Concours Centrale Supélec

Laurent

Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
MATHÉMATIQUES I Concours Centrale-Supélec 2002 1/4 MATHÉMATIQUES I Filière PC La première partie de ce problème est consacrée à la description d'une procédure géométrique qui aboutit naturellement à la construction d'une fonction continue : que l'on étudie sommairement à la Partie II. La troisième partie concerne les propriétés de dérivabilité des fonctions continues périodiques ayant une série de Fourier lacunaire. Enfin, à la Partie IV on combine les résul- tats des parties I et III pour montrer que la fonction n'est dérivable en aucun point de . On note et et on désigne par l'espace des fonc- tions de dans qui sont continues et périodiques. Si on rappelle que ses coefficients de Fourier sont donnés pour par , la série de Fourier (formelle) de étant . Partie I - Définition de la fonction I.A - On suppose l'espace muni de sa structure euclidienne canonique. On définit : par : , où et est la projection orthogonale de sur la droite passant par et si . I.A.1) On suppose , et l'on pose , , , , , où . Que représentent les points par rapport au triangle ? I.A.2) Montrer que si alors , . I.B - Pour on pose et on définit par récurrence pour la suite par .

• série de fourier lacunaire


• x'


• n≤ ≤– ?


• ?? xn


• série de fourier


• y' z'


• espace des fonc- tions

Sujets

• Série de Fourier

Informations

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• Langue: Français

Extrait

MATHÉMATIQUES I

Concours Centrale-Supélec 2002

1/4

MATHÉMATIQUES I

Filière PC

La première partie de ce problème est consacrée à la description d’une procédure

géométrique qui aboutit naturellement à la construction d’une fonction continue

:

que l’on étudie sommairement à la Partie II. La troisième partie

concerne les propriétés de dérivabilité des fonctions continues

périodiques

ayant une série de Fourier lacunaire. Enfin, à la Partie IV on combine les résul-

tats des parties I et III pour montrer que la fonction

n’est dérivable en aucun

point de

.

On note

et

et on désigne par

l’espace des fonc-

tions de

dans

qui sont continues et

périodiques.

Si

on rappelle que ses coefficients de Fourier sont donnés pour

par

, la série de Fourier (formelle) de

étant

.

Partie I -

Définition de la fonction

I.A -

On suppose l’espace

muni de sa structure euclidienne canonique. On

définit

:

par :

,

où

et

est la projection orthogonale de

sur la droite passant par

et

si

.

I.A.1)

On suppose

,

et l’on pose

,

,

,

,

,

où

.

Que représentent les points

par rapport au triangle

?

I.A.2)

Montrer que si

alors

,

.

I.B - Pour

on pose

et on définit par

récurrence pour

la suite

par

.

I.B.1)

Soit

,

. Montrer que, si l’on a

, alors

et

.

x

]0,

π

[

IR

→

2

π

–

x

]0,

π

[

IN

∗

IN

\ 0

{

}

=

ZZ

∗

ZZ

\ 0

{

}

=

C

2

π

IR

I

C

2

π

–

f

C

2

π

∈

n

ZZ

∈

f

ˆ

n

(

)

1

2

π

-----

f

t

(

)

π

–

π

∫

=

e

i

nt

–

dt

f

f

ˆ

n

(

)

n

ZZ

∈

∑

e

i

nt

x

IR

2

T

IR

3

IR

3

→

T

x

x

0

,

,

(

)

x

x

0

,

,

(

)

=

T

x

y

z

,

,

(

)

x

'

y

'

z

'

,

,

(

)

=

x

'

y

=

y

'

z

'

,

(

)

y

z

–

,

(

)

x

0

,

(

)

y

z

,

(

)

x

y

z

,

,

(

)

x

x

0

,

,

(

)

≠

x

y

≠

z

0

≠

A

x

0

,

(

)

=

B

y

z

,

(

)

=

C

y

z

–

,

(

)

=

A

′

x

'

0

,

(

)

=

B

′

y

'

z

–

'

,

(

)

=

C

′

y

'

z

'

,

(

)

=

x

'

y

'

z

'

,

,

(

)

T

x

y

z

,

,

(

)

=

A

′

B

′

C

′

,

,

ABC

x

y

z

,

,

(

)

x

x

0

,

,

(

)

≠

y

'

x

'

–

2

z

2

y

x

–

(

)

y

x

–

(

)

