Capes agricole

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1/9 MATH-E-1SN CONCOURS DE RECRUTEMENT AU PROFESSORAT C A P E S A DE L'ENSEIGNEMENT DU SECOND DEGRE AGRICOLE Concours : EXTERNE Section : Mathématiques PREMIERE EPREUVE ECRITE D'ADMISSIBILITE Première composition Coefficient : 2,5 ? Durée : 5 heures La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies. L'usage des instruments de calcul est autorisé, notamment celui des calculatrices de poche, à condition qu'elles soient à fonctionnement autonome et qu'il ne soit pas fait usage d'imprimante. Le sujet comporte neuf pages. L'énoncé est constitué de cinq parties. La première partie porte sur le calcul d'une intégrale classique La deuxième est consacrée à l'étude de la fonction Gamma d'Euler, définie comme une intégrale généralisée. La troisième relie la fonction Gamma et la fonction Bêta. La quatrième étudie les lois Gamma et en particulier la loi du Chi-deux. Enfin, la cinquième partie montre comment une variable suivant une loi du Chi-deux est obtenue lors d'un tirage. La cinquième partie est largement indépendante du reste du problème.

• réel


• double inégalité


• usage des instruments de calcul


• intégrale classique


• nature de la branche infinie


• inégalité de taylor-lagrange


• ?x? ?


• ∞?? ?

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CONCOURS DE RECRUTEMENT AU PROFESSORAT C A P E S A DE L'ENSEIGNEMENT DU SECOND DEGRE AGRICOLE Concours : EXTERNE Section : Mathématiques PREMIERE EPREUVE ECRITE D’ADMISSIBILITE Première composition Coefficient : 2,5−Durée : 5 heures La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements interviendront pour une part importante dans l’appréciation des copies. L’usage des instruments de calcul est autorisé, notamment celui des calculatrices de poche, à condition qu’elles soient à fonctionnement autonome et qu’il ne soit pas fait usage d’imprimante. Le sujet comporte neuf pages. L’énoncé est constitué de cinq parties. La première partie porte sur le calcul d’une intégrale classique La deuxième est consacrée à l’étude de la fonction Gamma d’Euler, définie comme une intégrale généralisée. La troisième relie la fonction Gamma et la fonction Bêta. La quatrième étudie les lois Gamma et en particulier la loi du Chideux. Enfin, la cinquième partie montre comment une variable suivant une loi du Chideux est obtenue lors d’un tirage. La cinquième partie est largement indépendante du reste du problème.

1/9 MATHE1SN

On désigne par : `l’ensemble des entiers naturels ; * ` l’ensemble des entiers naturels non nuls ; \le corps des nombres réels ; ∗ \ + le sous-ensemble de \ constitué des nombres réels strictement positifs. Première Partie +∞ +∞ 2 −t−t 1.Prouver la convergence de l’intégralee dtet en déduire celle dee dt. ∫ 0 ∫ 0 G G 2.Le plan réel euclidien E est rapporté au repère orthonorméO;i;j; .rest un réel strictement positif. ) On pose :C r = { ( ;y∈E/ 0≤x≤r et0≤y≤r } , 2 2 2 2 2 2 Q= { ( x;y ) ∈E/x≥0 ;y≥0 ;x+y≤r, etQ'= ( x;y ) ∈E/x≥0 ;y≥0 ;x+y≤2r. r r a. Représenter dans le même repèreC r , Q r  etQ’ r . 2 2 − +y ( ) On pose pourxetyréels, f ( x,y ) =e et=f(x,y)dxdy,J=f(x,y)dxdy,J' =f(x,y)dxdy ∫∫ C r ∫∫ Q r ∫∫ Q' r r r r b. Justifier la double inégalité :J≤I≤J'. r r r c. CalculerJ r  etJ’ r . 2 2 r 2 2 π −r  −x  π −2r d. En déduire que :1−e≤edx≤1−e . ∫ 0 ( )   ( ) 4   4 +∞ 2 −t e. Etablir que :e dt=. ∫ 0 2

