Approximation numerique des equations de Vlasov Maxwell

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Niveau: Supérieur, Master, Bac+5
Approximation numerique des equations de Vlasov-Maxwell Eric Sonnendrucker IRMA Universite de Strasbourg Notes du cours de M2 18 mars 2010

  • equations de vlasov-maxwell

  • methode semi-lagrangienne classique

  • plasma

  • reaction de fusion

  • rappels d'analyse complexe

  • noyau

  • cote des solides, des liquides et des gaz

  • gravure par plasma en micro-electronique


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Publié le 01 mars 2010
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Approximation
num´eriquedes´equations
EricSonnendr¨ucker IRMA Universite´deStrasbourg
Notes du cours de M2
18 mars 2010
de
Vlasov-Maxwell
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Tabledesmati`eres
1 Introduction 5 1.1 Les plasmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2Lafusionthermonucl´eairecontrol´ee.....................5 1.3 Le projet ITER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4Lese´quationsdeVlasov-Maxwell......................7 1.5 Objectifs du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2Mod´elisationdesplasmas9 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2Unehie´rarchiedemode`lespourlesplasmas................9 2.2.1Lemode`lea`N 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -corps . 2.2.2Lesmode`lescine´tiques........................10 2.2.3Lesmode`lesuides..........................12 3Etudethe´oriquedele´quationdeVlasov17 3.1Le´quationdeVlasovline´aire........................17 3.2Proprie´t´esdeconservationdusyste`medeVlasov-Poisson.........21 3.3Propri´ete´sdeconservationdusyst`emedeVlasov-Maxwell........24 4M´ethodeseul´eriennes27 4.1Latechniquedusplittingdope´rateurs...................27 4.2Lesm´ethodessemi-Lagrangiennes......................29 4.2.1 Interpolation par splines cubiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.2.2Lam´ethodesemi-Lagrangienneclassique..............30 4.2.3Lam´ethodesemi-Lagrangiennesanssplitting...........33 4.2.4Importancedelaconservativit´e...................33 4.3Lame´thodedesvolumesnis........................34 4.4Lame´thodesemi-Lagrangienneconservative................37 4.4.1Equivalencedesme´thodeconservativeetclassiquepourdesad-vections ` efficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 a co 4.4.2Comparaisondessche´masdinterpolation.............40 4.4.3Lame´thodesemi-Lagrangienneenavant..............40 4.4.4El´ementsdanalysedelame´thodesemi-Lagrangienneavecsplitting43 5Vlasov-Poissonli´earise´47 n 5.1Rappelsdanalysecomplexeettransforme´edeLaplace..........47 5.1.1 Fonctions analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 5.1.2Int´egrationsuruncontour......................48 5.1.3Transform´eedeLaplace.......................49 5.2Etudedel´equationdeVlasov-Poissonline´aris´ee.............50 5.2.1 L’amortissement Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 5.2.2Linstabilit´edoublefaisceau.....................60
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TABLE
DES
` MATIERES
Chapitre 1
Introduction