2

z

2

+

-------------------------------

–

=

z

'

z

y

x

–

(

)

2

z

2

–

y

x

–

(

)

2

z

2

+

-------------------------------

=

t

]0,

π

[

∈

X

0

t

(

)

0

1

cotan

t

, ,

(

)

=

n

IN

∈

X

n

t

(

)

x

n

t

(

)

y

n

t

(

)

z

n

t

(

)

,

,

(

)

=

X

n

1

+

t

(

)

T

X

n

t

(

)

(

)

=

n

IN

∈

t

]0,

π

[

∈

z

n

t

(

)

0

=

z

n

1

+

t

(

)

0

=

y

n

1

+

t

(

)

x

n

1

+

t

(

)

–

0

=

Concours Centrale-Supélec 2002

2/4

Filière PC

MATHÉMATIQUES I

Filière PC

Soit

; on suppose que

est tel que

si

.

a) Montrer que, pour ces valeurs de ,

.

b) On suppose de plus à présent que

. Montrer que :

et que

.

I.B.2)

Montrer que

,

,

.

I.B.3)

En déduire :

,

,

.

I.B.4)

On pose pour

. Montrer que la suite

converge simplement vers une fonction

continue sur

. En déduire que la

suite

converge simplement vers une fonction

continue sur

.

I.B.5)

Montrer que la fonction

se prolonge en une fonction paire (que l’on

appellera encore ) de

dont on déterminera la série de Fourier.

I.B.6)

Calculer

pour

,

et étudier la limite simple de cette

suite de fonctions sur

.

Partie II -

Étude de quelques propriétés de la fonction

II.A -

Calculer

,

,

; montrer que

,

.

II.B -

II.B.1)

On pose pour

,

,

.

N

IN

∗

∈

t

]0,

π

[

∈

z

n

t

(

)

0

≠

0

n

N

1

–

≤

≤

n

y

n

t

(

)

x

n

t

(

)

–

z

n

t

(

)

--------------------------------

2

n

t

(

)

tan

=

z

N

t

(

)

0

=

y

N

1

–

t

(

)

x

N

1

–

t

(

)

–

z

N

1

–

t

(

)

-------------------------------------------------









2

1

=

2

N

t

(

)

cos

0

=

n

0

≥

∀

t

]0,

π

[

∈

∀

y

n

1

+

t

(

)

x

n

1

+

t

(

)

–

2cos

2

2

n

t

(

)

y

n

t

(

)

x

n

t

(

)

–

(

)

–

=

n

0

≥

∀

t

]0,

π

[

∈

∀

x

n

1

+

t

(

)

x

n

t

(

)

–

1

–

(

)

n

sin

2

2

n

t

(

)

2

n

sin

2

t

(

)

------------------------

=

n

0

u

n

t

(

)

≥

sin

2

t

(

)

x

n

t

(

)

=

u

n

(

)

u

]0,

π

[

x

n

(

)

x

]0,

π

[

u

u

C

2

π

z

n

t

(

)

n

0

≥

t

]0,

π

[

∈

]0,

π

[

x

x

π

4

⁄

(

)

x

π

3

⁄

(

)

x

π

2

⁄

(

)

x

π

t

–

(

)

x

t

(

)

=

t

0

π

[

,

[

∈

n

1

≥

t

]0,

π

[

∈

ϕ

n

t

(

)

1

–

(

)

k

2

k

sin

2

t

2

k

-----









k

1

=

n

∑

=

MATHÉMATIQUES I

Filière PC

Concours Centrale-Supélec 2002

3/4

Montrer que, pour

,

,

.

II.B.2)

Montrer que la suite

converge simplement sur

vers une fonc-

tion

de classe

.

II.C -

II.C.1)

Montrer que les suites

,

sont convergentes :

déterminer leurs limites puis une valeur approchée de celles-ci à

près.

II.C.2)

Montrer que

,

et qu’il existe une

suite de nombres

convergeant vers

telle que

.

Partie III -

Séries de Fourier lacunaires

Soit

. On pose

et

.

III.A -

III.A.1) Montrer que :

,

,

.

III.A.2) Montrer que :

et en déduire l’existence d’une constante

telle que

,

.

Dans toute la suite de la Partie III,

est une suite de nombres

complexes telle que

.

III.B -

III.B.1)

Pour

,

on pose

.

