Connexions et variétés kählériennes

Thibaut Delcroix

Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+5
Connexions et variétés kählériennes Thibaut Delcroix 10 janvier 2011 Définitions Soit X une variété différentiable de dimension 2n. Définition 1. On dit que X est munie d'une structure complexe si l'on dispose d'un recouvrement de X par des ouverts Ui difféomorphes à des ouverts de Cn par des applications notées ?i, telles que les difféomorphismes de transition ?j ? ??1i : ?i(Ui ? Uj) ? ?j(Ui ? Uj) soient holomorphes. Soit X une variété complexe, et ?i : Ui ? Cn des cartes locales holomorphes. Le fibré tangent s'identifie à Ui ? Cn. De plus, les morphismes de changement de cartes ?j ? ??1i sont par hypothèse holomorphes, c'est à dire à différentielle C-linéaire, pour les identifications naturelles : TCn,x ?= Cn,?x ? Cn Il en résulte que les opérateurs R-linéaires Ii : TUi,R ? TUi,R s'identifiant à 1 ? i agissant sur Ui ? Cn se recollent sur Ui ? Uj et définissent un endomorphisme global noté I du fibré TX,R. L'endomorphisme I satisfait l'identité I2 = ?1 et donc I définit sur chaque fibre TX,x une structure de C- espace vectoriel de rang n. Le caractère différentiable de I montre même que TX est muni d'une structure de fibré vectoriel complexe.

• connexions de levi-civita et de chern coïncident pour la métrique hermitienne


• définition de la connexion de levi-civita


• nulle dans la trivialisation naturelle du fibré tangent de cn


• unique connexion


• métrique hermitienne


• connexion de chern


• morphismes de changement de cartes ?j ?


• fibré tangent

Sujets

• Fibré tangent

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• Publié par: rasum
• Publié le: 01 janvier 2011
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• Langue: Français

Extrait

Connexions et variétés kählériennes

Thibaut Delcroix

10 janvier 2011

Définitions SoitXune variété différentiable de dimension2n. Définition 1.On dit queXest munie d’une structure complexe si l’on dispose n d’un recouvrement deXpar des ouvertsU i difféomorphes à des ouverts deC par des applications notéesφ i , telles que les difféomorphismes de transition −1 φ:φ(U∩U)→φ(U∩U) j ◦φ i ji ijj i soient holomorphes.

n SoitXune variété complexe, etφ i :U i →Cdes cartes locales holomorphes. n Le fibré tangent s’identifie àU i ×C. De plus, les morphismes de changement −1 de cartesφ j ◦φsont par hypothèse holomorphes, c’est à dire à différentielle i Clinéaire, pour les identifications naturelles :

∼ n n T C,x = C,∀x∈C n

Il en résulte que les opérateursRlinéaires

I i :T U i ,R →T U i ,R

n s’identifiant à1×iagissant surU i ×Cse recollent surU i ∩U j et définissent un endomorphisme global notéIdu fibréT X,R . L’endomorphismeIsatisfait 2 l’identitéI=−1et doncIdéfinit sur chaque fibreT X,x une structure deC espace vectoriel de rangn. Le caractère différentiable deImontre même que T X est muni d’une structure de fibré vectoriel complexe. D’autre part, si on noteT X,C =T X ⊗C, on a une décomposition en somme directe 1,0 0,1 T X,C =T⊕T X X

1,0 oùTest défini comme l’ensemble des vecteurs tangents complexifiés qui sont X 0,1 vecteurs propres deIassociés à la valeur proprei, etTest défini comme le X 1,0 conjugué complexe deTou l’ensemble des vecteurs tangents complexifiés qui X sont vecteurs propres deIassociés à la valeur propre−i. Cette décomposition induit une décomposition duale :

