Concours Centrale Supélec

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Niveau: Supérieur, Master, Bac+5

  • exposé


MATHÉMATIQUES II Concours Centrale-Supélec 2002 1/6 MATHÉMATIQUES II Filière TSI Dans tout le problème, désigne le -espace vectoriel des matrices carrées à coefficients réels dont l'élément nul est noté , et le sous-espace vecto- riel de formé des matrices symétriques. Si et sont deux éléments de , le produit de par est noté , la matrice transposée de est notée . D'autre part, on note l'application de dans qui à fait correspondre la matrice . On rappelle aussi que est linéaire et bijective. Partie I - Pour tout élément de , s'écrivant , on définit la trace de par : I.A - Dans cette question, on définit une structure euclidienne sur . À toute matrice de , on associe sa trace : on définit ainsi l'applica- tion trace notée de dans . I.A.1) Montrer que l'application trace est linéaire de dans . Comparer pour , les réels et , puis et . I.A.2) On pose Montrer que l'on définit ainsi un produit scalaire sur . Pour toute la suite du problème, on pose : , , , . On note également l'élément unité de . M2 IR 2 2? 0 S2 M2 A B M2 A B AB A At ? IR4 M2 a b c d, , ,( ) IR 4 ? ? a b c d, , ,( ) a b c d? ?? ? ? ? = ? A

  • m? m2 ?

  • point dans l'espace

  • ?k ?k

  • ?a m2

  • m2 det

  • espace vectoriel des matrices carrées

  • raci- nes de l'équation


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MATHÉMATIQUES II
Concours Centrale-Supélec 2002
1/6
MATHÉMATIQUES II
Filière TSI
Dans tout le problème,
désigne le
-espace vectoriel des matrices carrées
à coefficients réels dont l’élément nul est noté , et
le sous-espace vecto-
riel de
formé des matrices symétriques.
Si
et
sont deux éléments de
, le produit de
par
est noté
, la
matrice transposée de
est notée
.
D’autre part, on note
l’application de
dans
qui à
fait
correspondre la matrice
.
On rappelle aussi que
est linéaire et bijective.
Partie I -
Pour tout élément
de
, s’écrivant
, on définit la trace de
par :
I.A -
Dans cette question, on définit une structure euclidienne sur
.
À toute matrice
de
, on associe sa trace
: on définit ainsi l’applica-
tion trace notée
de
dans
.
I.A.1)
Montrer que l’application trace est linéaire de
dans
.
Comparer pour
, les réels
et
, puis
et
.
I.A.2)
On pose
Montrer que l’on définit ainsi un produit scalaire sur
.
Pour toute la suite du problème, on pose :
,
,
,
.
On note également
l’élément unité de
.
M
2
IR
2
2
×
0
S
2
M
2
A
B
M
2
A
B
A
B
A
A
t
Ψ
IR
4
M
2
a
b
c
d
,
,
,
(
)
IR
4
ψ
a
b
c
d
,
,
,
(
)
a
b
c
d
=
Ψ
A
M
2
A
a
b
c
d
=
A
tr
A
(
)
a
d
+
=
M
2
M
M
2
tr
M
(
)
tr
M
2
IR
M
2
IR
A
B
(
,
)
M
2
M
2
×
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AB
(
)
tr
BA
(
)
tr
A
(
)
tr
A
t
(
)
A
B
,
(
)
M
2
M
2
×
A
B
|
tr
A
t
B
(
)
=
,
M
2
E
1
1
0
0
0
=
E
2
0
0
0
1
=
E
3
1
2
------
0
1
1
0
=
E
4
1
2
------
0
1
1
0
=
I
E
1
E
2
+
=
M
2