Concours Centrale Supélec
5 pages
Français

Concours Centrale Supélec

-

Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe
Tout savoir sur nos offres

Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
MATHÉMATIQUES I Concours Centrale-Supélec 2006 1/5 MATHÉMATIQUES I Filière TSI L'épreuve est constituée de deux parties totalement indépendantes. Partie I - Dans cette partie, est un réel fixé dans l'intervalle . On désigne par l'intervalle et par cet intervalle privé de . Pour tout , on pose où désigne la partie entière de . I.A - I.A.1) Rappeler, sans démonstration, ce que sont : • l'ensemble des réels pour lesquels la série de terme général converge ; • la valeur de pour et celle de pour et ; • pour et , la valeur de . I.A.2) Montrer que la série de terme général est absolument convergente quel que soit le réel . Le but de cette partie est d'étudier, suivant les valeurs de , la fonction défi- nie sur par . Pour entier, avec , on notera et . I.A.3) Montrer que est de période . Déterminer un majorant de la fonction . H ]0 2], I ] 1 2 1 2⁄,⁄– [ I* 0 t I*? N t( ) E tln 2ln----------–= E x[ ] x J r rn rn n 0= +∞ ∑ r J? rn n k= +∞ ∑ r J? k IN? r IR? p IN? rn n 0= p ∑ 2 nH– 2nx( )cos