1,0 0,1 Ω X,C = Ω⊕Ω X X

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oùΩ X,C est le fibré des 1formes différentielles complexes, et de même pour les formes d’ordre supérieur : X k p,q ∧Ω X,C = Ω X p+q=k Ceci permet aussi de définir les opérateurs∂et∂: pourαune forme différentielle de type(p, q)surX, on définit∂αcomme la composante de type(p+ 1, q)de dα, alors que∂αest sa composante de type(p, q+ 1). Une métrique hermitienne sur une variété complexeXest la donnée d’une métrique hermitienneh x sur chaque espace tangentT X,x muni de la structure d’espace vectoriel complexe naturelle, qu’on a notéI x . On dit quehest différen tiable si dans des coordonnées locales réellesx 1 , . . . , x 2n pourX, les fonctions ∂ ∂ x7→h x (,) ∂x i ∂x j sont différentiables. À une telle métriqueh, on peut associer une 2forme de type (1,1) réelle 1,1 2 ω:=−Imh∈Ω∩Ω X X,R appelée la forme de Kähler de la métriqueh. Définition 2.On dit que la métrique hermitiennehest kählérienne si la 2forme ωest fermée.

Connexions de LeviCivita et de Chern Commençons par rappeller une définition de la connexion de LeviCivita : Proposition 3.Si(M, g)est une variété riemanienne, il existe une unique connexion ∞1 ∇:C(T M )→A(T M ) sur le fibré tangent réelT M satisfaisant les propriétés : –∇est compatible avecg, c’est à dire pour tousχ, ψchamps de vecteurs surM, on a d(g(χ, ψ)) =g(χ,∇ψ) +g(∇χ, ψ) –∇est sans torsion, c’est à dire pour tousχ, ψchamps de vecteurs surM, on a ∇ χ ψ− ∇ ψ χ= [χ, ψ] Considérons maintenantXune variété complexe, munie d’une métrique her mitienneh. Une connexion complexe∇surT X considéré comme fibré complexe est dite compatible avechsi pourσ, τdeux sections deT X , on a d(h(σ, τ)) =h(∇σ, τ) +h(σ,∇τ) Proposition 4.Il existe surT X une unique connexion∇qui satisfait les pro priétés suivantes : –∇est compatible avech.

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0,1 –∇=∂, où l’opérateur 0,1∞0,1 ∇:C(T X )→A(T X ) 1 0,1 est obtenu en composant∇avec la projectionA(T X )→A(T X ). Cette connexion est appellée connexion de Chern de la variété complexeX (associée à la métrique hermitienneh). Démonstration.Pourσ, τdeux sections deT X , on a d(h(σ, τ)) =h(∇σ, τ) +h(σ,∇τ) 1,0 ce qui devient, en prenant la partie de type (1,0) et en notant∇la partie de type (1,0) de∇, 1,0 ∂(h(σ, τ)) =h(∇σ, τ) +h(σ, ∂τ) 0,1 1,0 puisque∇=∂. Commehest non dégénérée, la matrice de∇dans une base holomorphe localeσ 1 , . . . , σ k deT X est déterminée par cette équation, qui devient 1,0 h(∇σ i , σ j ) =∂(h(σ i , σ j ))

Métriques kählériennes et connexions SoitXune variété complexe,T X son fibré tangent, ethune métrique hermi tienne surX. La métrique hermitiennehdétermine une métrique riemanienne g:= Re(h)surX. On dispose des deux connexions surT X qu’on a construit cidessus : la connexion de LeviCivita∇du fibré réel(T X , g)et la connexion de Chern∇ C du fibré complexe(T X , h). Cela permet une caractérisation des variétés kählériennes : Théorème 5.Les propriétés suivantes sont équivalentes : 1. Lamétriquehest kählérienne. 2. L’endomorphismeIde structure complexe satisfait : 0 ∇(Iχ) =I∇χ,∀χ∈A(T X ) 3. Laconnexion de Chern et la connexion de LeviCivita coïncident. Démonstration.L’implication 3⇒2 est évidente puisque la connexion de Chern est une connexion complexe, doncClinéaire. Pour 2⇒1, on a la relation g(u, v) =ω(u, Iv) entre la métrique riemannienne et la forme de Kählerω. Or, par définition de la connexion de LeviCivita, d(g(χ, ψ)) =g(∇χ, ψ) +g(χ,∇ψ) mais puisque∇commute avecI, cela équivaut à : d(ω(χ, ψ)) =ω(∇χ, ψ) +ω(χ,∇ψ)

