Capes de Mathematiques Universite Joseph Fourier Preparation a l'ecrit Annee

Joseph Fourier Preparation

Description

Niveau: Supérieur
Capes de Mathematiques Universite Joseph Fourier Preparation a l'ecrit Annee 2008-2009 Liste des fiches de probabilites Probabilites 1 : Introduction aux espaces probabilises Probabilites 2 : Variables aleatoires discretes Probabilites 3 : Variables aleatoires densitables Probabilites 4 : Theoremes limites Probabilites 5 : Applications statistiques Un probleme de Capes blanc

• introduction aux espaces probabilises


• variables aleatoires discretes


• produit du gain par la probabilite


• probabilite


• service du dictionnaire de l'academie franc¸aise


• espace probabilise


• experience


• theoreme central

Sujets

• Probabilité
• Préparation
• Espace probabilisé
• Expérience

Informations

• Publié par: profil-nechor-2012
• Nombre de lectures: 55
• Langue: Français

Extrait

CapesdeMath´ematiques Pre´parationa`l’e´crit

Universite´JosephFourier Ann´ee2008-2009

Listedesfichesdeprobabilit´es

Probabilite´s1:Introductionauxespacesprobabilis´es Probabilit´es2:Variablesal´eatoiresdiscr`etes Probabilit´es3:Variablesale´atoiresdensitables Probabilit´es4:The´ore`meslimites Probabilit´es5:Applicationsstatistiques

Unproble`medeCapesblanc

Capes de Mathematiques ´ Pr´eparationa`l’e´crit

Universit´eJosephFourier Anne´e2008-2009

Probabilit´es1:Introductionauxespacesprobabilis´es

✭nqioatitoupr´eu’euojnuevsiafnerudegeLe’cx´rdeantunpariest ´egalauproduitdugainparlaprobabilit´edegagner.✮Pascal

Introduction Onfaituneexp´eriencedontonnepeutpasd´eterminerler´esultata`l’avance,par exempleonjetteunepiecedemonnaieenl’airetons’inte´resseaucoˆte´surlequel ` elle retombe (✭pile✮ou✭face✮Q.eu)tterudsuse´tatlecedutpend-oedirluep exp´erience?Sionnejettelapie`cequ’unefois,pasgrand’chose.Maissionlajette ungrandnombredefois,onconstatequelafr´equenced’apparitionde✭pile✮se stabiliseet,pourdenombreusespi`eces,quecettefre´quencedevientprochede50%. Onassociealorsaur´esultatdel’exp´erience✭obtenir pile✮la valeur 50%, qu’on appelleralaprobabilit´edel’´ev´enement✭obtenir pile✮. Lierlaprobabilit´ed’un´ev´enement`alafr´equenced’apparitiondecet´ev´enement lorsd’ungrandnombred’expe´riencesr´esulted’unth´eor`emeimportant:la✭loi des grands nombres✮. En effet, on montre que siF n orueresbee´vedvalanglee´isd cettefre´quenceapre`snapi`eceestalcnreesstli✭ee´rbili´equ✮en un certain sens, alorsF n abilprob1quanidt´evdretnevace5s%0ntend vers l’infini. Deplus,onpeutquantifiercepremierre´sultatene´tudiantlesfluctuationsde la suite (F n ) n>1 deur%.50toauo,elalaneraPpmex0100cne´nupeofsiedei`ec monnaieetonaobtenu537piles;est-cenormaloudoit-onenconclurequelapi`ece estbiaise´e?Le✭e´ht`eorcemeranteimiltl✮ttrannomnenoitseuqettce`andpo´er quelavitessedeconvergencedelasuiteale´atoire(F n ) n vers 50% est en 1 √ n. (Dansl’exemple,d’`lthe´ore`mecentrallimite,laprobabilite´d’obtenir537 apres e pilesouplusque537pilesvauta`peupr`es0l’onpeutuearpporhce´qeeu4%96al,v comparer avec la vraie valeur 1046%.) Lecourscommencepard´efinirunespaceprobabilis´e(ΩF Pabibpsorseil´t),le conditionnelles,lesvariablesale´atoiresetleurslois,etlanotiond’inde´pendance. Commeonl’avudansl’exemplepre´c´edent,on´etudiesouventdesphe´nome`nes quicorrespondenta`lar´ep´etitiond’unemeˆmeexpe´riencedoncons’interessera 2

ensuiteauxsuitesdevariablesal´eatoireseton´enonceralesdeuxthe´or`emeslimites fondamentauxmentionne´sci-dessusquesontlaloifortedesgrandsnombresetle theor`emecentrallimite. ´

1Espacesprobabilis´es 1.1D´efinition Pourde´finirunespaceprobabilise´,onabesoind’unensembleΩappel´eunivers, quipeutrepre´senterl’ensembledesre´sultatspossiblesdel’exp´erienceconsid´er´ee. Unepremie`resolutionestdechoisirpourΩunensembleaussipetitquepossible, donclacollectiondesre´sultatspossiblesdel’expe´rience. Quelques exemples : ◦Pedeconemiena=,Ωlruotejenu’d`ipe{01}res0repenteocvno,u`eitn✭pile✮ ´ et1repre´sente✭face✮ !).(ou vice versa ◦Pour le jet denpouronnaieouece`medsipn,ienaonemedjetlupe`icedsu’enes Ω ={01} n convient. ◦uoPnefl´rd’uancerlelcebirunuttseceehΩ,eldnu=uqsipudenelaliucendi convient. ◦cele´eluΩ,euqirt=oPrualud´reedevied’uneampoR + . ◦jeu de 52 cartes, Ω =Pour battre un S 52 conv,o`uientS k bmelensenel’esigd´ des permutations de l’ensemble{12     k}. ◦Pour compter le nombre de clients dans une file d’attente : Ω =Nconvient. ◦uoPnalrΩ:siofed=eunennaiit´einfinenipecuredome`ec{01} N ∗ convient, doncΩestl’ensembledessuites`avaleursdans{01}redienl’mbsedelec,tse’-a`-s suites (x n ) n>1 o`ux n roum´enegaritelis1=ndonne pile etx n = 0 sinon. Dans ces exemples, les ensembles Ω sont minimaux et on voit bien que tout en- semble plus✭gros✮conviendrait aussi. Par exemple, Ω ={01} N ∗ convient pour mode´liserlejetdenpeuotruoti`pesecmodeainnn>1i:sluffitdenes’int´eressre qu’auxn.sperim`erescoordonn´ee Cetteremarquesugg`ereunedeuxi`emesolutionquiconsiste`anepassepre´occuper delaformeexactedeΩet,parcontre,`asp´ecifiercequel’observateurpeutvoir ou non. Pour cela, on introduit la tribu desstmene´vnee´ 1 e´eottnenuvso,F, qui corresponda`✭ce que l’observateur voit✮es.Ll´´emenestedFsont donc des parties 1 Leleeslasnothiegrapilosusitsnecsnadquaremarouenqu´ettaruetcruafitne✭ntmeev´ne´e✮ et non pas✭`ve´meneent✮´deeattnerociestpour,quederiannoitcDiducevieresrlpa mman ` l’Acad´emiefranc¸aisedansunrapportcontroverse´datantde1990.Achacundede´ciderpour ce qui le concerne.

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