Concours Centrale Supélec
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Concours Centrale Supélec

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Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
MATHÉMATIQUES I Concours Centrale-Supélec 2003 1/4 MATHÉMATIQUES I Filière TSI L'épreuve est constituée par deux problèmes indépendants. Partie I - étant un réel donné, on désigne par la fonction définie sur par : , et, dans le cas où l'intégrale est convergente, on pose : . I.A - I.A.1) On suppose . Déterminer la limite de la fonction quand tend vers . L'intégrale de la fonction est-elle convergente sur ? I.A.2) Reprendre la question précédente dans le cas où . I.A.3) Montrer que : . L'intégrale de la fonction est-elle convergente sur quand vérifie ? ? f ? IR + f ? x( ) x 1 x?sin2x+ ----------------------------= I ?( ) f ? x( ) xd0 +∞∫= ? 0< f ? x +∞ f ? IR + ? 0= f ? x( ) x 1 x?+ ---------------≥ f ? IR + ? 0 ? 2≤<

  • filière tsi

  • majoration de établie

  • allure de la représentation graphique

  • nature de la branche infinie

  • ∑≤ ≤

  • concours centrale -supélec

  • wn


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Langue Français
MATHÉMATIQUES IFilière TSI MATHƒMATIQUES I
L’épreuve est constituée par deux problèmes indépendants.
Partie I  + αétant un réel donné, on désigne parfla fonction définie surIRpar : α x f(x)=-, α α2 1 +xsinx et, dans le cas où l’intégrale est convergente, on pose : +I(α)=f(x)dx. α 0 I.A -I.A.1) Onsupposeα <0. Déterminer la limite de la fonctionfquandxtend vers+. α + L’intégrale de la fonctionfest-elle convergente surIR? α I.A.2) Reprendrela question précédente dans le cas oùα= 0. I.A.3) Montrerque : x f(x) ≥-. α α 1 +x + L’intégrale de la fonctionfqest-elle convergente surIuRand vériαfie α 0< α ≤2?
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MATHÉMATIQUES I
FiliËre TSI
I.B -On supposeα >0. On pose :
1   v=n-π n   2
1   n+-π   2 1   n--π   2
1   n+-π   2 u=f(x)dx, nα 1   n--π   2
dx -, α 12  1 +n+-πsinx  2
Filière TSI
1   n+--π   2 1dx   etw=n+-π-.  α n 2 12 1  1 +n-πsinx n--π  22 + I.B.1) Montrerque l’intégrale de la fonctionfest convergente surIRsi et α seulement si la série +uest convergente. n n= 1 I.B.2) Montrerque : nN, .vuw n nn I.B.3) Montrerque π π - -2du2du w=(2n+ 1- etv=(2n– 1-. ∫ ∫ n n α α 012 012     1 +n-πsinu1 +n+-πsinu     2 2 I.B.4)hétant un réel strictement positif, calculer π --21 -dx2 2 0 1 +hsinx et en déduirevetw. n n
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MATHÉMATIQUES IFilière TSI I.B.5) Montrerqu’il existe une constanteKstrictement positive telle que α 2 –--2 Kπ v-n α -–1 2 (n+ 1) pour tout entier naturelnnon nul et une constanteKstrictement positive telle que α 2 –--2 K′π w-n α --–1 2 (n– 1) pour tout entier naturelnstrictement supérieur à1. + I.B.6) Endéduire que l’intégrale de la fonctionfest convergente surIRsi α et seulement siα >4.
I.C -On pose +φ(α)=f(x)dxπ α -2 pour toutαréel strictement supérieur à4. I.C.1) Montrerqueφest décroissante sur]4, +[. I.C.2) Enutilisant la minoration devétablie à la question I.B.5, montrer n queφ(α)tend vers l’infini quandαtend vers4. I.C.3) Enutilisant la majoration dewétablie à la question I.B.5, montrer n queφ(α)tend vers0quandαtend vers+.
Partie II  On considère la série de fonctions +x n u(x)avecu(x)=-. n n n! n= 1 On pose n S(x)=u(x). n k k= 1 II.A -Pour quelles valeurs dexla série est-elle convergente ?
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MATHÉMATIQUES IFilière TSI On pose alors +S(x)=u(x). n n= 1 II.B -Montrer queSest à valeurs strictement positives et que la fonctionSest strictement croissante. II.C -Calculer .S(0),S(1),S(2),S(3) II.D -Montrer que, pour tout réelxstrictement négatif et tout entier natureln strictement supérieur à 1 : x n1   0<S(x)S(x)+-1 +-. n– 1   n!n On remarquera que, lorsquekest strictement supérieur àn, on a : x kn k n! 1    -<1 et--.    n k!n+ 1 –2 II.E -En déduire une valeur approchée deS(–1)à10près. II.F -Étudier les limites deSquandxtend vers+, quandxtend vers. II.G -Donner l’allure de la représentation graphique de, eSn précisant la nature des branches infinies. II.H -Démontrer que : p p– 1 k kp xxx x x∈ [0,1], ,pN-.e-+e-∑ ∑ k!k!p! k= 0k= 0 II.I -Démontrer que l’intégrale t 1 e– 1 -dt 0t est convergente. II.J -Démontrer que t 1 e– 1 -dt=S(–1). 0t
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