Concours Centrale Supélec

Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
Concours Centrale - Supélec 2009 Épreuve :MATHÉMATIQUES I FilièrePSI Partie I - Réorganisation des termes d'une série semi-convergente On se donne un réel x. On note, pour n ? N?, un = (?1)n n et on se propose de construire une bijection s de N? dans N? telle que ∞ ∑ n=1 us(n) = x. I.A - Ondéfinit simultanément par récurrence trois suites d'entiers naturels (pn)n>0, (qn)n>0 et (sn)n>1 et une suite (Sn)n>0 de réels de la manière suivante : • p0 = q0 = 0, S0 = 0 • pour tout n ? N, si Sn > x alors : qn+1 = 1+ qn, pn+1 = pn, sn+1 = 2qn+1 ? 1 sinon : qn+1 = qn, pn+1 = 1+ pn, sn+1 = 2pn+1 Dans les deux cas : Sn+1 = Sn + usn+1 On aura intérêt à comprendre la construction précédente sous forme algorithmique. I.A.1) Écrire une fonction suite qui prend en argument x et l'entier n et qui ren- voie l'affichage de la liste (ou tableau si l'on préfère) [s1, s2, .

• k?1 nk


• nk


• construction précédente


• convergence de la série ∑


• position correcte des indices


• sn ?


• série ∑


• concours centrale -supélec

Informations

• Publié par: larec
• Nombre de lectures: 28
• Langue: Français

Extrait

Calculatricesris?esL=Append[L,x]{a}suite{a,b}auto
Concours Centrale - Supélec 2009
Épreuve :MATHÉMATIQUES I FilièrePSI
PartieI-Réorganisationdestermesd’unesérie
semi convergente
Définitionsetnotations
n
( 1)

Onrappellelerésultatsuivant:ToutepartieXnonvidedeNpossèdeunpluspetit
On se donne un réel x. On note, pour n ∈ N , u = et on se propose de
n
n
élémentnotéminX.
∞

construireunebijections deN dansN telleque u = x.
∑
s(n)
OnrappellelespointssuivantsdeMaple:
n=1
I.A- Ondéfinitsimultanémentparrécurrencetroissuitesd’entiersnaturels(p ) ,
n n>0
Lalistecontenantl’uniqueélément a estnotée [a].
(q ) et (s ) etunesuite (S ) deréelsdelamanièresuivante:
n n>0 n n n>0
Lecouple (a,b) serareprésentéparlaliste [a,b]. n>1
Pour ajouter l’élément x (qui peut être un couple) en queue de la liste
p = q = 0,S = 0
0 0 0
L oninvoque: L := [op(L),x]
pourtoutn ∈ N,siS > x alors:
n
q = 1+q , p = p , s = 2q 1
n+1 n n+1 n n+1 n+1
EtpourMathematica:
sinon:q = q , p = 1+p , s = 2p
n+1 n n+1 n n+1 n+1
Danslesdeuxcas:S = S +u
n+1 n s
n+1
Lalistecontenantl’uniqueélément a estnotée .
Onauraintérêtàcomprendrelaconstructionprécédentesousformealgorithmique.
Lecouple (a,b) serareprésentéparlaliste .
I.A.1) Écrire une fonction qui prend en argument x et l’entier n et qui ren
Pour ajouter l’élément x (qui peut être un couple) en queue de la liste
voiel’affichagedelaliste(outableausil’onpréfère) [s ,s ,...,s ].
1 2 n
L oninvoque:
I.A.2) Enmodifiantlafonctionprécédentedefaçonàcequ’elleretourneledessin
simultané de la liste des points de coordonnées (n,S ) et de la droite horizon
On dira qu’une série à termes réels est semi convergente si elle converge sans
n n670
tale d’ordonnée x (on ne demande pas d’écrire cette nouvelle fonction), on obtient
convergerabsolument.
pour x = 1, n = 70ledessinsuivant:
On dira qu’une suite (a ) à valeurs complexes vérifie la propriété (P ) si pour
n n∈N 1
n
toutesuitecomplexe (u ) bornée,lasérie a u converge. 10 20 30 40 50 60 70
n n∈N n n
∑
0
On dira qu’une suite (a ) à valeurs réelles vérifie la propriété (P ) si pour
n n∈N 2
- 0.2
toute suite réelle (u ) , la convergence de la série u entraîne celle de la série
n n∈N n
∑
- 0.4
a u .
∑ n n
- 0.6
L’objectif du problème est d’étudier, en particulier à l’aide de méthodes algorith
- 0.8
miques, des propriétés et des contre exemples de la théorie des suites et des séries
- 1
etdecaractérisersimplementlessuitesquivérifient (P ) ou (P ).
1 2
- 1.2
LespartiesIetIIsontindépendantes.
Lescorrecteurstiendrontcomptedelaprésentation,particulièrementdelaposition
Queconstate t onpourlasuite (S ) ?Expliquerleprincipedel’algorithme.
n n∈N
correcte des indices.
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-
v
ersi
on
du
2
mar
s
20
09
15
h2MATHÉMATIQUES I Filière PSI
n
1
I.B-Onposedorénavant,pourtoutn ∈ N,s(n) = s .
n
I.E.2) Donnerundéveloppementanaloguepour enfonctionde γ.
∑
2k 1
Prouver,pourn> 1,lespropriétéssuivantes:
k=1
I.E.3)
{s(1),s(2),...,s(n)} = {2,4,...,2p }∪{1,3,...,2q 1}
n n
a)Justifier,pourtoutnatureln telque p > 1etq > 1,l’égalité:
p +q = n n n
n n
p q
n n
S = u ++u 1 1
n
s(1) s(n)
S =
n
∑ ∑
2k 2k 1
Endéduireques estinjective.
k=1 k=1
b)Endéduireque:
I.C-

