Concours Centrale Supélec
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Concours Centrale Supélec

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Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
MATHÉMATIQUES I Concours Centrale-Supélec 2003 1/6 MATHÉMATIQUES I Filière PC Plan du problème Dans les préliminaires, on établit quelques généralités utiles par la suite sur les applications intégrables. Elles sont illustrées par la partie I et utilisées pour établir les résultats de la partie II. Dans les parties III et IV, on étudie le com- portement asymptotique de quelques suites et séries en utilisant les idées qui précèdent. Rappels et notations • Soient et deux fonctions de variable réelle et à valeurs réelles ne s'annu- lant pas au voisinage d'un élément , sauf éventuellement en ce point. et sont dites équivalentes en si et seulement si leur quotient tend vers en . On notera alors en . est dite négligeable devant en si et seulement si le quotient tend vers en . On notera alors en . • Soient et deux suites réelles de termes non nuls à partir d'un cer- tain rang. Les suites et sont dites équivalentes si et seulement si la suite définie pour assez grand par converge vers ; on note alors . La suite est dite négligeable devant si et seulement si converge vers ; on note alors . • Pour une série de nombres réels, on note la suite de ses som- mes partielles : pour , . Si de plus est convergente, on note la suite de ses restes : pour , .

  • td ln

  • logiciel de calcul formel

  • un∑ rn

  • gxb∫? ??