1.1 Les plasmas Lorsquungazestporte´a`unetempe´raturetre`se´levee(104Kspuolus)des´electron ´ quittentlorbitedunoyaudelatomeauquelilssontrattach´esdanslegaz.Onobtient alorsunme´langeglobalementneutredesparticulescharg´ees,ionset´electrons,quiest appele´plasma.Lesplasmassontconside´r´esa`coˆt´edessolides,desliquidesetdesgaz, commelequatrie`mee´tatdelamatie`re. Onpeut´egalementobtenircequonappelleunplasmanonneutre,ouunfaisceau departiculeschargees,enimposantunetr`esfortedie´rencedepotentieldesortea` ´ extrairesoitdes´electrons,soitdesionsdunm´etalbienchoisi.Unteldispositifse trouveenge´n´eraldanslinjecteurdunacce´le´rateurdeparticules. Lesutilisationsdesplasmasdanslaviecourantesontdevenuesfr´equentes.Onpeut citerparexemplelestub`´l´cransplasma.Ilya´egalementuncertain es a neon ou es e nombredapplicationsindustrielles:amplicateursdanslessatellitesdet´ele´communica-tion,gravureparplasmaenmicro-e´lectronique,productionderayonsX.Ilfaut´egalement mentionnerquemˆemesilestquasimentabsenta`l´etatnaturelsurlaTerre,hormis lesauroresbor´ealesauxpˆoles,leplasmaconstitue99%delamassedelunivers.No-tammentles´etoilessontforme´esdeplasmasetle´nergiequellesde´gagentprovientdu processusdefusiondenoyauxl´egerscommelesprotons.
1.2Lafusionthermonucl´eairecontrol´ee L´evolutiondesbesoinse´nerge´tiquesetle´puisementdescombustiblesfossilesrendent indispensabledede´velopperdenouvellessourcesde´nergie.Selonlaformulebienconnue E=mc2o,-utensinafsrortnaonqumatitdisifaiorptuepnlederiudgieren´al´enree paraıˆtredelamasse.Ilexistedeuxgrandstypesdere´actionsnucl´eairesayantceteet. Lar´eactiondessionquiconsistea`g´en´ererdeuxnoyauxplusl´egers`apartirdunoyau dunatomelourdetlar´eactiondefusionquiconsiste`acr´eera`partirdedeuxatomes le´gersunnoyaupluslourd.Lassionestutilis´eedanslescentralesnucl´eairesactuelles. Lafusioncontroˆl´eeenestencoreaustadedelarecherche. Lar´eactiondefusionlaplusaccessibleconsistea`fairefusionnerdesnoyauxde Deut´iumetdeTritium,quisontdesisotopesdelhydrog`ene,pourobtenirunatome er dHe´liumetunneutrontre`se´nerge´tiquequiservira`aproduirelachaleurn´ecessaire`a fabriquerdel´electricite´(voirFig.1.1). Lestemp´eraturesrequisespourlafusionthermonucl´eairede´passentlacentainede ` millionsdedegr´es.Acestempe´raturesles´electronssed´etachentcomple`tementdeleur atomeetonobtientungazd´electronsetdionsappele´plasma.Pourpouvoirproduire dele´nergie,ilestbienentendune´cessairequelefacteurdamplicationQqui est 5
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CHAPITRE 1. INTRODUCTION
Figurednoitcae´raL1.1umriteeunDiousef-Tritium lerapportdelapuissanceproduite`alapuissanceexte´rieurefourniesoitsup´erieur a`un.Unbilane´nerge´tiquepermetde´tablirlecrite`redeLawsonquirelielefacteur d’amplificationQau produitnT tEo`une,maaslpude´tisnedaltsTra´emptesateuter tEel´entdnemeconpmdselet.amserenedgiscanlaep Lafusionesta`labasedel´energiedese´toilesdanslesquellesunconnementa` unedensite´susanteestassureparleurmasse.Lestravauxderecherchesurlafusion ´ controˆle´esurTerreenvisagentdeuxapproches:lafusionparconnementinertielqui consistea`atteindreunedensite´tr`ese´lev´eependantuntempsrelativementcourten tirant sur une capsule de Deuterium et Tritium avec des faisceaux laser ; la fusion par connementmagne´tiquequiconsistea`connerleplasmagrˆace`aunchampmagne´tique a`unedensite´moinse´lev´eemaispendantuntempspluslong.Cettedernie`reapproche estpoursuiviedansleprojetITERdontlaconstructionvientdedemarrera`Cadarache ´ danslesud-estdelaFrance.Leplasmaestconn´edansunechambredeformetoroı¨dale appele´etokamakquipourITERestrepr´esente´esurlaFigure1.2.
Figure1.2 – Vue d’artiste du Tokamak ITER Notons que deux approches sont poursuivies pour le confinement inertiel, d’une part leconnementutilisantdeslasersdetre`sgrandepuissancepourlequeldesinstallations experimentales (NIF aux Etats-Unis et LMJ en France) sont en cours de construction ´ pourlavalidationexp´erimentaleduconceptetdautreparleconnement`alaidede faisceauxdionslourds.Onpourraser´efe´rerausitedeLInstitutLasersetPlasmasa` Bordeaux pour plus d’informations sur la fusion inertielle par aserp:tthilw.ww//.p u-bordeaux1.fret au sitehttp://hll/iatotualritm.hl.fig.lbt/vorotupour la