1 p
n
I.C.1) Démontrer qu’une suite d’entiers convergente est constante à partir d’un
S = ln ln2+o(1).
n
2 n p
certainrang. n
c)Endéduireunéquivalentsimplede p etdeq .
n n
I.C.2) Onseproposededémontrerquelasuite (p ) croîtvers +∞.
n n∈N
d)Déterminerlalimitede:
a)Onsupposedansunpremiertempsquecettesuiteestmajorée.
|u |+|u |++|u |
s(1) s(2) s(n)
UtiliserleI.C.1)pourdémontrerqu’ilexisteunentiern telquepourn> n ,
0 0
quandn → +∞.
|u |+|u |++|u |
n 1 2 n
1
1
S > x et S = S
n n n ∑
0
2q +2k 2n +1
n 0
0
k=n
0
Endéduireunecontradiction.
PartieII-Suitesvérifiant (P )et (P )
1 2
b)Déduireduraisonnementprécédentquelasuite (p ) divergevers +∞.
n n∈N
I.C.3) Justifierrapidemmentque (q ) tendvers +∞. II.A - Montrer qu’une suite complexe (a ) telle que la série a converge ab
n n n
n∈N ∑

solumentvérifie (P ).
1
I.C.4) Déduiredecequiprécèdeques estunebijectiondeN surlui même.
II.B-Soit (a ) unesuiteréelletellequelasérie |a a | converge.
n n∈N ∑ n+1 n
I.D-
II.B.1) Prouverquelasuite (a ) possèdeunelimite.
n n∈N
I.D.1) Démontrerque,pourtoutentiern> 0,ona:
II.B.2) Soit (u ) unesuiteréelletellequelasérie u converge.
n n∈N ∑ n
|S x|6|S x| ou |S x|6|u |
n
n+1 n+1 s(n+1)
OnnoteU = u +u ++u .Prouver,pourtoutentiernaturel N,larelation:
n 0 1 n
I.D.2) Endéduirequepourtoutnaturel N,ilexisteunentiern> N telque
N N 1
|S x|6|u |
n+1 s(n+1)
a u = (a a )U +a U .
∑ n n ∑ n n+1 n N N
I.D.3) Justifierl’existenced’unentiern telquepourn> n , p > 1etq > 1.
0 0 n n n=0 n=0