  • x∫ xf

  • continues par mor- ceaux

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  • rn uk


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MATHÉMATIQUES IFilière PC MATHƒMATIQUES I
Plan du problème Dans les préliminaires, on établit quelques généralités utiles par la suite sur les applications intégrables. Elles sont illustrées par la partie I et utilisées pour établir les résultats de la partie II. Dans les parties III et IV, on étudie le com-portement asymptotique de quelques suites et séries en utilisant les idées qui précèdent. Rappels et notations • Soientfetgdeux fonctions de variable réelle et à valeurs réelles ne s’annu-lant pas au voisinage d’un élémentbIR∪ {+∞,∞}, sauf éventuellement en ce point.fetgsont dites équivalentes enbsi et seulement si leur quotient tend vers1enb. On notera alorsfgenb.fest dite négligeable devant genbsi et seulement si le quotientfgtend vers0enb. On notera alors f=o(g)enb. • Soient(u)et(v)deux suites réelles de termes non nuls à partir d’un cer-n n tain rang. Les suites(u)et(v)sont dites équivalentes si et seulement si la n n u n suite(w)définie pournassez grand parw=-converge vers1; on note n n v n alorsnn. La suite(u)est dite négligeable devant(vsi et seulement u v) n n si(w)converge vers0; on note alorsu=o(v). n nn • Pourune sérieude nombres réels, on note(S)la suite de ses som-n nnIN mes partielles : n pour ,nIN.S=u n k k= 0 Si de plusuest convergente, on note(R)la suite de ses restes : n nIN n +pour ,nINR.=u n k k=n+ 1 lndésigne le logarithme népérien.
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MATHÉMATIQUES I
FiliËre PC
Filière PC
Préliminaires SoitaIRetb]a,+[∪ {+∞},fetgdeux applications continues par mor-ceaux sur[a,b[à valeurs strictement positives. 1) On suppose quegest intégrable sur[a,b[. a) Montrerqu’enb, la relationf=o(g)entraîne b b   f=o g. xxb b b) Montrerqu’enb, la relationfgentraînefg ∫ ∫ x x (on justifiera l’intégrabilité defsur les intervalles[x,b[considérés). 2) On suppose quegn’est pas intégrable sur[a,b[. x x   a) Montrer qu’enb, la relationf=o(g)entraînef=o g. aaMontrer à l’aide d’exemples que l’on ne peut en général rien dire de l’intégrabi-lité defsur[a,b[. x x b) Montrer qu’enb, la relationfgentraînefg. ∫ ∫ a a Que dire de l’intégrabilité defsur[a,b[?
Partie I  I.A -I.A.1) Déterminerun équivalent simple de t 1 e+ -dten0. xArc sint2t x e+ I.A.2) Endéduire un équivalent simple de-dten0. Arc sintx3 I.B -I.B.1) Àl’aide d’une intégration par parties, montrer qu’en+, on a x dt x --2ln(t)ln(x)
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MATHÉMATIQUES IFilière PC I.B.2) Plusgénéralement, sinest un entier naturel, établir le développe-ment asymptotique suivant en+: n x dt k!x x   -=-+o-. k+ 1n+ 1 2ln(t) ln(x)ln(x) k= 0 I.C -I.C.1) Justifierle développement asymptotique suivant en+: t xx x x e e2e e   -dt=-+-+o-. 1 22 33x xx t+ 1 I.C.2) Écrire,dans le langage associé au logiciel de calcul formel utilisé, une procédure permettant d’obtenir le terme d’indicen(n)2du développement x e asymptotique en+(par rapport aux-,k2) de : k x t x e xa-dt 1 2 t+ 1 (on indiquera le logiciel de calcul formel utilisé).
Partie II  1 Soitaun nombre réel etfune application de classeCsur[a,+[à valeurs x f(x) strictement positives. On suppose que le quotient-tend vers une limite f(x) finienα .+ln(f(x)) II.A -Montrer à l’aide des préliminaires qu’en+,-tend versαln(x) (on peut distinguer le casα= 0). II.B -On suppose dans cette questionα <–1. II.B.1) Montrerquefest intégrable sur[a,+[. xf(x) +II.B.2) Montrerqu’en+, on af-α+ 1 x xf(x) (on peut considérer-et utiliser les préliminaires). α+ 1 II.C -On suppose dans cette questionα >–1. II.C.1) Étudierl’intégrabilité defsur[a,+[. II.C.2) Montrerqu’en+, on a xf(x) x f. -aα+ 1 1 II.C.3) Donnerun exemple d’applicationfde classeCsur[a,+[à valeurs Concours Centrale-Supélec 20033/6
MATHÉMATIQUES IFilière PC ln(f(x)) strictement positives telles qu’en+le quotient-tende vers une limite ln(x) xf(x) x α >–1, mais telle que l’on n’ait pasf. -α+ 1 a II.D -1 II.D.1) Étudierl’intégrabilité sur[2,+[des applicationsxa,-selon β x(lnx) β ∈IR. II.D.2) Étudier,à l’aide des questions précédentes, l’intégrabilité sur[2,+[ 1 des applicationsxa-, selonβ ∈IRetγ ∈IR. γ β x(lnx) II.E -Que conclure quant à l’intégrabilité defsur[a,+[dans le casα= –1?
Partie III  1 + Dans cette partie, on considère une applicationfde classeCsurIR, à valeurs strictement positives. f(x) On suppose qu’en+,-tend versα ∈IR. f(x) On considère la série de terme généralf(n). On note(S)la suite de ses n nIN sommes partielles et(R)la suite de ses restes quand la série converge. n nIN + On associe àfdeux applicationsuet cvontinues par morceaux surIeRt définies par : n * pour toutnINet toutx[n– 1,n[,u(x)=f(n)etv(x)=f(t)dt. n–1 + –αx On pose enfin pour toutxIR,h(x)=e f(x). III.A -.txéSoiε >0 * Montrer l’existence denINet ttel que pour tout entiernount 0 0 t∈ [n– 1,n], on ait : ε h(t)h(n)≤ (e– 1)h(n) h(on peut considérer-). h III.B -On suppose dans cette question queαn’est pas nul. Déduire de III.A que lorsquentend vers+, on a α n 1 –e f(t)dt-f(n). n– 1α III.C -On suppose encore dans cette question queαn’est pas nul. k k * III.C.1) ExprimerpourkINles intégralesv(t)dtetu(t)dtà l’aide k– 1k– 1 de .f
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MATHÉMATIQUES IFilière PC À l’aide des préliminaires, établir les résultats suivants : + III.C.2) Sifest intégrable sur, aIlRors la série de terme général f(n)converge et on a quandnvers+, +α nR-f(t)dt. αn 1 –e + III.C.3) Sifn’est pas intégrable surIR, alors la série de terme généralf(n) diverge et on a quandnvers+, n α ( ). Snα-f t dt 0 1 –e III.D -On suppose à présent queα= 0. Montrer alors que la série de terme généralf(n)est convergente si et seulement ++ Rnf(t)dt sifest intégrable surI,Ravec encas de convergence et n n nS f(t)dten cas de divergence. 0
Partie IV  IV.A -À l’aide de ce qui précède, déterminer un équivalent simple des sommes suivantes quandntend vers+: n 1 IV.A.1)-k k= 1 n IV.A.2)ln(k) k= 1 n k IV.A.3)2 ln(k) k= 1 IV.B -Soient(a)et(b)deux suites réelles strictement positives n n nINnIN équivalentes. On note pour toutnIN, n n S(a)=aetS(b)=b. ∑ ∑ n kn k k= 0k= 0
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MATHÉMATIQUES IFilière PC Dans le cas où ces séries convergent, on note pour toutnIN, ++R(a)=aetR(b)=b nn nn k=n+ 1k=n+ 1 IV.B.1) Montrerque siaconverge, alors quandntend vers+, on a n nn R(a)R(b). IV.B.2) Montrerque siatediverge, alors quandn, onnd vers+a n nn S(a)S(b). IV.C -Déduire de ce qui précède les résultats suivants lorsquentend vers+: IV.C.1) n 1 11 -= ln(n)+γ+-+o(-) k2n n k= 1 IV.C.2) 1 n+--2 –n1 1   n! =δn e1 +-+o(-) 12n nγetδsont deux constantes qu’on ne demande pas d’expliciter. IV.C.3) Quevautδ?
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