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Cela signifie que, pour trois champs de vecteursφ,χ,ψ, on a φ(ω(χ, ψ)) =ω(∇ φ χ, ψ) +ω(χ,∇ φ ψ) Ceci permet de montrer queωest fermée, et donc quehest kählérienne : dω(φ, χ, ψ) =φ(ω(χ, ψ))−χ(ω(φ, ψ)) +ψ(ω(φ, χ)) −ω([φ, χ], ψ) +ω(φ,[χ, ψ]) +ω([φ, ψ], χ) On remplace dans cette formule les crochets[χ, ψ]par∇ χ φ− ∇ φ χpuisque la connexion de LeviCivita est sans torsion, et on fait les simplifications grace à la formule précédente, pour obtenirdω= 0. Enfin, 1⇒3 se montre en notant que les connexions de LeviCivita et de n Chern coïncident pour la métrique hermitienne à coefficients constants surC. En effet, dans les deux cas, on obtient l’unique connexion qui annule les champs de vecteurs à coefficients constants, c’est à dire dont la matrice de connexion n est nulle dans la trivialisation naturelle du fibré tangent deC. D’autre part, on note que les matrices des deux connexions en un point, ne dépendent que des matrices des métriques au premier ordre au voisinage de ce point. On utilise alors le lemme suivant : Lemme 6.SoitXune variété complexe de dimensionn, et soithune métrique kählérienne surX. Alors au voisinage de chaque pointxdeX, il existe des coordonnées holomorphesz 1 , . . . , z n centrées enxtelles que la matrice h ij =h(∂/∂z i , ∂/∂z j ) P 2 dehdans ces coordonnées soit égale àI n +O(|z i |). i Une métrique kählérienne est donc au premier ordre au voisinage de chaque point isomorphe à une métrique constante. Donc les matrices de ses connexions de LeviCivita et de Chern coïncident en chaque point comme pour une métrique à coefficients constants, ce qui conclut la preuve de l’implication 1⇒3.

Démonstration.(du lemme) Prenons des coordonnées holomorphesz 1 , . . . , z n centrées enx. On peut, quitte à faire un changement linéaire de coordonées, supposer que la matrice dehdans la base∂/∂z i est égale àI n au pointxoù les coordonnées s’annulent. On a donc X X 2 h=dz i dz i +ǫ ij dz i dz j +O(|z|) i i,j

où la matriceǫ ij est une matrice hermitienne dont les coefficients sont des formes hol anti linéaires en lesz,z.+ǫpo i i En notantǫ ij =ǫ ij ij ur la décomposition deǫ ij anti hol en partiesClinéaire et antilinéaire, on remarque qu’on aǫ=ǫpuisque ij ji ǫ ij est hermitienne. La formeωs’écrit au premier ordre au voisinage dex: X XX i hol anti2 ω= (dz dz∧dz) +O(|z|) i ∧dz i +ǫ ij dz i ∧dz j +ǫ jij i 2 i i,ji,j

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P hol dz∧d Le fait queωsoit fermée au pointxentraîne que la formeǫ ij i z j est i,j ∂fermée au pointx, et donc en fait partout puisque c’est une forme à coefficients linéaires. On a donc hol hol ∂ǫ ∂ǫ ij kj = ∂z k ∂z i Cela entraîne qu’il existe des fonctions holomorphesφ j (z 1 , . . . , z n ), que l’on peut ∂φ j hol supposer nulles en0, telles queǫ=. ij ∂z i ′ ′ Posonsz=z i +φ i (z). Commeφ i est nulle à l’ordre 1 en 0, leszfournissent, i i quitte à restreindre le voisinage considéré, des coordonnées centrées enx. Il reste à voir que la métriquehest constante au premier ordre dans ces coordonnées. Or on a X X ∂φ i ′hol =dz+ǫ d dz=dz i +dz ki k i z k i ∂z k k k Il vient donc X XX ′ ′hol hol2 dz∧dz=dz i ∧dz i + (ǫ dz k ∧dz i +ǫ dz i ∧dz k ) +O(|z|) i iki ki i i i,k X X hol anti2 =dz∧dz+ (ǫ d i i ki dz k ∧dz i +ǫ ik z i ∧dz k ) +O(|z|) i i,k X X 2 =dz i ∧dz i +ǫ ki dz k ∧dz i +O(|z|) i i,k

2 2 Or ceci est égal àω+O(|z|). On a donc i X i ′ ′′2 ω=dz∧dz+O(|z|) i i 2 i et la formule analogue pourh.

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