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Deuxième partie Quelques propriétés de la fonctionΓ +∞ x−1−t On définit la fonctionΓpar :x 6 tedt . ∫ 0 +∞ x−t 1.Déterminer l’ensemble des réelsxtels que dtt e converge. ∫ 0 ∗ En déduire que l’ensemble de définition de la fonctionΓest \ . + ∗ 2.a. Préciser le signe deΓsur \ . + b.limProuver que Γ(x)= +∞. x→ 0 x >0 ∗ ∀ Γ + = Γ 3.a. Etablir la relation :x∈ \ + , 1 ) x ( x ) . b. En déduire une expression simple deΓ(n) pourn∈ `* .  1  4.a. Montrer queΓ =π(on se ramènera par un changement de variable à l’intégrale    2  de la première partie).  1  (2n)! b. Pourn∈ ` , montrer que Γn+ =π .   2n  2  2 n ! 5. Dérivabilité de la fonction Γ +∞ k ∗ −1−t a. Pour x et> 0 k∈ `, prouver la convergence de l’intégrale ( ln t ) t e dt ∫ 0 On prouvera la convergence sur ] 0;1 ] , en distinguant les cas x et> 1 x≤ 1, puis la convergence sur [ 1;+∞ [ . ∗ ∗ b. On fixe x> 1 . Soit α∈ \ tel que x− α > 1 et t∈ \ . 0 + 0 x−1 En appliquant une inégalité de Taylor-Lagrange à l’application x 6 t  , montrer que : (*) ∀x∈ [ x−;x+α , 0 0 2  x−x ( ) 2 x+α− 0 1 0  ( lnt ) tsit∈ [ 1;+ ∞ [ − − −  x1 x 0 1x 0 1 2 − − − ≤ t t ( x x ) ( lnt ) t  0 2  x−x ) ( 0 2 x 0 −α−1 ( lnt ) tsit∈ ] 0; 1 [ .   2

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En déduire l’existence d’un réelM 1 ne dépendant que dex 0 et deα, tel que : +∞ Γ ( x ) − Γ ( x ) 0 x-1 - t 0 ∀x∈ [ x− α ;x+ α ,x≠x 0 , − ( lnt ) dtt e ≤M x-x x-x 0 ∫ 0 0 0 1 0 En déduire queΓest dérivable sur 1 ;+∞ [ et exprimer Γ'( ) sous la forme d’une intégrale impropre. Etablir alors, en utilisant de nouveau l’inégalité (*), l’existence d’un réelM 2 ne dépendant que dex 0 et deα, tel que : +∞ Γ'− Γ' x ) x ) 2 x−1 − 0 t 0 ∀x∈ [ x−α;x+α , x≠x 0 , − ( lnt ) dtt e ≤M x−x . x−x ∫ 0 0 0 2 0 0 Prouver queΓest 2 fois dérivable sur 1;+∞ [  et préciser" sur cet intervalle. ∗ On admet que Γ est 2 fois dérivable sur \ et que l’expression de "  trouvée + ∗ précédemment est encore valable sur \ + . Γ 6. a. Montrer que est strictement convexe sur \ + . 1 b. Montrer que Γ ( ) au voisinage de 0.est équivalent à

c. Calculer Γ ( 1 ) et Γ ( 2 ) , puis en déduire l’existence d’un unique réel strictement positif x 0 tel que Γ' ( x ) =0 . 0 d. Etudier les variations deΓet la nature de la branche infinie en +∞ . Donner une allure de son graphe. Troisième partie Fonctionet fonction β d’Euler * 1.Soitn∈`; justifier que : n n ∗  t  x−1 ∈ pour toutx\ + ,l’intégrale J ( x ) =1−t dt converge. n   ∫ 0  n 

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n   t   1- sit∈ [ 0;n ]   2.On pose :u ( t ) = n  n   0 sit>n.  ∗ ∗ -t ∀ ∈ a. Montrer que∀n∈`,t\ + , u ( t ) ≤e . n ∗ Γ ) =liJ ) b. En déduire que :∀x∈\ + , ( m n x. n→+∞ 1 a−1 b−1 3.Pouraetb, réels strictement positifs, on pose β ( a,b ) = ( 1−t ) t dt . ∫ 0 a. Justifier l’existence de cette intégrale. ∗ x r tout x∈ \ , Γ ( = + . b. Prouver que pou + ) limnβ ( n1,x ) n→+∞ c. i) Simplifier β ( a+1,b ) +β ( a,b+1 ) . b  ii) Prouver que :β ( a , b +1 ) =β ( a +1, b ) . a  iii) En déduire β ( a+1,b )  en fonction de β ( a,b ) . x n n! d. Prouver que : Γ ( x ) =lim . n→+∞ ( x+1 )( x+2 ) " ( x+n ) 4.a. À l’aide d’un changement de variable convenable dans l’intégrale β ( a,b ) , établir que : π 2 2a − 1 2b − 1 pour a et b , réels strictement positifs,β ( a , b ) =2 sinθcosθ d θ. ∫ 0 +∞ 2 ∗ −t2x−1 ∀ b. Vérifier que : x ∈\ + , Γ ( ) = 2 e t dt . On pourra de nouveau procéder à un ∫ 0 changement de variable. r 2 ∗ − t 2 x −1 5.Soit r ∈ \ + . On pose, pour x > 0, ( ) = 2 dte t . ∫ 0 r 2 ∗ x , y ∈, éc uble a. Etant donné ( ) ( \ + ) rire le produit Γ ( ) Γ ( y ) comme une intégrale do r r étendue au domaine C r de la première partie).(cf notations b. En procédant à un encadrement utilisant les domaines Q r et Q’ r , de façon analogue à la première partie, établir la double inégalité : Γ ( + y ) β ( x , y ) ≤ Γ ( x ) Γ ( y ) ≤ Γ ( x + y ) β ( x , y ) . r r r r 2 Γ ( ) Γ ( y ) 2 ∗ c. Démontrer que : ∀ x , y ∈ , β x , y = . ( ) ( \ + ) ( ) Γ ( + y )

