Concours Centrale Supélec
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Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
MATHÉMATIQUES I Concours Centrale-Supélec 2005 1/6 MATHÉMATIQUES I Filière MP On étudie certaines classes de fonctions appartenant à l'ensemble des fonc- tions bornées et continues par morceaux de dans : c'est un espace vectoriel sur . Il est muni de la norme uniforme définie par Pour tout appartenant à , on note la fonction définie sur par la formule : . On note la fonction définie par si , sinon. Tous les sous-espa- ces vectoriels considérés seront des -espaces vectoriels. On notera la conju- guée complexe de , c'est-à-dire la fonction : . Partie I - Soit une fonction appartenant à . On appelle moyenne de , s'il existe, le nombre avec (1) On dira alors que la fonction est moyennable . I.A - I.A.1) Montrer que est une forme linéaire sur , que l'ensemble des fonctions moyennables est un sous-espace vectoriel de , et que est une forme linéaire sur . On notera de façon équivalente ou cette moyenne. I.A.2) Vérifier que et sont lipchitziennes pour . I.B - Montrer que la moyenne est invariante par translation : si et on pose , alors est moyennable et . I.C - I.

  • fourier-bohr

  • pn e?

  • ir e?

  • ?k ir?

  • ?k

  • sup xn ∞

  • mt x0


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MATHÉMATIQUES IFilière MP MATHÉMATIQUES I
On étudie certaines classes de fonctions appartenant à l’ensembleBdes fonc-tions bornées et continues par morceaux deIRdansIC: c’est un espace vectoriel surIC. Il est muni de la norme uniforme définie par x= supx(t) tIR Pour toutωà appartenantIR, on notee lafonction définie surIRla par ω iωt formule :e(t)=e. ω On noteUla fonction définie parU(t)= 1sit>0,= 0sinon. Tous les sous-espa-ces vectoriels considérés seront desIC-espaces vectoriels. On noteraxla conju-guée complexe dex, c’est-à-dire la fonction :tax(t). Partie I -Soitxune fonction appartenant àB. On appelle moyenne dex, s’il existe, le nombre T 1 M(x)= limM(x)avecM(x)=-x(t)dt(1) T T T→ ∞T0 On dira alors que la fonctionxestmoyennable. I.A -I.A.1) MontrerqueMTune forme linéaire sur estB, que l’ensemble des fonctions moyennablesM1est un sous-espace vectoriel deB, et queMest une forme linéaire surM1. On notera de façon équivalenteMxouM(x)cette moyenne. I.A.2) VérifierqueMetMsont lipchitziennes pour.. TI.B -Montrer que la moyenne est invariante par translation: siτ ∈IR et M1on posexτ(t)=x(tτ), alorsxest moyennable etMx=M x. xτ τ I.C -I.C.1) Soitxune fonction deBde périodeP(P>0). Montrer que pour tout a+P P aIR,x(t)dt=x(t)dt. En déduire quexest moyennable, et queM(x)est a0 égale à la moyenne sur n’importe quel intervalle de longueurP.
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MATHÉMATIQUES I
Filière MP
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I.C.2) Enparticulier montrer queM(e)= 0 pourωnon nul, et réel ω M(e)= 1. 0 I.C.3) Montrerque silimx(t)=c, alorsxest moyennable etM(x)=c. t→ ∞ iln(t+ 1) I.C.4) Soitx lafonction définie parx(t)=U(t)e. Vérifier que 0 0 x0B, calculerM(x). Examiner le comportement deM x0lorsque , ( )T→ ∞ T0T et en déduire quexn’est pas moyennable. 0 2 I.D -La fonctionxest ditede carré moyennablesiTaM xadmet une limite T lorsqueTtend vers+. Cette limite est appelée moyenne quadratique dex: 2 2 M x= limM(x)(2) T T→ ∞ On noteraM2l’ensemble des fonctions deBde carré moyennable. I.D.1) Montrerque toute fonction qui tend vers0l’infini est aussi de à moyenne quadratique nulle. 2 2 I.D.2) Pourx yM2et, donner une majoration de , ∈M(x)M(y) T T 2 2 M xM yen fonction dex,y,xy. ∞ ∞0M2 I.D.3) Montrer,à l’aide dexetU, quen’est pas un espace vectoriel. M2 I.E -On dira que deux fonctions,x,ydesontcomparablessi existe
∗ ∗ <x,y> =M(x y)= limM(x y)(3) T T→ ∞ M2 I.E.1) SiEest un espace vectoriel inclus dans, montrer que deux fonc-2 2 tionsx,yEsont comparables (développerx+yetx+iy). Il en résulte que surE,(x,y)a<x,y>est un « pseudo-produit scalaire » (il est linéaire à gauche, semi-linéaire à droite, positif, mais pas strictement). On a en particulier 2 22 M x+y=M x+M y+ 2Re<x,y>(4) M2 I.E.2) Ondira que deux fonctionsx,y, sontorthogonalessi<x,y> = 0. 2 Que vaut alorsM x+y? I.E.3) Écrirel’inégalité de Schwarz (on ne demande pas de la démontrer).
