Concours Centrale Supélec

Laurent

Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
MATHÉMATIQUES I Concours Centrale-Supélec 2005 1/6 MATHÉMATIQUES I Filière MP On étudie certaines classes de fonctions appartenant à l'ensemble des fonc- tions bornées et continues par morceaux de dans : c'est un espace vectoriel sur . Il est muni de la norme uniforme définie par Pour tout appartenant à , on note la fonction définie sur par la formule : . On note la fonction définie par si , sinon. Tous les sous-espa- ces vectoriels considérés seront des -espaces vectoriels. On notera la conju- guée complexe de , c'est-à-dire la fonction : . Partie I - Soit une fonction appartenant à . On appelle moyenne de , s'il existe, le nombre avec (1) On dira alors que la fonction est moyennable . I.A - I.A.1) Montrer que est une forme linéaire sur , que l'ensemble des fonctions moyennables est un sous-espace vectoriel de , et que est une forme linéaire sur . On notera de façon équivalente ou cette moyenne. I.A.2) Vérifier que et sont lipchitziennes pour . I.B - Montrer que la moyenne est invariante par translation : si et on pose , alors est moyennable et . I.C - I.

• fourier-bohr


• pn e?


• ir e?


• ?k ir?


• ?k


• sup xn ∞


• mt x0

Informations

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• Langue: Français

Extrait

MATHÉMATIQUES IFilière MP MATHÉMATIQUES I

On étudie certaines classes de fonctions appartenant à l’ensemble B des fonc- tions bornées et continues par morceaux de IR dans IC : c’est un espace vectoriel sur IC . Il est muni de la norme uniforme définie par x = supx(t) ∞ t∈IR Pour tout ω à appartenant IR , on note e  lafonction définie sur IR la par ω iωt formule : e(t)=e . ω On note U la fonction définie par U(t)= 1 si t>0 , = 0 sinon. Tous les sous-espa- ∗ ces vectoriels considérés seront des IC -espaces vectoriels. On notera x la conju- guée complexe de x , c’est-à-dire la fonction : tax(t) . Partie I - Soit x une fonction appartenant à B . On appelle moyenne de x , s’il existe, le nombre T 1 M(x)= limM(x) avec M(x)= - x(t)dt (1) ∫ T T T→ ∞ T 0 On dira alors que la fonction x estmoyennable. I.A - I.A.1) Montrerque M T une forme linéaire sur est B , que l’ensemble des fonctions moyennables M 1 est un sous-espace vectoriel de B , et que M est une forme linéaire sur M 1 . On notera de façon équivalente Mx ou M(x) cette moyenne. I.A.2) Vérifierque M et M sont lipchitziennes pour . . T∞ I.B -Montrer que la moyenne est invariante par translation: si τ ∈IR  et ∈ M 1 on pose x τ (t)=x(t–τ) , alors x est moyennable et Mx=M x . x τ τ I.C - I.C.1) Soit x une fonction de B de période P ( P>0 ). Montrer que pour tout a+P P a∈IR , x(t)dt=x(t)dt . En déduire que x est moyennable, et que M(x) est a ∫ 0 égale à la moyenne sur n’importe quel intervalle de longueur P .

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Filière MP

Filière MP

I.C.2) Enparticulier montrer que M(e)= 0  pour ω non nul, et réel ω M(e)= 1 . 0 I.C.3) Montrerque si limx(t)=c , alorsxest moyennable et M(x)=c . t→ ∞ iln(t+ 1) I.C.4) Soit x  lafonction définie par x(t)=U(t)e . Vérifier que 0 0 x 0 ∈ B , calculer M(x) . Examiner le comportement de M x 0 lorsque , ( )T→ ∞ T0T et en déduire que x n’est pas moyennable. 0 2 I.D -La fonction x est ditede carré moyennablesi TaM x admet une limite T lorsque T tend vers +∞ . Cette limite est appelée moyenne quadratique de x : 2 2 M x= limM(x) (2) T T→ ∞ On notera M 2 l’ensemble des fonctions de B de carré moyennable. I.D.1) Montrerque toute fonction qui tend vers 0 l’infini est aussi de à moyenne quadratique nulle. 2 2 I.D.2) Pour x y M 2 et, donner une majoration de , ∈M(x)–M(y) T T 2 2 M x–M y en fonction de x , y , x–y . ∞ ∞∞ 0 M 2 I.D.3) Montrer,à l’aide de x et U , quen’est pas un espace vectoriel. M 2 I.E -On dira que deux fonctions, x,y desontcomparablessi existe

