Analyse precisee d'equations semi lineaires elliptiques sur l'espace hyperbolique et

Erwann Delay†

Description

Niveau: Supérieur
Analyse precisee d'equations semi-lineaires elliptiques sur l'espace hyperbolique et application a la courbure scalaire conforme Erwann DELAY? Universite de Nice-Sophia Antipolis Resume. Au theme de la courbure scalaire conforme sur l'espace hyperbolique nous ap- portons ici une etude fine du comportement asymptotique en toute dimension. Nous traitons toujours d'equations semi-lineaires generales, avant d'appliquer nos resultats au cas particulier de l'equation geometrique. Abstract. Regarding the theme of the conformal scalar curvature on the hyperbolic space, we bring here a study of the fine asymptotic behavior in any dimension. We al- ways deal with general semi-linear equations, before applying our results to the particular case of the geometric equation. Mots-cles : espace hyperbolique, metriques conformes, courbure scalaire, EDP semi-lineaires elliptiques, estimations a priori, comportement asymp- totique, existence, inexistence, sur et sous solutions, methode de continuite 1991 MS Classification : 58G30, 53C21, 35J70, 35B45, 35B40 ?Moniteur-Allocataire MENESR 1

• espace hyperbolique


• metrique standard de sn?1


• theoreme


• prescriptibilite locale de la coubure de ricci au voisinage de la metrique hyperbolique


• courbure scalaire


• equations semi-lineaires


• vertu du theoreme d'inversion locale

Sujets

• Antipolis
• Delanoë
• Théorème
• Courbure scalaire

Informations

• Publié par: profil-nechor-2012
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• Langue: Français

Extrait

Analysepr´ecis´eed’e´quationssemi-lin´eaires elliptiques sur l’espace hyperbolique et applicationa`lacourburescalaireconforme Erwann DELAY ∗ Universit´edeNice-SophiaAntipolis

R´ ´ esume. Auth`emedelacourburescalaireconformesurl’espacehyperboliquenousap- portonsiciunee´tudefineducomportementasymptotiqueentoutedimension. Noustraitonstoujoursd’´equationssemi-line´airesg´en´erales,avantd’appliquernos re´sultatsaucasparticulierdel’e´quationge´om´etrique.

Abstract. Regarding the theme of the conformal scalar curvature on the hyperbolic space, we bring here a study of the fine asymptotic behavior in any dimension. We al- ways deal with general semi-linear equations, before applying our results to the particular case of the geometric equation.

Mots-cl´esrbpehycepaes:,eriserualace´rtqieuloqieum,es,courbsconform EDPsemi-line´aireselliptiques,estimationsa priori, comportement asymp- totique,existence,inexistence,suretsoussolutions,m´ethodedecontinuit´e 1991 MS Classification 53C21, 35J70, 35B45, 35B40: 58G30, ∗ Moniteur-Allocataire MENESR

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E. DELAY

2 1 Introduction SoitBeedtie´elnubauolR n nnseatdnradamelednimu(eidilcueeuqirte´E) et soitρinfieruselafonctiond´Bpar: ρ(x 1 2 )=(1− |x| 2 ). Nousutiliseronspourmode`ledel’espacehyperboliquestandardH n (−1) la bouleBmrof:euqirnoceladeetm´mieun H 0 =ρ −2 E. Aud´epartdecetarticleontrouvelefaitsuivant:l’applicationqui,`aune fonctionre´elleveiurse´nfidBrebualscreailadea,cossaleiruoc´mteiruqe conformeH v  += (1v)H 0 , est localement inversible au voisinage dev= 0, lorsqu’onlaconsid`eredansdesespacesfonctionnelsapproprie´s.Leses- pacesenquestion,utilise´sdans[GL],d´ependentd’unparame`trer´eelscar- act´eristiqueducomportementa`l’infinidesfonctionsetdeleursde´rive´es. Rappelons-enlad´efinition:unefonctionu∈C k,α loc (B) est dans l’espace Λ α,k s silaquantit´esuivante,quirepr´esentesanormedanscetespace,estfinie: α : sup[d x −s+|γ| |∂ γ u(x)|] kuk s ,k = |γ| X ≤ k x∈B sup min(d x −s+k+α , d −s+k+α + |γ| X = k x,y∈ B y ) |∂ γ u( | x x ) − − y ∂ | α γ u(y)| x6=y o`ud x est la distance euclidienne dexau bord (en l’occurenced x ≡1− |x|). Un membre typique de Λ s est la fonctionρ s . Si4al´mteiruqed´esignelelaplaciendeH 0 (ode´uqa`lentmbsyeaollipp un covecteurξgelano´,a`tparesenticonv−|ξ| 2 H 0 ), et siK∈Λ 0 k,α alefiirev´ minoration stricte suivante: in B fK > s[s−(n−1)] alorsl’ope´rateurdetypeschr¨odinger → 4+K: Λ s k+2,α −Λ ,α s k estunisomorphisme.Cere´sultatessentielde[GL](p.217),formule´avec K∈C ∞ (B) mais encore vrai avecK∈Λ k 0 ,α , nous sera d’un usage constant ; nousl’invoqueronsci-apr`essouslevocablede”th´eore`med’isomorphismede [GL]”.C’estluiquiintervient(section2)pourd´emontrerquel’application: s v∈Λ k+2,α −→Scal(H v )−Scal(H 0 )∈Λ k,α s