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MATHÉMATIQUES IFilière MP I.F -SoitPun réel strictement positif. Montrer que l’ensemble des fonctionsP-périodiques deBest un espace vectoriel de fonctions de carré moyennable et comparables. I.G -Soit N iωt k Pk kk  ={x:x(t)=c eNIN,cIC, ωIRdistincts } k= 1 l’ensemble des polynômes trigonométriques (élargi par rapport à celui utilisé dans les séries de Fourier : ici les fréquences sont quelconques). Montrer quePstable par produit de fonctions, et que l’application est (x,y)a<x,y>définit un produit scalaire surP. N N 2 2 En particulier, pourx=c e, établir queM x=c. kωkk k= 1k= 1 I.H -Soit une suitexM1qui converge uniformément versxB. n I.H.1) Montrerl’existence dem= limM(x)(utiliser I.A.2). n n→ ∞ I.H.2) Endéduire quexM1etM(x)=m(pour>0, on choisirantel que xx<etmM(x) <). n n nM2B I.I -Soit une suitexqui converge uniformément versx. I.I.1) MontrerqueK= sup{x,x(nIN)} <+. n2 I.I.2) MontrerquelimM x=mexiste. n2 n→ ∞ I.I.3) Ensuivant la méthode du I.H.2), en déduire quexM2 et 2 M x=m. 2 Partie II -On appelleQdes limites uniformes sur l’ensembleIR desuites de fonctions appartenant àP. II.A -Montrer les propriétés suivantes : II.A.1)Qest un espace vectoriel inclus dansM1M2, et fermé pour.. II.A.2) Toutesles fonctions deQsont comparables, et continues. II.A.3) SiQ, alorsτQ. x∈ ∀τIRx
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MATHÉMATIQUES IFilière MP II.A.4) Sic<+etω ∈IR, la série de fonctions k k k= 0 kωQ x=c econverge normalement surIRetx. k k= 0 II.A.5)Qest stable par produit des fonctions. Q II.A.6) Soitx,x, à valeurs réelles, ety:IRIC continue.Montrer que Q yoxmontrer d’abord lorsque (leyune fonction polynomiale à coeffi- est cients complexes). Q II.B -Lescoefficients de Fourier-Bohrdexsont définis, pour une fréquence ω ∈IR, parc(ω)=<x,e>. ω nP SiPest une suite deconvergeant uniformément versx, la réunionΩdes fréquences présentes dans chacun desPest un ensemble fini ou dénombrable n que l’on énumère donc selon le casΩ={ω , 0km}ouΩ={ω ,kIN}.On k k pose P=ceetd(n)= max{k:c0}, « degré » deP. nn,kωkn,k n k Montrer que pour tout réelω,c(ω) existeet vautc(ω)= lim<P,e>. En nω n→ ∞ déduire que : siω ∉ Ωalorsc(ω)= 0, et pour toutk,c(ω )=c= limc. k kn,k n→ ∞ II.C -SiΩest fini, montrer que m m iωt k2 2 x(t)=c e. En déduire la formule de Parseval :M x=c. ∑ ∑ k k k= 0k= 0 II.D -On se propose d’établir la formule de Parseval dans le cas oùΩest infini. On construit la suiten définieparn= 0,n= min(n:d(n) >d(n)). Soit j0k k– 1 q(t)=P(t), on a doncd=d(n)suite strictement croissante vers+(le fait k nk k k que la suitenexiste est admis). j II.D.1) Onpose N2 22 S=c e. CalculerM xSet en déduire quecM x. kN kωN k k= 0k= 0
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MATHÉMATIQUES IFilière MP II.D.2) Pourtoutk0, montrer quexSest orthogonal au sous-espace vec-d k torielEengendré par lese0jd. En déduire que kωk j d k 2 22 2 M xqM xS=M xc kk dj j= 0 II.D.3) Déduirealors de la convergence uniforme surIRdePversxque n 2 limM xq= 0 k k→ ∞ En conclure que 2 22 limM xS= 0,M x=c(5) nk n→ ∞ k= 0 Partie III -Pour une fonctionxB, lafonction de corrélation dexdéfinie (si cela est existe) par τ ∈IRγ (τ)= <x,xlim> =M(x x) (6) xτTτ T→ ∞ est la conjugaison complexe. On appellerafonction stationnaireune fonctionxpour laquelle∀τ ∈IR,γ (τ) x existe. M2 III.A -Montrer qu’une fonction stationnaire appartient à. III.B -Montrer queγ (τ) ≤γ (0), et queγ (τ)=γ (τ). x xx x III.C -Sixest stationnaire, montrer qu’il en est de même dey=e xet que, ω iωτ pour toutτappartenant àIR, on aγ (τ)=γ (τ)e. y x III.D -Qk k III.D.1) Six, montrer queappartient àxest stationnaire. On note{ω ,c} ses fréquences et coefficients de Fourier-Bohr, etSle polynôme trigonométri-n que défini par : n S=c e k n kω k= 0 III.D.2) Pourtoutτ,τ ∈IR, calculerγ (τ). S n
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MATHÉMATIQUES IFilière MP III.D.3) Montrerqueγest la somme de la série de fonctions x +2 c e k kω k= 0 xQ normalement convergente surIR etqueγmajoreraà (on appartient 2 γ (τ)γ (τ)en fonction deM xS). x Sn n B III.E -Soitxune fonction1–périodique de. III.E.1) Montrerqu’elle est stationnaire, et queγest aussi1–périodique. x III.E.2) Onnote 1 –2iπkt a=x(t)e dt,kZZ k 0 les coefficients de Fourier complexes dex. Montrer que les coefficients de Fou-2 rier deγsontc=a. x kk III.F -SoitE(t)la partie entière detetF(t)=tE(t)sa partie fractionnaire. –2iπaF(t) La fonctionxdéfinie parx(t)=eaest un réel irrationnel, est une 1 1 fonction1–périodique deB, de coefficients de Fourier complexesa. k III.F.1) Calculerlesa. Que vaut k 2 a? k k= –III.F.2) Calculerγ (τ)pourτ ∈ [0,1[et vérifier queγest continue surIR. x x 1 1 III.F.3) Endéduire queγ ∈Q. Calculer x 1 +k (–1) -. 2 2 π (a+k) k= –
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