∗ ∗ <x,y> =M(x y)= limM(x y) (3) T T→ ∞ M 2 I.E.1) Si E est un espace vectoriel inclus dans, montrer que deux fonc- 2 2 tions x,y∈E sont comparables (développer x+y et x+iy ). Il en résulte que sur E , (x,y)a<x,y> est un « pseudo-produit scalaire » (il est linéaire à gauche, semi-linéaire à droite, positif, mais pas strictement). On a en particulier 2 22 M x+y=M x+M y+ 2Re<x,y> (4) M 2 I.E.2) Ondira que deux fonctions x,y∈ , sontorthogonalessi <x,y> = 0 . 2 Que vaut alors M x+y ? I.E.3) Écrirel’inégalité de Schwarz (on ne demande pas de la démontrer).

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MATHÉMATIQUES IFilière MP I.F -Soit P un réel strictement positif. Montrer que l’ensemble des fonctions P - périodiques de B est un espace vectoriel de fonctions de carré moyennable et comparables. I.G -Soit N iωt k P k kk  ={x:x(t)=c eN∈IN,c∈IC, ω∈IR distincts } ∑ k= 1 l’ensemble des polynômes trigonométriques (élargi par rapport à celui utilisé dans les séries de Fourier : ici les fréquences sont quelconques). Montrer que P stable par produit de fonctions, et que l’application est (x,y)a<x,y> définit un produit scalaire sur P . N N 2 2 En particulier, pour x=c e , établir que M x=c . ∑ kω k ∑ k k= 1k= 1 I.H -Soit une suite x∈ M 1 qui converge uniformément vers x∈ B . n I.H.1) Montrerl’existence de m= limM(x) (utiliser I.A.2). n n→ ∞ I.H.2) Endéduire que x∈ M 1 et M(x)=m (pour >0 , on choisira n tel que x–x< et m–M(x) < ). n n ∞ n M 2 B I.I -Soit une suite x∈ qui converge uniformément vers x∈ . I.I.1) Montrerque K= sup{x,x(n∈IN)} <+∞ . n∞ ∞ 2 I.I.2) Montrerque limM x=m existe. n2 n→ ∞ I.I.3) Ensuivant la méthode du I.H.2), en déduire que x∈ M 2  et 2 M x=m . 2 Partie II - On appelle Q des limites uniformes sur l’ensemble IR  desuites de fonctions appartenant à P . II.A -Montrer les propriétés suivantes : II.A.1) Q est un espace vectoriel inclus dans M 1 M 2 , et fermé pour . ∞ . ∩ II.A.2) Toutesles fonctions de Q sont comparables, et continues. II.A.3) Si Q , alors τ ∈ Q . x∈ ∀τ∈IRx

