Baccalauréat STI Métropole juin Génie mécanique civil Génie énergétique

Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
[ Baccalauréat STI Métropole juin 2000 Génie mécanique, civil, Génie énergétique \ Durée : 4 heures Coefficient : 4 EXERCICE 1 5 points 1. i est le complexe de module 1 et d'argument π 2 . On considère les nombres complexes suivants : a = p 3+ i b = p 2? i p 2. Déterminer le module et un argument de a, b et a b . 2. Soit z = cos 5π 12 + i sin 5π 12 . Le plan complexe est muni d'un repère orthonor- mal ( O, ?? u , ?? v ) avec 4 cm comme unité graphique. On considère les points M1, M2, M3, M4 d'affixes respectives z, z2, z3, z4. a. Déterminer le module et un argument de z, z2, z3, z4. b. En laissant vos traits de construction sur la copie, placer les pointsM1 , M2, M3 et M4 dans le plan complexe. EXERCICE 2 4 points Unprofesseur organise un tournoi de football entre des équipes d'élèves de seconde et des équipes d'élèves de première. Voici les résultats des huit matchs joués le pre- mier jour du tournoi. équipe de seconde équipe de première 1er match 2 buts 1 but 2e match 2 buts 0 but 3e match 3 buts 3 buts 4e match 1 but 3 buts 5e match 0 but 1 but 6e match 0 but 0 but 7e match 1 but 4

• m4 dans le plan complexe


• courbe représentative


• repère orthonor


• équipes d'élèves de seconde et des équipes d'élèves de première

Sujets

• Graphe d'une fonction

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2000
• Nombre de lectures: 29
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat STI Métropole juin 2000 Génie mécanique, civil, Génie énergétique\

Durée : 4 heures

E X E R C IC E 1

π 1.i est le complexe de module 1 et d’argument. 2 On considère les nombres complexes suivants :

Coefficient : 4

5 points

a=3+ib=2−i 2. a Déterminer le module et un argument dea,bet . b 5π5π 2.Soitz=cos+i sin. Le plan complexe est muni d’un repère orthonor 12 12 ³ ´ −→−→ mal O,u,vavec 4 cm comme unité graphique. On considère les points 2 3 4 M 1 ,M 2 ,M 3 ,M 4 d’affixes respectivesz,z,z,z. 2 3 4 a.Déterminer le module et un argument dez,z,z,z. b.En laissant vos traits de construction sur la copie, placer les pointsM 1 ,M 2 ,M 3 etM 4 dans le plan complexe.

E X E R C IC E 2 4points Un professeur organise un tournoi de football entre des équipes d’élèves de seconde et des équipes d’élèves de première. Voici les résultats des huit matchs joués le pre mier jour du tournoi.

er 1 match e 2 match e 3 match e 4 match e 5 match e 6 match e 7 match e 8 match

équipe de seconde 2 buts 2 buts 3 buts 1 but 0 but 0 but 1 but 3 buts

équipe de première 1 but 0 but 3 buts 3 buts 1 but 0 but 4 buts 2 buts

On choisit un match au hasard parmi les huit matchs du premier jour du tournoi; tous les matchs ont la même probabilité d’être choisis 1. a.Montrer que la probabilitép 1 qu’aucun but n’ait été marqué au cours de 1 ce match est égale à. 8 b.Quelle est la probabilitép 2 que le match soit nul (c’estàdire que chaque équipe ait marqué le même nombre de buts) ? 2.Pour chaque match, on calcule la différence entre les nombres de buts mar qués par les deux équipes, de façon à trouver un nombre positif ou nul. On e définit ainsi une variable aléatoireXmatch, la valeur. Par exemple, pour le 5 e deXmatch, elle est aussi égale à 1.est égale à 1 et pour le 8 a.Donner les quatre valeurs possibles deX.

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b.Déterminer la loi de probabilité deX. c.Calculer l’espérance mathématique deX.

A. P. M. E. P.

P R O B L È M E 11 points ³ ´ −→−→ Dans tout le problème, le planPO,est rapporté à un repère orthonormalı, d’unité graphique 2 cm. Soitfla fonction définie sur ]0 ;+∞[ par

x+2+lnx f(x)=. x ³ ´ −→−→ La courbe représentativeCde la fonctionfdans le repèreO,ı,est tracée à la dernière page (à compléter au fur et à mesure et à rendre avec la copie).

Partie I  étude de la fonctionf

1.D’après le graphique, il semble que l’axe des ordonnées soit asymptote à la courbeC. Le prouver par le calcul. 2 lnx 2. a.Vérifier que pour toutxde ]0 ;+∞[,f(x)=1+ +. x x b.Déterminer la limite defen+∞. c.En déduire l’existence d’une asymptote D à la courbeC. Donner son équation et la tracer sur la dernière page. 1−lnx ′ 3. a.Prouver que, pour toutxde ]0 ;+∞[,f(x)=. 2 x ′ −1 b.Montrer quef(x) s’annule en changeant de signe en e. c.Établir le tableau de variations def. Dans ce tableau, on donnera la va leur exacte du maximum def.

Partie II  Position relative de deux courbes x+2 1.Soitgla fonction définie sur ]0 ;+∞[ parg(x)=etHla courbe repré x ³ ´ −→−→ sentative degdans le repèreO,ı,. a.Étudier rapidement la fonctiongsur ]0 ;+∞[ (dérivée, limites, tableau de variations). b.Donner les équations des deux asymptotes de la courbeH. 2. a.Calculerf(x)−g(x) et étudier son signe. b.Montrer que les deux courbesCetHse coupent en un point K d’abs cisse 1. c.Étudier la position relative des deux courbesCetH. 3.Placer le point K et construire la courbeHsur la dernière page.

Partie III  Calcul d’une aire Soitαun réel tel queα>1. On noteA(α) l’aire du domaine limité par les courbesCetHet par les droites d’équationx=1 etx=α.

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A. P. M. E. P.

1 ′2 1.Soitula fonction définie sur ]0 ;+∞[ paru(x)=(lnx) .Vérifier queuest 2 lnx une primitive desur ]0 ;+∞[. x 2 2.CalculerA(α.) en cm 3.En remarquant que lnαest strictement positif, calculerαpour queA(α)=8 2 cm .Hachurer l’aire correspondante sur le graphique (dernière page) à rendre avec la copie.

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Document à rendre avec la copie

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