Courbure scalaire conforme surH n (−1)

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estlocalementinversiblepre`sdevd0=qse`eus∈[0, nic´seVo[.`ailncdo´epr cefaitdede´part. Dans la section 2, nous montrerons que ce fait vient s’imbriquer parfaite- ment`acoˆt´ed’unimportantthe´ore`mederigidit´edeMin-Oo[MO1]dontil acatalyse´unerectificationd’hypothe`se[MO2].Seloncethe´ore`merectifie, ´ dans le cas particulier de la bouleBnem´,siueuqirteHest convenablement asymptotique`aH 0 ni(pournous`lai’finH v esd`equparece´re´sitnemless > n), alors il est impossible d’avoirScal(H)≥Scal(H 0 ) sauf siHesteiruq´mteios `aH 0 , auquel casScal(H) =Scal(H 0 versionlr`esl’inqi´ueecolaiedn.)pa’D plushaut,cere´sultatnetientplusd`eslorsques∈[0, n.[´eorCeth`eme peuteˆtrevucommeunanalogue,enasymptotiquementhyperbolique(o`u l’on ne dispose toutefois pas encore d’une notion convenable demasse), du th´or`emedelamassepositiveenasymptotiquementeuclidien(voire.g.le§. e 3 de Leung [L]). Finalement,cefaitdede´patuspo`´tudierdefac¸onplusglob-r no usse a e alel’application”courburescalaireconforme”,conside´re´edanslesespace Λ s , en dimensionn >2 (section 3) etn= 2 (section 4), surBmunie delame´triquehyperboliquestandardH 0 ntcoevieetermpl´enetU.tedull´e lestravauxante´rieurssurlesujet[AO][CCY][LTY][RRV]danslesquelsle comportementauvoisinagedel’infinin’estpre´cis´equ’`al’rd´Or o re zero. c’estl’´etudeducomportement`al’infiniquiapermisdetesterlavalidit´e duth´eor`emedeMin-Oo[MO2].Au§.5 nous construisons un exemple qui metdirectementenevidenceleslimitesdenotreme´thodelorsquelavaleur ´ duparam`etredepond´erationssesttieeu´horsde l’intervalle prescrit par le the´ore`med’isomorphismede[GL]. Nous avons regro ´ pendice (§.enemtetsnichesqu)6evidocsr´lpm upe en ap absents de [GL]. Indiquons enfin que l’analyse dans les espaces Λ s nous permet aussi d’´etudier,dansunautretravailencours,laprescriptibilite´localedela coubure de Riccissul-ererotvqsiienuigyhadelemaeu´aue(sanspperboliq streindrea`laclasseconforme). Mesremerciementsvont`aPhilippeDelanoe¨,quiencadremath`ese`a l’Universit´edeNice,o`ujesuisallocatairederechercheduMENESRdepuis Octobre 1994. Je remercie aussi Maung Min-Oo pour son accueil constructif d’uneversionpre´liminairedecetravail,ainsiqueMarcHerzlichetleReferee de cet article, pour leurs commentaires concernant la masse. Enfin je remer- cieGillesLaschonetFranc¸oisGauteropourleursremarquesetleuramical soutien.