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MATHÉMATIQUES IFilière MP ∞ II.A.4) Si c<+∞ et ω ∈IR , la série de fonctions ∑ k k k= 0 ∞ kω Q x=c e converge normalement sur IR et x∈ . ∑ k k= 0 II.A.5) Q est stable par produit des fonctions. Q II.A.6) Soit x,x∈ , à valeurs réelles, et y:IR→IC  continue.Montrer que Q yox∈ montrer d’abord lorsque (le y une fonction polynomiale à coeffi- est cients complexes). Q II.B -Lescoefficients de Fourier-Bohrde x∈ sont définis, pour une fréquence ω ∈IR , par c(ω)=<x,e> . ω n P Si P est une suite deconvergeant uniformément vers x , la réunion Ω des fréquences présentes dans chacun des P est un ensemble fini ou dénombrable n que l’on énumère donc selon le cas Ω={ω , 0≤k≤m} ou Ω={ω ,k∈IN} .On k k pose P=ce et d(n)= max{k:c≠0} , « degré » de P . n ∑ n,kω k n,k n k Montrer que pour tout réel ω,c(ω)  existeet vaut c(ω)= lim<P,e> . En nω n→ ∞ déduire que : si ω ∉ Ω alors c(ω)= 0 , et pour tout k , c(ω )=c= limc . k kn,k n→ ∞ II.C -Si Ω est fini, montrer que m m iωt k 2 2 x(t)=c e . En déduire la formule de Parseval : M x=c . ∑ ∑ k k k= 0k= 0 II.D -On se propose d’établir la formule de Parseval dans le cas où Ω est infini. On construit la suite n  définiepar n= 0 , n= min(n:d(n) >d(n)) . Soit j0k k– 1 q(t)=P(t) , on a donc d=d(n) suite strictement croissante vers +∞ (le fait k nk k k que la suite n existe est admis). j II.D.1) Onpose N∞ 2 22 S=c e . Calculer M x–S et en déduire que c≤M x . ∑ k ∑ N kωN k k= 0k= 0

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MATHÉMATIQUES IFilière MP II.D.2) Pourtout k≥0 , montrer que x–S est orthogonal au sous-espace vec- d k toriel E engendré par les e où 0≤j≤d . En déduire que kωk j d k 2 22 2 M x–q≥M x–S=M x–c k ∑ k dj j= 0 II.D.3) Déduirealors de la convergence uniforme sur IR de P vers x que n 2 limM x–q= 0 k k→ ∞ En conclure que ∞ 2 22 limM x–S= 0 , M x=c (5) n ∑ k n→ ∞ k= 0 Partie III - Pour une fonction x∈ B , lafonction de corrélation de x définie (si cela est existe) par ∗ τ ∈IRγ (τ)= <x,xlim> =M(x x)  (6) xτT τ T→ ∞ ∗ oùest la conjugaison complexe. On appellerafonction stationnaireune fonction x pour laquelle ∀τ ∈IR ,γ (τ) x existe. M 2 III.A -Montrer qu’une fonction stationnaire appartient à. ∗ III.B -Montrer que γ (τ) ≤γ (0) , et que γ (–τ)=γ (τ) . x xx x III.C -Si x est stationnaire, montrer qu’il en est de même de y=e x et que, ω iωτ pour tout τ appartenant à IR , on a γ (τ)=γ (τ)e . y x III.D - Q k k III.D.1) Si x , montrer queappartient à x est stationnaire. On note {ω ,c} ses fréquences et coefficients de Fourier-Bohr, et S le polynôme trigonométri- n que défini par : n S=c e ∑ k n kω k= 0 III.D.2) Pourtout τ,τ ∈IR , calculer γ (τ) . S n

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MATHÉMATIQUES IFilière MP III.D.3) Montrerque γ est la somme de la série de fonctions x +∞ 2 c e ∑ k kω k= 0 x Q normalement convergente sur IR  etque γ majoreraà (on appartient 2 γ (τ)–γ (τ) en fonction de M x–S ). x Sn n B III.E -Soit x une fonction 1– périodique de. III.E.1) Montrerqu’elle est stationnaire, et que γ est aussi 1– périodique. x III.E.2) Onnote 1 –2iπkt a=x(t)e dt,k∈ZZ ∫ k 0 les coefficients de Fourier complexes de x . Montrer que les coefficients de Fou- 2 rier de γ sont c=a . x kk III.F -Soit E(t) la partie entière de t et F(t)=t–E(t) sa partie fractionnaire. –2iπaF(t) La fonction x définie par x(t)=e où a est un réel irrationnel, est une 1 1 fonction 1– périodique de B , de coefficients de Fourier complexes a . k III.F.1) Calculerles a . Que vaut k ∞ 2 a ? ∑ k k= –∞ III.F.2) Calculer γ (τ) pour τ ∈ [0,1[ et vérifier que γ est continue sur IR . x x 1 1 III.F.3) Endéduire que γ ∈ Q . Calculer x 1 +∞ k (–1) - . ∑ 2 2 π (a+k) k= –∞

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