand ouvert contenu dansXfaS.emreerut(ouadh´erence)Xleuieqm´etsellpsuepitftre contient. X=O∈O OXO X=F∈F XFF Lafrontie`redeXest∂X=X\X. On dit queXest une partie dense deEsi et seulement si X=E. On rappelle aussi qu´un voisinage d´un pointxE(ou d´une partieXE) est un sous ensemble deEqui contient un ouvert contenantx(respectivementX). Exercice 3.ensemble est un ouvert si et seulement si il est voisinage de tous sesMontrer qu´un points.
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