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Quatrième Partie 2 Loi Gamma et loi duχ Dans toute cette partie, les variables aléatoires sont réelles, définies sur le même espace probabilisé ( , Β , P ) . On rappelle que si X est une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé, ( Ω P, , ) , alors sa fonction de répartition est la fonction F X définie pour tout réel x par (x)=P(X≤x) . X Cette fonction de répartition caractérise la loi de la variable aléatoire réelle X. On dit qu’une variable aléatoire X à valeurs réelles admet une densité f si sa fonction de répartition peut s’écrire sous la forme=où f est une fonction à valeurs réelles positives ayant F X (x) ( t ) dt ∫ −∞ +∞ un nombre fini de points de discontinuité et telle que ( t ) dt =1. ∫ −∞ Une variable aléatoire Y suit une loi de Poisson de paramètre λ , lorsqu’elle est déterminée pour tout entier k −λ naturel k par P(Y=k)=e. Un extrait de la table des lois de Poisson est donné en annexe à la fin du sujet. k! Une variable aléatoire suit une loi normale de paramètres m etσ, lorsqu’elle admet une densité de probabilité 2 (−m) − 1 2 2σ définie pour tout réel x par f(x)=e. σ2π 1. b et p sont deux paramètres réels strictement positifs. On considère l’application f  définie par : :\→\  0 si x ≤0 x  - x 6 p -1  b x e  si x >0. p Γ  b ( p )  Dans le cas où b= 1, donner les différentes allures du graphe de f  suivant la position du paramètre p  par rapport à 1 et à 2. On précisera les éventuelles demi-tangentes en 0. 2.Prouver que f  est une densité de probabilité. Si une variable aléatoire X admet cette densité, on dit que X suit la loi Γ ( b,p ) . 3.Soit X une variable aléatoire suivant la loi Γ ( b,p ) . Montrer que X  admet une espérance et une variance et les calculer. 4.Dans le cas particulier où =1 , reconnaître la loi de X  et exprimer sa fonction de répartition.

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On admet que si X et Y sont 2 variables aléatoires indépendantes de densités respectives f et g, alors la +∞ variable X+Y possède une densité h telle queh : x 6 ( x−t ) g ( t ) dtet on admet la convergence de ∫ −∞ l’intégrale h(x) pour tout x réel. Γp 5.Soient X 1  et X 2 , variables aléatoires réelles indépendantes, suivant les lois respectives b, 1 ) et Γ ( b,p ) . Montrer que + X  suit la loi Γ ( b,p+p ) . 2 1 2 1 2 ∗ 6.Soient n ∈` et , X , , Xn variables aléatoires réelles mutuellement indépendantes, 1 2 n suivant les lois respectives Γ ( b,p ) pour tout i ∈1;n . i n Déterminer la loi de la variable aléatoire . On pourra utiliser un raisonnement par récurrence . ∑ i i =1 2 2 Soit s un entier strictement positif ; on appelle loi du χ à s degrés de liberté ou loi χ loi(s) la  s  Γ2, .    2  2 7.Donner l’espérance et la variance d’une variable aléatoire suivant la loiχ (s). ∗ Soit n∈ . Si pour tout i des variables mutuellement indépendantes , ` ∈1;n b , les X i sont n 2 ∑ X i suivant la loiχ (s) ., donner la loi de i i =1 n −1 k n−1 x x t ∗ x x − t 8.Pour x>0 et n ∈`, justifier la formule : e= +edt. ∑ ∫ 0 = k! ( n−1 ) ! k 0 2 9.Soientune variable aléatoire suivant la loiχ(2 n ) etλun réel strictement positif. 2n P X2P ( ) où Y loi dedésigne un Démontrer que ( 2n >λ ) =Y λ <n λ e variable aléatoire suivant la Poisson de paramètreλ. 2 10.On appelle F 4 la fonction de répartition de X 4 , variable suivant une loiχ ( 4 ) . À l’aide de la table de loi de Poisson donnée en annexe page 9, calculer les valeurs de F 4 aux points 0, 2, 4, 6, 8. 2 11.Soit X suit la loi duune variable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite. Montrer que 2 χ à un degré de liberté. 12.Soient , X , , X des variables mutuellement indépendantes , suivant la loi normale centrée 1 2 n n 2 réduite. Quelle est la loi de ? ∑ i i=1

