Approximations de zéros

Description

Niveau: Supérieur
Lycée Brizeux Mathématiques PCSI A 2010-2011 TP 5 : approximations de zéros 1 Etude d'une fonction avec Maple Exercice 1. On considère la fonction f définie par f(x) = sin 2(x) 2?2 cos(x) · 1. Créer la fonction f avec Maple. 2. La première des choses à faire est de déterminer un domaine de définition pour f . Utilisez pour cela la commande singular. Que réalise cette commande ? Préconiser un intervalle d'étude I = ......... 3. Tracer le graphe de f . 4. Etude de la continuité. (a) Tester à l'aide de la commande iscont la continuité de f sur R. (b) Calculer à l'aide de la commande limit la limite de f en 0. Comment prolonger f par continuité en 0 ? sur R ? 5. Etude de la dérivabilité du prolongement. (a) Calculer la dérivée de f et calculer sa limite en 0. Que peut-on en conclure ? (b) Même question avec la dérivée seconde de f . 2 Approximations de zéros Résoudre de manière exacte une équation du type f(x) = 0 où f est une fonction de la variable réelle n'est pas toujours possible (même si on peut affirmer l'existence d'au moins une solution) ; il faut alors chercher des solution approchée (cf.

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Sujets

• Méthode de Newton

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Extrait

Lycée Brizeux

Mathématiques

TP 5 : approximations de zéros

1 Etuded’une fonction avec Maple

PCSI A2010-2011

2 sin (x) Exercice 1.On considère la fonctionfdéfinie parf(x) =∙ 2−2 cos(x) 1. Créerla fonctionfavec Maple. 2. Lapremière des choses à faire est de déterminer un domaine de définition pourf. Utilisez pour cela la commande singular. Que réalise cette commande? Préconiser un intervalle d’étudeI=......... 3. Tracerle graphe def. 4. Etudede la continuité. (a) Testerà l’aide de la commandeiscontla continuité defsurR. (b) Calculerà l’aide de la commandelimitla limite defen0. Comment prolongerfpar continuité en0? sur R? 5. Etudede la dérivabilité du prolongement. (a) Calculerla dérivée defet calculer sa limite en0. Que peut-on en conclure? (b) Mmequestion avec la dérivée seconde def.

2 Approximationsde zéros

Résoudre de manière exacte une équation du typef(x) = 0oùfest une fonction de la variable réelle n’est pas toujours possible (mme si on peut affirmer l’existence d’au moins une solution); il faut alors chercher des solution approchée (cf. TP4). On rappelle que la fonctionsolve(suivie deevalf) (oufsolve) permet de déterminer des solutions approchées d’équations du typef(x) = 0?? Sont-elles précises. Mais comment sont déterminées ces approximations Il s’agit dans cette partie d’étudier deux méthodes qui pemettent d’obtenir des valeurs approchées de zéros de fonctions. Nous nous efforcerons toujours, lorsqu’on approche un réel, de majorer l’erreur commise par l’approximation.

2.1Laméthodededichotomie

Soitf: [a, b]→Rune fonction continue. On cherche une valeur approchée, avec une précisionε >0donnée, pour une solution de l’équationf(x) = 0. Sif(a)f(b)<0alors le théorème des valeurs intermédiares nous garantit l’existence d’une solution. L’idée est de construire deux suites adjacentes(a n ) n∈N et(b n ) n∈N qui convergent vers une solutionα. Rappelons comment sont construites ces suites : On suppose quef: [a, b]→Rest continue et quef(a)<0etf(b)>0.

•On posea 0 =aetb 0 =b. a n +b n •Pour toutn≥0, soitm n =: 2 ( a n +b n a n+1 =m n = ?sif(m n )≤0;on pose 2 b n+1 =b n ( a n+1 =a n ?sif(m n )>0on pose a n +b n . b n+1 =m n = 2

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