CONCOURS COMMUN DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI ALÈS DOUAI NANTES

Sylvain Heumez

Description

Niveau: Supérieur

• redaction

CONCOURS COMMUN 2005 DES ÉCOLES DES MINES D'ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve de Mathématiques (toutes filières) Jeudi 19 mai 2005 de 14h00 à 18h00 Instructions générales: Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées 1/4, 2/4, 3/4, 4/4. Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées. Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette à code à barres correspon- dante. L'emploi d'une calculatrice est interdit PROBLÈME D'ALGÈBRE ET DE GÉOMÉTRIE Les quatre parties A, B, C, D de ce problème sont totalement indépendantes entre elles. Dans tout ce problème, on se place dans l'espace usuel muni d'un repère orthonormé direct R = ( O,??i ,??j ,??k ) . On note E l'ensemble des points de l'espace et E l'ensemble des vecteurs de l'espace. Les différentes coordonnées et équations qui apparaissent dans l'énoncé sont relatives au repère R. Si ??X = x??i + y??j + z??k , on pourra aussi noter ??X = (x, y, z) . Si ?, ? et ? sont trois réels fixés et si ??u ,??v et ??w sont trois vecteurs fixés de E, on note f l'application linéaire de E dans E définie pour tout vecteur ??X de E par f (??X ) = ? (??X · ??u ) ??v + ???X + ???X ???w A - Etude

• bn bn bn


• equation différentielle linéaire


• vecteurs ?


• plan d'équation

Sujets

• Redaction
• Équation différentielle linéaire

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Extrait

CONCOURS COMMUN 2005 DES ÉCOLES DES MINES D’ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES

Épreuve de Mathématiques (toutes filières)

Jeudi 19 mai 2005 de 14h00 à 18h00

Instructions générales:

Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend 4 pages numérotées 1/4, 2/4, 3/4, 4/4. Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction :les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées. Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l’étiquette à code à barres correspon- dante.

L’emploi d’une calculatrice est interdit

PROBLÈME D’ALGÈBRE ET DE GÉOMÉTRIE

Les quatre partiesA, B, C, Dde ce problème sont totalement indépendantes entre elles. Dans tout ce problème, on se place dans l’espace usuel muni d’un repère orthonormé direct   −→−→ −→ R=., k, jO, iOn noteEl’ensemble des points de l’espace etEl’ensemble des vecteurs de l’espace. Lesdifférentes coordonnées et équations qui apparaissent dans l’énoncé sont relatives au repèreR. −→ −→ −→ −→ −→ SiX=x i+y j+z k ,on pourra aussi noterX= (x, y, z). −→ −→−→ Siα, βetδsont trois réels fixés et sivu ,etwsont trois vecteurs fixés deE, on notef −→ l’application linéaire deEdansEdéfinie pour tout vecteurXdeEpar    −→−→−→−→ −→ −→−→ f X=α X∙u v+β X+δ X∧w

A - Etude de l’intersection de deux plans mobiles et d’un plan fixe  −→−→ −→ y=z  −→ On noteDla droite passant parOdirigée para=i+j+k , Dla droite d’équations, x= 1 Qle plan d’équationy+z= 0et enfin, pour tout réelm, P m est le plan d’équationx+my−mz= 1. −→ A - 1)Donner un vecteur normaln m deP m ainsi qu’un point et un vecteur directeur deD. Vérifier que tous les plansP m contiennent la droiteD. −→ −→−→  A - 2)Calculerr m =n m ∧a .En déduire queDn’est pas orthogonale àP m .On appelle alorsR m  l’unique plan contenantDet perpendiculaire àP m .Obtenir une équation cartésienne deR m . A - 3)Déterminer, pour tout réelm,les coordonnées dansRdeI m point d’intersection des plans P m , QetR m .   2 2 2 1 A - 4)On note(S)d’équationx+y+z=xetle point deQde coordonnées,0,0. 2 Préciser la nature géométrique de(S)ainsi que les éléments géométriques qui le caractérisent. CONCOURS COMMUN SUP 2005 DES ÉCOLES DES MINES D’ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Page 1/4 Épreuve de Mathématiques (toutes filières)

A - 5)Vérifier queI m appartient à(S)puis queI m appartient à un cercle dont on donnera le centre et le rayon.

