Concours Centrale Supélec
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Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
MATHÉMATIQUES I Concours Centrale-Supélec 2000 1/4 MATHÉMATIQUES I Filière PSI Objet du problème : Il s'agit de calculer par plusieurs méthodes les intégrales définies dans la partie II. Notations : Partie I - I.A - Soit une application de classe sur et à valeurs dans . Montrer que : . I.B - On note , pour . I.B.1) Justifier l'existence de . I.B.2) Calculer , , , . I.B.3) Exprimer en fonction de et en déduire une expression de en fonction de . I.B.4) Montrer que : , et en déduire : . I.B.5) Déduire des résultats précédents l'égalité : . I.C - I.C.1) Soit un réel strictement positif. Justifier l'existence de l'intégrale . In Cn p n p? ?? ? n! p! n p–( )!--------------------------= = f C1 a b[ , ] IR f t( ) xtsin td a b∫x +∞?lim 0= Jn ntsin tsin------------- td0 π 2--∫= n IN? Jn J0 J1 J2 J3 Jn Jn 2–– n Jn n Jn Jn 1––( )n +∞?lim 0= Jn π 2--=n +∞? lim π 4 1–(

  • partition judi- cieuse de l'intervalle d'intégration

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MATHÉMATIQUES I
MATHÉMATIQUES I
Objet du problème :
Filière PSI
Il s’agit de calculer par plusieurs méthodes les intégralesI définiesdans la n partie II. ! pn n  Notations:C= =-n   p!(p)! p n Partie I -1 I.A -Soitfune application de classeCsur[a,b]et à valeurs dansIR. Montrer b que :limf(t)sinxtdt= 0.  x+a -2sinnt I.B -On noteJ=-dt, pourn IN.  n 0sint I.B.1) Justifierl’existence deJ. n I.B.2) CalculerJ,J,J,J. 0 1 2 3
I.B.3) ExprimerJJen fonction denet en déduire une expression de n n– 2 Jen fonction den. n I.B.4) Montrerque :lim(JJ)= 0, et en déduire :limJ=-. n n– 1n n+n+2 +n (–1) I.B.5) Déduiredes résultats précédents l’égalité : = 4-. 2n+ 1 n= 0 I.C -I.C.1) Soitaun réel strictement positif. Justifier l’existence de l’intégrale a sinnt -dt.  0sint
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MATHÉMATIQUES I
Filière PSI
Filière PSI
I.C.2) Soita ]0, [. Prouver que l’applicationftelle que 1 1 f(x)=--pourx0etf(0)= 0est de classeCsur[0,a]. xsinx sinxx -2 x On pourra écrire :f(x)=-, pourx ]0,a]. sinx -x I.C.3) Déterminer a a sinntsinnt   lim-dt-dtlorsquea ]0, [. n+t0sint   0 I.C.4) Endéduire la valeur de a sinnt lim-dtlorsquea=-, puisa<-, puisa>-.  n+0t2 2 2 n sint I.D -En utilisant les résultats précédents et l’intégrale-dt, montrer que  0t X sint la fonctionF:Xa-dtadmet-pour limite lorsquextend vers en+.  0t2 +sint On poseraI=-dt=-.  1 0t2 (n+ 1) sint I.E -En utilisantdt, montrer que l’application  -n t
sint ta-n’est pas intégrable sur]0,+[. t
Partie II -
II.A -Montrer que pour toutn2, l’application n sint   ta-est intégrable sur]0,+[. On pose :   t +n sint   I=-dt.   n 0t
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MATHÉMATIQUES I
Filière PSI
II.B -Montrer que :I=I(Ia été définie en I.D). 1 21 II.C -Montrer :limI= 0. n n+II.D -Montrer que:I>0 pourn1. (On pourra utiliser une partition judi-n cieuse de l’intervalle d’intégration).
Partie III -Pourn INetk {0, ,n– 1}, on considère les applications n g:]0,+[IRdéfinie parg(t)=(sint) n n 1(k) eth:]0,+[IRdéfinie parh=-g(t), n,k n,k n nk t (k) gdésigne la dérivée d’ordrekdeg. n n III.A -Montrer que pour toutk {0, ,n– 2},hest intégrable sur]0,+[. n,k III.B -Montrer que pourn2etk {0, ,n– 2}, la valeur de l’expression +(nk– 1)!h(t)dtne dépend pas dek.  n,k 0 X III.C -Pourn2, prouver que la fonctionG:Xah(t)dtadmet en+une  n,k 0 +limite finie, notéeh(t)dt, et que, pour toutk {0,, n– 1}:  n,k 0 ++h(t)dt=(nk– 1)!h(t)dt.   n,n– 1n,k 0 0 +1 1(n– 1) III.D -En déduire, pourn2:I=--g(t)dt.  n n (n– 1)!0t III.E - III.E.1) Établirpour toutp INet toutt IRles résultats suivants : p p2p pk pk 4(sint)=C+ 2(–1)Ccos(2kt)(1) 2p2p k= 1 p p2p+ 1k pk 4(sint)=(–1)Csin(2k+ 1)t(2) 2p+ 1 k= 0 III.E.2) Endéduire, en distinguant les casn= 2petn= 2p+ 1, une expres-sion deIdu typeq qest une somme de nombres rationnels (on pourra n nn faire intervenirIdans les calculs). 1
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Retrouver la valeur deI, puis calculerIetI. 2 34
Partie IV -
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 IV.A -Montrer, pour toutn INet toutxréel positif l’existence de l’intégrale : n +(sintx) A(x)=-dt. n2 n 0 t(1 +t)
2 + IV.B -Montrer que l’application[xaA(x)]est de classeCsurIR, et qu’elle n vérifie, pour toutn2, l’équation différentielle : 2 2n– 1 (E):yn y=n(n– 1)A(x)n xI. n n– 2n
IV.C -IV.C.1) Résoudrel’équation(E). 2 IV.C.2) Endéduire une expression deAl’aide de àI (onconsidérera les 2 2 valeurs deA(0)et(0)). 2 2 2 IV.C.3) MontrerqueA(x)=O(x)quandxtend vers+et retrouver ainsi la 2 valeur deI. 2 IV.D -ExprimerAà l’aide deAet en déduire une expression deA. 1 21 IV.E -En procédant de manière analogue à IV.C, obtenirAetI. 3 3 * IV.F -Montrer que, pour toutn IN,Apeut se mettre sous la forme : n xx A(x)=e Q(e)+R(x), n nn QetRsont des fonctions polynômes vérifiant : n n le degré deRest égal àn– 1; n le degré deQest égal àn; n Ra même parité quen– 1; n Qa même parité quen. n
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