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Cinquième Partie 2 De l’urne auχ Une urne contient des boules de couleurs C 1 , C 2 , …, C k . ( k ∈` , k≥2 ). Les boules de couleur C i sont k ∑ on nulle avec . Étant donné n  entier naturel non nul, en proportion p i  n p i =1 on tire i=1 successivement dans l’urne n  boules, avec remise après chaque tirage. appelle Pour i , entier entre 1 et k , on i la variable aléatoire désignant le nombre de boules de  ar conséquent une loi binomiale couleur C i obtenues lors du tirage. i de paramètressuit p n et p i . 1..a. Déterminer l’espérance et la variance de i b. Pour i ≠ j , déterminer la loi de+ X et en déduire que i j Cov ( X i ;X j ) = −np p. i j -np i i 2.Soitkentier supérieur ou égal à 2. On poseY= et on noteM la matrice de covariance i np i des variables aléatoiresY,Y,",Y, définie par M=Cov Y;Y . 1 2 k ( ( i j ) ) 1i≤k 1j≤k a. Montrer que pour = − e i≠j, Cov ( Y;Y ) p p t que Cov ( Y;Y ) =1−p . En déduire i j i j i i i l’expression de la matriceM. b. Dans la suite, M ( \ ) désigne l’ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à coefficients n,p de M . réels. On notera I k la matrice unité k , k ( \ ) t Préciser la matriceP telle queM = I k − Pla matrice, puis C∈ M ( \ ) vérifiant P=C.C , où k ,1 t C désigne la transposée de la matriceC. c. Déterminer le rang deP. 2 d. CalculerP. Préciser les valeurs propres dePet leur multiplicité.  1 sii=j≤k−1 3 ) =.Soit J∈M k,k ( \ dont les coefficientsa ij vérifient :a ij  0 sinon.  tt Justifier l’existence d’une matrice S∈M ( \ ) vérifiant :S.S=I etSMS=J. k,k k

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 Z  Y  1 1   t   4.On définit les variables aléatoiresZ 1 , Z 2 , …,Z k  par la relation : #=S#       ZY  k  k  et on pose S= ( s i j ) 1≤i≤k . 1 ≤ j ≤ k a. Prouver que, pour tout entierientre 1 etk,Z i  est centrée. b. Déterminer la matrice de covariance de ,Z, ,Zest la variable. En déduire que 1 2k k certaine égale à zéro. k 2 ∑ i c. On poseQ=Y. CalculerQ,en fonction de Z, ,Z. 1 2k i=1 d. On admet quenpuisse êtreest suffisamment grand pour que la loi de chaque variable i approchée par une loi normale. Dans ces conditions, par quelle loi peut-on approcher la loi deY? i e. On suppose quenest grand, que les variables ,Z, ,Zsont mutuellement 1 2k−1 2 indépendantes et qu’elles suivent des lois normales. Justifier le fait queQsuit la loi duχà ( k 1 ) degrés de liberté. Annexe : extraits de la table cumulée des lois de Poisson de paramètre λ ≤λ≤≤ ≤ Valeurs de P ( Y λ ≤k )  où ( ; 01 7 k 5 ) : k / λ  1 2 3 4 5 6 7 0 0.3679 0.1353 0.0498 0.0183 0.0067 0.0025 0.0009 1 0.7358 0.4060 0.1991 0.0916 0.0404 0.0174 0.0073 2 0.9197 0.6767 0.4232 0.2381 0.1247 0.0620 0.0296 3 0.9810 0.8571 0.6472 0.4335 0.2650 0.1512 0.0818 4 0.9963 0.9473 0.8153 0.6288 0.4405 0.2851 0.1730 5 0.9994 0.9834 0.9161 0.7851 0.6160 0.4457 0.3007

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