A - 6)Déterminer l’ensembleFdes pointsMdeEpar lesquels passe un et un seul planP m . Quelle est la réunion des plansP m lorsquemdécrit IR?

B - Etude d’un exemple d’applicationf −→ −→ −→−→ −→ −→ −→ −→−→ Dans cette partieB, on prendu=v=i+j+wk ,=j+k−5i , α= 3, β=−3etδ= 1.

B - 1)Vérifier quef(x, y, z) = (4y+ 2z, d, e)où l’on exprimeradeteen fonction dex, yetz. B - 2)Déterminer une base et la dimension du noyau def. fest-il un automorphisme deE? B - 3)Obtenir le rang deEnoncer complètement le théorème du rang.f. B - 4)Montrer, dans le cas général, que siϕest une application linéaire définie sur le IR-espace −→ −→−→ vectorielGoùGest engendré par les vecteurse 1 , e 2 ete 3 ,alors l’image deϕest le IR-espace −→ −→−→ vectoriel engendré par les vecteursϕ(e 1 ), ϕ(e 2 )etϕ(e 3 ). B - 5)Déterminer une base de l’image def.      −→ −→−→  B - 6)Montrer queB=i ,f if f, iest une base deE.   Obtenir ensuite la matriceAdefdansB.   −→−→ −→  B - 7)Sachant que la matrice de passagePde la baseBà la baseB=j , ki ,est l’une des deux matrices suivantes :    16 01 0−2 1 1    P 1 = − ; 8 2 0 P 2 8 4= 0 32 16 40 3232−16 préciser, en argumentant votre choix, laquelle estP.  Donner le lien matriciel reliantA=M B (f)àA=M B (f). 

C - Etude d’un deuxième exemple −→−→ −→ −→−→ Dans cette partieC, on prendu=v=i+j+αk ,=−3, β= 5etδ= 0.   2−3−3   −→−→ −→   On admet qu’ alorsM= −3 2−3 est la matrice defdans la baseB=.j , ki , −3−3 2   1 0 0 0   On rappelle que, par convention, on noteM=1 0= 0I 3 . 0 0 1

C - 1)Prouver, par récurrence surn,que pour tout entier natureln, on peut trouver deux réels (qu’on noteraa n etb n ) tels que   a n b n b n n   M=b n a n b n b b a n n n

On obtiendra ainsi les relations définissanta n+1 etb n+1 en fonction dea n et deb n .

C - 2)En utilisant les relations précédemment trouvées, vérifier que∀n∈IN, b n+2 −b n+1 −20b n = 0.

C - 3)En déduire la valeur deb n puis celle dea n en fonction den.

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2 C - 4)Vérifier queMest combinaison linéaire deMet de la matriceI 3 . −1 En déduire queMest inversible et expliciter les coefficients de la matriceM .

D - Etude d’un troisième cas Dans cette partieD, on prendβ=δ= 0.On renomme alorsgl’applicationfde l’introduction, soit    −→ −→−→ −→−→ ∀X∈XE, g=α X∙u v

−→−→ oùuetvsont deux vecteurs non nuls fixés deEet oùαest un réel non nul.

−→−→ D - 1)Vérifier que siα(u∙v) = 1, alorsgest un projecteur. −→−→ Démontrer ensuite que sigest un projecteur, alorsα(u∙v) = 1.   −→−→ −→−→−→−→ D - 2)On suppose queα(u∙v) = 1.On noteF 1 =X∈uE /∙X= 0etF 2 ={λ v /λ∈IR}. −→−→−→−→ Vérifier queF 1 etF 2 sont supplémentaires dansE(l’écriturex= (x−g(x)) +g(x)pourra être utile). Sur quel espace vectoriel parallèlement à quel autregest-elle alors la projection ?   −→−→ −→ D - 3)A l’aide des deux questions précédentes, trouver la matriceΠ B dans la baseB=j , ki ,   −→ de la projectionpsurP=X= (x, y, z)∈E/x+y+z= 0parallèlement à la droiteD −→ −→ −→ engendrée parj+k−5i .

