Concours Centrale Supélec

Laurent Llabres

Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
MATHÉMATIQUES I Concours Centrale-Supélec 2006 1/5 MATHÉMATIQUES I Filière TSI L'épreuve est constituée de deux parties totalement indépendantes. Partie I - Dans cette partie, est un réel fixé dans l'intervalle . On désigne par l'intervalle et par cet intervalle privé de . Pour tout , on pose où désigne la partie entière de . I.A - I.A.1) Rappeler, sans démonstration, ce que sont : • l'ensemble des réels pour lesquels la série de terme général converge ; • la valeur de pour et celle de pour et ; • pour et , la valeur de . I.A.2) Montrer que la série de terme général est absolument convergente quel que soit le réel . Le but de cette partie est d'étudier, suivant les valeurs de , la fonction défi- nie sur par . Pour entier, avec , on notera et . I.A.3) Montrer que est de période . Déterminer un majorant de la fonction . H ]0 2], I ] 1 2 1 2⁄,⁄– [ I* 0 t I*? N t( ) E tln 2ln----------–= E x[ ] x J r rn rn n 0= +∞ ∑ r J? rn n k= +∞ ∑ r J? k IN? r IR? p IN? rn n 0= p ∑ 2 nH– 2nx( )cos

• réel


• transformation du plan définie


• surface d'équation au point


• réel fixé


• dérivée partielle d'ordre


• eia eih


• intervalle privé

Informations

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• Langue: Français

Extrait

MATHÉMATIQUES IFilière TSI MATHÉMATIQUES I

L’épreuve est constituée de deux parties totalement indépendantes.

Partie I - Dans cette partie, H est un réel fixé dans l’intervalle ]0,2] . On désigne par I l’intervalle ]–1∕2,1∕2[ et parI*cet intervalle privé de 0 . lnt Pour tout t∈I* , on pose N(t)=E– - où E[x] désigne la partie entière de x . ln 2 I.A - I.A.1) Rappeler,sans démonstration, ce que sont : n • l’ensemble J des réels r pour lesquels la série de terme général r converge ; +∞+∞ n n • lavaleur de r pour r∈J et celle de r pour r∈J et k∈IN ; ∑ ∑ n= 0n=k p n • pour r∈IR et p∈IN , la valeur de r . ∑ n= 0 –nH n I.A.2) Montrerque la série de terme général 2 cos(2x)  estabsolument convergente quel que soit le réel x . Le but de cette partie est d’étudier, suivant les valeurs de H , la fonction f défi- nie sur IR par +∞ –nH n f(x)cos= 2(2x) . ∑ n= 0 Pour k entier, avec k≥1 , on notera k+– 1∞ –nH n–nH n S(x)= 2cos(2x)  et T(x)= 2cos(2x) . k ∑ k ∑ n= 0n=k I.A.3) Montrerque f est de période 2π . Déterminer un majorant M(H) de 1 la fonction f .

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MATHÉMATIQUES I

Filière TSI

Filière TSI

I.A.4) Montrerque, pour tout t∈I* , on a : –N(t)–– 1N(t)–N(t) N(t) ≥1  ; 2≤t≤2  et 2≤2t . ia ih I.A.5) Soit a et h deux réels. On pose z=e(e– 1 –ih) où i désigne le nom- 2 bre complexe usuel tel que i= –1 . 2h ih a) Montrerque z≤h e (on pourra utiliser l’expression de e comme somme d’une série entière). b) Enconsidérant la partie réelle de z , montrer que 2h cos(a+h)– cosa+hsina≤h e . I.A.6) Montrerque, pour tout x∈IR et tout t∈I* , on a : N(t)– 1N(t)– 1 n(1 –H)n2n(2 –H) S(x+t)–S(x)+t2 sin(2x) ≤e⋅t2 N(t)N(t) ∑ ∑ n= 0n= 0 n 2t (on pourra utiliser la question précédente et l’inégalité e≤e , que l’on justi- fiera). Lorsque H<2 , trouver une constante C(H) telle que, pour tout t∈I* , on ait 1 N(t)– 1 2n(2 –H)H e⋅t 2≤C(H)t . ∑ 1 n= 0 Lorsque H= 2 , trouver une constante K telle que, pour tout t∈I* , on ait N(t)– 1 2n(2 –H)2 1 e⋅t 2≤K tln - . ∑ t n= 0 I.A.7) Montrerqu’il existe une constante C(H) telle que, pour tous x∈IR et 2 H t∈I* , T(x+t)–T(x) ≤C(H)t pourra utiliser l’inégalité (on N(t)N(t)2 cosa– cosb≤2 , vraie pour tous réels a et b ). On considère maintenant la fonction g définie pour x réel par : +∞ n(1 –H)n g(x)= –2 sin(2x) . ∑ n= 0