  • réel

  • transformation du plan définie

  • surface d'équation au point

  • réel fixé

  • dérivée partielle d'ordre

  • eia eih

  • intervalle privé


Sujets

Informations

Publié par
Nombre de lectures 23
Langue Français
MATHÉMATIQUES IFilière TSI MATHÉMATIQUES I
L’épreuve est constituée de deux parties totalement indépendantes.
Partie I -Dans cette partie,Hest un réel fixé dans l’intervalle]0,2]. On désigne parIl’intervalle]–12,12[et parI*cet intervalle privé de0. lnt Pour touttI*, on poseN(t)=E-E[x]désigne la partie entière dex. ln 2 I.A -I.A.1) Rappeler,sans démonstration, ce que sont : n • l’ensembleJdes réelsrpour lesquels la série de terme généralrconverge ; ++n n • lavaleur derpourrJet celle derpourrJetkIN; ∑ ∑ n= 0n=k p n • pourrIRetpIN, la valeur der. n= 0 nH n I.A.2) Montrerque la série de terme général2 cos(2x) estabsolument convergente quel que soit le réelx. Le but de cette partie est d’étudier, suivant les valeurs deH, la fonctionfdéfi-nie surIRpar +nH n f(x)cos= 2(2x). n= 0 Pourkentier, aveck1, on notera k+– 1nH nnH n S(x)= 2cos(2x) etT(x)= 2cos(2x). kkn= 0n=k I.A.3) Montrerquefest de période2π. Déterminer un majorantM(H)de 1 la fonctionf.
Concours Centrale-Supélec 2006
1/5
MATHÉMATIQUES I
Filière TSI
Filière TSI
I.A.4) Montrerque, pour touttI*, on a : N(t)– 1N(t)N(t) N(t) ≥1 ;2t2 et22t. ia ih I.A.5) Soitaethdeux réels. On posez=e(e– 1 –ih)idésigne le nom-2 bre complexe usuel tel quei= –1. 2h ih a) Montrerquezh e(on pourra utiliser l’expression deecomme somme d’une série entière). b) Enconsidérant la partie réelle dez, montrer que 2h cos(a+h)– cosa+hsinah e. I.A.6) Montrerque, pour toutxIRet touttI*, on a : N(t)– 1N(t)– 1 n(1 –H)n2n(2 –H) S(x+t)S(x)+t2 sin(2x) ≤et2 N(t)N(t)∑ ∑ n= 0n= 0 n 2t (on pourra utiliser la question précédente et l’inégalitéee, que l’on justi-fiera). LorsqueH<2, trouver une constanteC(H)telle que, pour touttI*, on ait 1 N(t)– 1 2n(2 –H)H et 2C(H)t. 1 n= 0 LorsqueH= 2, trouver une constanteKtelle que, pour touttI*, on ait N(t)– 1 2n(2 –H)21 et 2K tln-. t n= 0 I.A.7) Montrerqu’il existe une constanteC(H)telle que, pour tousxIRet 2 H tI*,T(x+t)T(x) ≤C(H)tpourra utiliser l’inégalité (on N(t)N(t)2 cosa– cosb2, vraie pour tous réelsaetb). On considère maintenant la fonctiongdéfinie pourxréel par : +n(1 –H)n g(x)= –2 sin(2x). n= 0
Concours Centrale-Supélec 2006
2/5
MATHÉMATIQUES IFilière TSI I.B -On prendH]1,2]. I.B.1) Montrerquegest définie surIR. Déterminer un majorantM(H)de 2 la fonctiong. I.B.2) Pourxfixé dansIRettI*, on pose N(t)– 1 f(x+t)f(x)n(1 –H)n l(t)=- +2 sin(2x). tn= 0 Montrer quel(t)tend vers0quandttend vers0(on pourra utiliser I.A.6 et I.A.7). I.B.3) Endéduire quefest dérivable surIR, et quef=g. Par la suite, on admet quegest continue surIR. I.B.4) a) Calculerles coefficientsa(f)etb(f)de la série de Fourier de la fonctionf. n n On admettra que +2π2π pH p f(x)cosnxdx= 2cos(2x)cosnxdx. ∫ ∑0 0 p= 0 n b) Pourun réelxfixé, écrire la somme de Fourier defde rang2et montrer qu’elle coïncide avec une somme partielle de la série numérique qui définitf(x). c) Lespropriétés defpermettent-elles de prévoir quef(x)est la limite, quand n ntend vers+, des sommes de Fourier defde rang2? I.B.5) 2π 2 a) UtiliserI.B.4 pour calculerf(t)dten fonction deH. 0 b) Montrerque 2π π f(t)dt-H 0 1 + 2 I.C -On prendH= 2. I.C.1) Trouverla valeur exacte def(x)et deg(x)pourx=π ∕4et3π ∕4. I.C.2) Onpose 1 1 1 ϕ(x)= sin(x)+-sin(2x)+-sin(4x)+-sin(8x). 2 4 8 a) Àl’aide de la calculatrice, déterminer la valeur minimale deϕ(x)pour π3π x-,-. 4 4
Concours Centrale-Supélec 2006
3/5
MATHÉMATIQUES IFilière TSI b) Enrevenant à la définition deg, donner une majoration deg(x)+ϕ(x). π3π c) Endéduire quegest strictement négative sur-,-. 4 4 I.C.3) Montrerque l’équationf(x)= 0admet une solution unique sur π3π -,-. 4 4 I.D -On prendH]0,1[. On veut montrer quefn’est pas dérivable en0. 1 Soitt]0,-[. 2 2 x I.D.1) Vérifier,que pour toutx∈ [0, π ∕2], on a1 – cos(x) ≥-. 4 I.D.2) Montrerqu’il existe une constanteC(H) >0telle que 3 H2 2H S(0)S(t) ≥C(H)(tt2). N(t)N(t)3 I.D.3) Vérifierque T(0)T(t) ≥0. N(t)N(t) I.D.4) Endéduire que f(0)f(t) -tend vers+lorsquet0,t>0. t
Partie II -
II.A -SoitQpolynôme du second degré en unx,y, défini par 2 22 Q(x,y)=a x+bxy+c y+ax+by+c, à coefficients réels tels queb– 4ac0. 2 On définit une fonction deIRdansIRparf(x,y)= exp{Q(x,y)}. II.A.1) Calculerles dérivées partielles d’ordre1def. Montrer qu’elles s’annu-lent aux mêmes points que celles deQ. II.A.2) Calculerles dérivées partielles d’ordre2def. Comparer ces dérivées partielles d’ordre2deQen un point où les dérivées partielles d’ordre1deQ sont nulles. II.A.3) Utiliserle développement de Taylor-Young pour montrer que les extre-mums locaux defsont situés aux mêmes points et sont de même nature que ceux deQ.
Concours Centrale-Supélec 2006
4/5
MATHÉMATIQUES IFilière TSI II.B -SoitQ etQ deuxpolynômes du second degré enx,y, définis par 1 2 12 22 511 721219 13 Q(x,y)=-xy+-xy-x+-y-etQ(x,y)=x+-y-x+-y+-. 1 2 2 33 3 210 1010 10 2 On définit deux fonctionsfetfdeIRdansIRparf(x,y)= exp{Q(x,y)}et 1 21 1 f(x,y)exp= 2{Q(x,y)}. 2 2 II.B.1)fadmet-elle des extremums ? Si oui, quelle en est la nature ? 1 II.B.2) Mêmequestion pourf. 2 II.B.3) Montrerque, sur la droitey= 2xles fonctionsQetQprennent des 1 2 valeurs égales en deux points que l’on déterminera. II.C -On considère la transformation du plan définie par f(x,y) 1F(x,y)= . f(x,y)   2 II.C.1) MontrerqueFadmet un point fixe en(1,2), c’est-à-dire que 1   F(1,2)=. 2II.C.2) Donnerl’équation du plan tangent à la surface d’équationz=f(x,y) 1 au point(1,2). Même question pourf. 2 II.C.3) Déterminerla matrice jacobienneJde la transformationFen(1,2). M2 Cette matriceJest-elle diagonalisable dans(IR)? ••• FIN •••
Concours Centrale-Supélec 2006
5/5