PROBLÈME D’ ANALYSE

x A - Etude de la fonctionftelle quef(x) = 0six= 0etf(x) =sinon ln (x)

A - 1)Obtenir l’ensemble de définitionDdef.

A - 2)fest-elle dérivable en0 ?

1 A - 3)Justifier quefest de classeCsur1[[0 ;.

A - 4)Dresser le tableau de variations def. On y fera apparaître les différentes limites et la valeur def(e).

v n B - Etude de la suitevtelle quev 0 = 3et∀n∈IN, v n+1 = ln (v n )

B - 1)Montrer que∀n∈IN, v n ≥e. B - 2)Justifier que la suitevconverge et déterminer sa limite. 1  B - 3)Montrer que∀x≥e,0≤f(x)≤. 4 B - 4)Enoncer l’inégalité des accroissements finis. 1 B - 5)Montrer que∀n∈IN,|v n −e| ≤. n 4 5 B - 6)Sachant que4>1000,déterminer un entiern 1 à partir duquelv n est une valeur approchée −12 deeà10près. CONCOURS COMMUN SUP 2005 DES ÉCOLES DES MINES D’ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Page 3/4 Épreuve de Mathématiques (toutes filières)

2 x−1 C - Etude de la fonctiongtelle queg(x) = xln (x)

2 2 1 +x1−x  C - 1)On admet que, surD\ {0}, g(x) =h(x)avech(x() = lnx) +. 2 2 2 xln (x +) 1x Etudier les variations deg.

C - 2)Déterminer la limite degen1.

C - 3)Déterminer la position relative de la courbe représentative degpar rapport à celle def. Déterminer l’aire du domaine plan délimité par les courbes représentatives defet degainsi que par les droites d’équationx= 2etx=e.

D - Tracé d’une courbe paramétrée  x(t) =f(t) On considère(Γ)la courbe donnée par le paramétrage y(t) =g(t)

pourtdécrivantD\ {0}.

D - 1)Déterminer les asymptotes de(Γ)ainsi que la position relative de(Γ)par rapport à celles-ci.

D - 2)Tracer la courbe(Γ)en précisant la tangente au point de paramètret=e.

E - Solutions d’une équation différentielle 22 On note(E 1 )l’équation différentielle−x z(x) +xz(x) =z(x). On recherche les fonctionszsolutions de(E 1 )surK+= ]1 ;∞[et qui ne s’annulent pas surK. 1 E - 1)On posey=.Vérifier queyest solution surKd’une équation différentielle linéaire du z premier ordre(E). 2 ln (ax) E - 2)Résoudre(E 2 )surK.On vérifiera ensuite que ces solutions sont de la formeg a :x−→. x x Vérifier que, poura >1, g a ne s’annule pas surK.On a donc ainsiz(x) =. ln (ax) x E - 3)Poura >0,on note(C a )la courbe représentative de la fonctionf a :x−→. ln (ax) Montrer que(C a )est l’image de(C 1 )par une homothétie de centre0dont on précisera le rapport.

F - Etude d’une fonction définie à l’aide d’une intégrale  x 1 On poseH(x) =f(t)dt. x 0 F - 1)Déterminer l’ensemble de définitionJdeH. F - 2)Etudier la limite deHen0. F - 3)Justifier qu’il existe un réeladans]0 ;1]tel que 3 1 ∀x∈[a; 1[,(x−1)≤ln (x)≤(x−1) 2 2 En déduire la limite deHà gauche en1.

FIN DU SUJET CONCOURS COMMUN SUP 2005 DES ÉCOLES DES MINES D’ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve de Mathématiques (toutes filières)

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