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MATHÉMATIQUES IFilière TSI I.B -On prend H∈]1,2] . I.B.1) Montrerque g est définie sur IR . Déterminer un majorant M(H) de 2 la fonction g . I.B.2) Pour x fixé dans IR et t∈I* , on pose N(t)– 1 f(x+t)–f(x) n(1 –H)n l(t)= -  +2 sin(2x) . t ∑ n= 0 Montrer que l(t) tend vers 0 quand t tend vers 0 (on pourra utiliser I.A.6 et I.A.7). I.B.3) Endéduire que f est dérivable sur IR , et que f′=g . Par la suite, on admet que g est continue sur IR . I.B.4) a) Calculerles coefficients a(f) et b(f) de la série de Fourier de la fonction f . n n On admettra que +∞ 2π2π –pH p f(x)cosnxdx= 2cos(2x)cosnxdx . ∫ ∑ ∫ 0 0 p= 0 n b) Pourun réel x fixé, écrire la somme de Fourier de f de rang 2 et montrer qu’elle coïncide avec une somme partielle de la série numérique qui définit f(x) . c) Lespropriétés de f permettent-elles de prévoir que f(x) est la limite, quand n n tend vers +∞ , des sommes de Fourier de f de rang 2 ? I.B.5) 2π 2 a) UtiliserI.B.4 pour calculer f(t)dt en fonction de H . 0 b) Montrerque 2π π f(t)dt≥ - –H 0 1 + 2 I.C -On prend H= 2 . I.C.1) Trouverla valeur exacte de f(x) et de g(x) pour x=π ∕4 et 3π ∕4 . I.C.2) Onpose 1 1 1 ϕ(x)= sin(x)+ - sin(2x)+ - sin(4x)+ - sin(8x) . 2 4 8 a) Àl’aide de la calculatrice, déterminer la valeur minimale de ϕ(x) pour π3π x∈ - , - . 4 4

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MATHÉMATIQUES IFilière TSI b) Enrevenant à la définition de g , donner une majoration de g(x)+ϕ(x) . π3π c) Endéduire que g est strictement négative sur - , - . 4 4 I.C.3) Montrerque l’équation f(x)= 0 admet une solution unique sur π3π - , - . 4 4 I.D -On prend H∈]0,1[ . On veut montrer que f n’est pas dérivable en 0 . 1 Soit t∈]0, - [ . 2 2 x I.D.1) Vérifier,que pour tout x∈ [0, π ∕2] , on a 1 – cos(x) ≥ - . 4 I.D.2) Montrerqu’il existe une constante C(H) >0 telle que 3 H2 2–H S(0)–S(t) ≥C(H)(t–t⋅2) . N(t)N(t)3 I.D.3) Vérifierque T(0)–T(t) ≥0 . N(t)N(t) I.D.4) Endéduire que f(0)–f(t) - tend vers +∞ lorsque t→0,t>0 . t

Partie II -

II.A - Soit Q polynôme du second degré en un x,y , défini par 2 22 Q(x,y)=a x+bxy+c y+a′x+b′y+c′ , à coefficients réels tels que b– 4ac≠0 . 2 On définit une fonction de IR dans IR par f(x,y)= exp{Q(x,y)} . II.A.1) Calculerles dérivées partielles d’ordre 1 de f . Montrer qu’elles s’annu- lent aux mêmes points que celles de Q . II.A.2) Calculerles dérivées partielles d’ordre 2 de f . Comparer ces dérivées partielles d’ordre 2 de Q en un point où les dérivées partielles d’ordre 1 de Q sont nulles. II.A.3) Utiliserle développement de Taylor-Young pour montrer que les extre- mums locaux de f sont situés aux mêmes points et sont de même nature que ceux de Q .

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MATHÉMATIQUES IFilière TSI II.B - Soit Q  et Q  deuxpolynômes du second degré en x,y , définis par 1 2 1 2 2 2 511 7 2 1 2 19 1 3 Q(x,y)= - x–y+ - xy– - x+ - y– - et Q(x,y)=x+ - y– - x+ - y+ - . 1 2 2 33 3 210 1010 10 2 On définit deux fonctions f et f de IR dans IR par f(x,y)= exp{Q(x,y)} et 1 21 1 f(x,y)exp= 2{Q(x,y)} . 2 2 II.B.1) f admet-elle des extremums ? Si oui, quelle en est la nature ? 1 II.B.2) Mêmequestion pour f . 2 II.B.3) Montrerque, sur la droite y= 2x les fonctions Q et Q prennent des 1 2 valeurs égales en deux points que l’on déterminera. II.C -On considère la transformation du plan définie par f(x,y)  1  F(x,y)=   . f(x,y)   2 II.C.1) Montrerque F admet un point fixe en (1,2) , c’est-à-dire que 1   F(1,2)= .  2  II.C.2) Donnerl’équation du plan tangent à la surface d’équation z=f(x,y) 1 au point (1,2) . Même question pour f . 2 II.C.3) Déterminerla matrice jacobienne J de la transformation F en (1,2) . M 2 Cette matrice J est-elle diagonalisable dans (IR) ? ••• FIN •••

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