Cours d'integration pour la troisieme annee de la licence de Mathematiques

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Cours d'integration pour la troisieme annee de la licence de Mathematiques Notes basees sur les cours de C. Anantharaman, R. Abraham et A. Batakis Departement de Mathematiques de l'Universite d'Orleans

  • integrale de lebesgue

  • theoreme de fubini

  • transformee de fourier

  • espace mesurable

  • integrale

  • integrales dependant

  • departement de mathematiques de l'universite d'orleans


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Ccugh(`iae)igaiica dcugCaigceihMieaaehieuea(eCiCaaeMe(e1iaiaMe
Notes baeses sur les cours de C. Anantharaman, R. Abraham et
Departement de Mathematiques de l’Universiet d’Orelans
A.
Batakis
..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
IARfSbaQN]RagNhiQR[NgURbeiR )AiaRgTeN[RQRHiR]Naa 1.1 Sommes de Darboux 111 Subdivisions . . . . . . . . 112 Sommes de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113Inetgralesinefrieuresetsueprieuresdunefonction 12 Classes de fonctions inetgrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 Propreiets de l’inetgrale de Riemann 1 31 Relation de Chasles . . . . . 1 1.3....e......itivitos2P 14 Sommes de Riemann . . . 15 Primitive . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Limites et inetgrales . . . . 161 Suites de fonctions . . . . . . . . . . . . 16.e`rtenpuamarndpetdanelaredsnI2get . ,AiaRgTeN[RQRARORfThR 21 Tribus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. (positive) sur un espace mesurable2 Mesure 221De nitionsetexemples........... 222 Propreiets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223Untehore`medeclassemonotone 2.2. . . . . . . . . . . negligeables4 Ensembles 2.3Fonctionsmesurables................ 3 enitions . 2 1 D  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Oeprationssurlesfonctionsmesurables 2 233Fonctionsetaeges................... 2.3. . . . .4 Espace des fonctions mesurables . 2.4Inetgraleparrapporta`unemesure........ 241Inetgraledunefonctionetaegepositive..... 242Inetgrale d’une fonction mesurable positive 243 L’espace des fonctions inetgrables . . . . . . 2.4.4 Liens avec l’inetgrale de Riemann . . 2.5Theor`emesdeconvergence.............. 251 Lemme de Fatou . . . . . . . . . . . . . . 252Tehore`medeconvergencedominee.. 2.5.erapar`mtenepedsenudtnad3Ialgrent
-.
))
LNO[RQRf]NRgieRf
4 4 . 4 5 . . . . . . . . . 6 . . 7 . . 7 8 . . 8 9 . 9 . . . 9 10 . . . . . . . 12 . . . . . . . . 3 1 1 3 . . 14 14 . . . . . . . . . . 15 15 . . 15 . . . . . . . . 16 16 . . . . . 17 . . 17 . . 17 . . . . . 18 . . . 9 1 1 . . 9 20 20 . 20 20
1
...................................
IILRUbeiRQR[N]RfheRNccebSbaQiRRg5cc[iPNgibaf,, -AiaRgTeN[RQRARORfThRRac[hfiRhefvNeiNO[RfRg[RfRfcNPRfLp(Rn),-C 3.1Inetgralesmultiples..................................23 311De nitions................................... 2 3 3heor`emedeFini.............................24 12 T ub 3.1.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  25 de variables3 Changement 32Introductionauxmesurescomplexesetsigenes................... 25 3.3 Dual deC(K),K 26. . . . . . . . . . . .compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 EspacesLp, 1p < 26. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 e nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 41 D s . . . . . . . . . . . . . . . 342 Les espacesLp(µ) entant qu’espaces de Banach . . . . . . . . . . . . . . 27 K 343 Quelques ersultats de densiet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.4.4 Dualiet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 .ARfSbaQN]RagNhiQR[NaN[yfRQRFbheiRe,4 4.1 Produit de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 411 Convolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 4.1............................ees....sapprochetinU2 3 0 4.2 La transformation de Fourier dans les espacesLp(Rn) . . 0 3 . . . . . . . . . . . . . C 421LatransformeedeFourierdunefonctionetsespropreiets.......0 3  . 422LatransformationdeFourierentantquoeprateursurL1(Rn . . . . . 31) . . . C 4.2.3LoeprateurdeFourierentantquisomorphismedeL2(Rn 31 . . . . . . .) . C 4.3TransformeedeFourierdunemesure nie..................... 3 2 0IagebQhPgibaNhicebONOi[iRgf--5.1Variablesaelatoires.................................. 33 511 ariables aelatoires erelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5.1.2Variables aela`seriotdsruelavsanaRn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 5.2Independenceetconditionnement..........................34 521 Probabiliets conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . 3 s . . . . . . . . . 5 5.2. 62 Independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5Theore`mesdeconvergence..............................36 . 3 2