I.D.4) Soitn> n .Onnotev = max |S x|, |u |, |u | . Endéduirequelasuite (a ) vérifie (P ).
n n∈N
0 n n 2p 2q 1 2
n+1 n+1
Démontrerque (v ) estdécroissante.Endéduirequ’elleconvergevers0.
n n>n
II.C-Soit(a ) unesuitedenombrescomplexestellequelasérie |a |diverge.
0 n n
n∈N ∑
I.D.5) Démontrerque (S ) convergevers x etconclure. Construire une suite (u ) de nombres de module 1 telle que la série
n
n n∈N
a u diverge.Caractériserlessuitescomplexes (a ) vérifiant (P ).
∑ n n n n∈N 1
I.E-
I.E.1) Démontrerl’existenced’uneconstante γ> 0telleque:
n
1
= lnn+γ+o(1) quandn → +∞.
∑
k
k=1
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MATHÉMATIQUES I Filière PSI
II.D - Soit (a ) une suite de réels positifs telle que la série a diverge. On b)Soitk> 3unindicetelquen 2> n .Prouverl’inégalité:
n n∈N ∑ n k k 1
se propose de construire une suite (ε ) tendant vers 0 telle que la série a ε 1
n n n
n∈N ∑
k 16 A 6 k 1+ Endéduirequen 2> n .
n 1 k+1 k
k k 1
diverge.Pourcelaondéfinitparrécurrencetroissuites(p ) ,(ε ) et(A )
n n n
n∈N n∈N n∈N 2 n
k
commesuit:
c)Calculerexplicitementladifférence A A enfonctiondek,n etn .
n 1 n 1 k k+1
k+1 k
p = 0, ε = 1, A = a .
0 0 0 0
Endéduire,pourk> 3,l’inégalité:
(
ε
n 1
p = 1+p et ε = si A > p
n n 1 n n 1 n 1
1 n +1 1 n
k+1 k+1
2
Pourn> 1:
ln 6 A A 6 ln
n 1 n 1
k+1 k
k k
n +1 n
p = p et ε = ε sinon 2 2
n n 1 n n 1 k k
d)Déduiredesdeuxquestionsprécédentes,pourk> 3,l’inégalité:
Danstouslescas: A = A +a ε .
n n 1 n n
2 n 1 1 1
k+1
k k
II.D.1) Dans cette question seulement on suppose que a = 1 et, pour toutn> 1,
2 6 ln 6 2 + ln 1+ +ln 1+
0
n n n n n
k k k+1 k+1 k
9
a = .
n
e) En utilisant une série convenable, étudier la convergence de la suite de terme
4(n+1)
k
général (lnn 2 );puisprouverl’existenced’uneconstanteC> 0telleque:
Déterminerles6premierstermesdessuites (p ) , (ε ) et (A ) . k
n n∈N n n∈N n n∈N

k

Ecrireuneprocédureexemplequiprendenargumentl’entiern etretournelaliste: n C exp 2 .
k
k→+∞
enMaple: [[0,p ,ε ,A ],[1,p ,ε ,A ],...,[n,p ,ε ,A ]]
0 0 0 n n n
1 1 1
ln(lnn )

k
endéduireque: A
n
enMathematica: {0,p ,ε ,A },{1,p ,ε ,A },...,{n,p ,ε ,A }
0 0 0 n n n k
1 1 1
k→+∞ ln2
II.D.2)
ln(lnn)

puisque: A
n
a)Démontrerquepourtoutnaturel N,ilexisteunentiern> N telque:
n→+∞
ln2
p = 1+p (onpourraraisonnerparl’absurde).
n n 1
Quepeut onpenserdel’exécutiondelafonction ?
En déduire qu’on peut définir une suite (n ) strictement croissante d’entiers
k k∈N
par:
II.E-Soit(a ) unesuitederéelsquelconquestelleque,pourtoutesuite(ε )
n n∈N n n∈N
(
deréelstendantvers0,lasérie ε a converge.
n n
∑
n = 0
0
.
a)Prouverquelasérie ε |a | converge.
n = min{n ∈ N / n> n et p = 1+p } pourk> 0
∑ n n
k+1 k n n 1
b)Endéduirequelasérie |a | converge.
b)Danslecasgénéral,calculer p , ε . n
n n ∑
k k
Prouverquelasuite (ε ) tendvers0etquelasérie ε a diverge.
n n∈N n n II.F-Soitmaintenant (a ) unesuitederéelstelleque,pourtoutesuite (x ) ,
∑ n n
n∈N n∈N