Montrer que la série

converge simplement sur

vers une fonction

dont on déterminera la série de Fourier.

n

1

≥

t

]0,

π

[

∈

∀

2

n

u

t

2

n

-----









1

–

(

)

n

u

t

(

)

ϕ

n

t

(

)

+

(

)

=

ϕ

n

(

)

]0,

π

[

ϕ

C

1

α

n

2

2

n

–

x

π

2

2

n

2

+

---------------









=

β

n

2

2

n

1

+

(

)

–

x

π

2

2

n

3

+

---------------









=

10

3

–

x

π

2

2

n

--------









n

∞

→

lim

∞

–

=

x

π

2

2

n

1

+

---------------









n

∞

→

lim

+

∞

=

t

n

]0,

π

[

∈

0

x

t

n

(

)

0

=

N

IN

∈

D

N

t

(

)

e

i

kt

k

N

–

=

N

∑

=

I

N

1

2

π

-----

D

N

t

(

)

4

t

d

π

–

π

∫

=

t

]

π

–

∈

∀

π

\

0

{

}

[

D

N

t

(

)

N

1

2

--

+









t

sin

t

2

--









sin

------------------------------

=

I

N

8

π

--

sin

4

N

1

2

--

+









t

t

4

--------------------------------

t

d

π

–

π

∫

≥

C

0

>

N

0

≥

∀

I

N

CN

3

≥

a

a

n

(

)

n

0

≥

=

a

n

n

0

≥

∑

+

∞

<

n

0

≥

t

IR

∈

v

n

t

(

)

2

a

n

2

n

t

cos

=

v

n

n

0

≥

∑

IR

v

C

2

π

∈

MATHÉMATIQUES I

Filière PC

Concours Centrale-Supélec 2002

4/4

Désormais

désigne cette fonction (associée à la suite ) et

un réel

tel que

est dérivable en

(on suppose l’existence d’un tel

).

Si

, on définit

.

III.B.2)

Montrer que

et que

est dérivable en . Calculer

et

.

III.B.3)

Calculer

à l’aide de la suite

et montrer que

si

.

III.C -

On suppose désormais

. Soit

et

.

III.C.1)

Montrer que pour tout nombre entier

tel que

, il existe

tel que :

et

,

.

III.C.2)

Calculer

à l’aide de la suite .

III.D -

On pose

si

,

si

ou

(noter que la fonction

ne dépend pas de

).

III.D.1) Montrer que

est bornée sur

. Étudier sa limite en

.

III.D.2) Montrer qu’il existe

telle que

.

III.D.3) Étudier la limite de la suite

.

Partie IV -

Utiliser les résultats des parties I et III pour montrer que la fonction

définie

en Partie I n’est dérivable en aucun point de

.

••• FIN •••

v

a

t

0

v

t

0

t

0

n

0

IN

∗

∈

H

n

0

t

(

)

e

i

2

n

0

–

t

t

0

+

(

)

v

t

t

0

+

(

)

v

t

0

(

)

t

v

′

t

0

(

)

t

sin

–

cos

–

[

]

=

H

n

0

C

2

π

∈

H

n

0

0

H

n

0

0

(

)

H

′

n

0

0

(

)

H

ˆ

n

0

0

(

)

a

H

ˆ

n

0

k

(

)

0

=

k

ZZ

∗

2

n

0

1

–

1

2

n

0

,

1

–

+

–

[

]

∩

∈

n

0

6

≥

N

2

n

0

4

–

=

g

N

t

(

)

I

N

1

–

D

N

t

(

)

4

=

j

4

N

j

4

N

≤

≤

–

α

j

α

0

1

=

t

IR

∈

∀

g

N

t

(

)

α

j

e

i

jt

j

4

N

–

=

4

N

∑

=

H

n

0

t

(

)

g

N

t

(

)

t

d

π

–

π

∫

a

K

t

(

)

H

n

0

t

(

)

t

----------------

=

t

π

π

,

–

[

]

\ 0

{

}

∈

K

t

(

)

0

=

t

0

=

t

π

>

K

n

0

K

IR

0

C

′

0

>

2

n

0

a

n

0

C

′

K

t

N

1

2

--

+

--------------

















sin

4

t

t

3

-----------

t

d

∞

–

+

∞

∫

≤

2

n

a

n

(

)

n

0

≥

x

]0,

π

[