Cours de troisieme annee de licence

Cédric Milliet

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3

• cours - matière potentielle : troisieme annee de licence


• cours - matière potentielle : analyse complexe


• cours - matière potentielle : mathematiques speciales

Analyse complexe Cedric Milliet Version preliminaire Cours de troisieme annee de licence Universite Galatasaray Annee 2011-2012 Ce cours doit beaucoup au chapitre Series entieres d'un cours de mathematiques speciales de Marc Audran, ainsi qu'au cours d'analyse complexe de Michele Audin.

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• rayon de convergence


• version preliminaire

Sujets

• Licence (France)
• Analyse complexe
• Mathématiques spéciales
• Audran
• Série entière
• Rayon de convergence

Informations

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• Langue: Français

Extrait

Analyse complexe
Cedric Milliet
Version preliminaire
Cours de troisieme annee de licence
Universite Galatasaray
Annee 2011-2012
Ce cours doit beaucoup au chapitre Series entieres d’un cours de mathematiques speciales de Marc Audran,
ainsi qu’au cours d’analyse complexe de Michele Audin.L’analyse reelle, c’est l’etude des fonctions de R dans R, et surtout des fonctions regulieres : continues,
1 1derivables, de classeC ,C etc. En analyse complexe, nous allons etudier les deC dansC, continues,
mais surtout derivables. Pour une fonction deC dansC, on emploie le terme \holomorphe" plut^ ot que derivable,
et on verra qu’une fonction holomorphe, ie derivable une fois au sens complexe, est in niment derivable. Nous
demontrerons plus precisement le theoreme suivant : une fonction f est \holomorphe en un point z " (c’est- a-0
f(z) f(z )0
dire que la limite lim existe dansC) si et seulement si f est developpable en serie entiere autour
z!z0 z z0
+1
nde ce point (c’est- a-dire s’il existe un voisinage de z sur lequel l’egalite f(z) = a (z z ) soit veri ee).0 n 0
n=0
Ces theoremes font intervenir des notions topologiques, et des resultats sur les series numeriques et series de
fonctions. Commen cons donc par des rappels de topologie et d’analyse.
Rappels de topologie et d’analyse
1. Notions de topologie generale sur C
Muni du modulej:j, le corpsC est unR-espace vectoriel norme de dimension deux. Le module d’unp
2 2nombre complexe a +ib estja +ibj = a +b .
SurC, toutes les normes sont equivalentes.
C est complet : toute suite de Cauchy a valeurs complexes est convergente.
Boule ouverte de centre z et de rayon r :0
B(z ;r) =fz2C :jz zj<rg0 0
On dit souvent aussi \disque ouvert" de centre z et de rayon r, que l’on note D(z ;r).0 0
Boule fermee de centre z et de rayon r :0
B(z ;r) =fz2C :jz zjrg0 0
Les ouverts deC sont les reunions de boules ouvertes. Par exemple,
le quadrantfz2C : Re(z)> 0 et Im(z)> 0g
la couronnefz2C : 1<jzj< 2g.
Les fermes deC sont les complementaires des ouverts.
Adherence/interieur d’une partie A deC :
A est l’intersection de tous les fermes deC contenant A.
A est la reunion de tous les ouverts deC inclus dans A.
Les parties compactes deC : ce sont les fermes bornes deC.
2. Series a valeurs dans C
n
La serie de terme general (u ) : c’est la suite (S ) avec S = u . La serie de termen n0 n n0 n kk=0
+1
general (u ) est convergente si la suite (S ) est convergente. Dans ce cas, on note u sa limiten n0 n n0 nn=0
(attention : ca n’est qu’une notation !).
La serie de terme general (u ) est absolument convergente si la serie de terme general (ju j)n n0 n n0
est convergente.
Theoreme 1 (echange )
Soit (u ) une famille de complexes indicee parNN. Sip;q p0;q0
1. Pour tout entier p, la serie de terme general (u ) est absolument convergente, etp;q q0
+1
2. la serie de terme general ( ju j) est absolument convergente,p;q p0q=0
+1 +1
Alors les series de terme ( u ) , ( u ) , et ( u ) sont absolument convergentesp;q p0 p;q q0 p;q n0q=0 p=0 p+q=n
et on a
+1 +1 +1 +1 +1
( u ) = ( u ) = ( u )p;q p;q p;q
p=0 q=0 q=0 p=0 q=0 p+q=n
Corollaire 2
Soient deux series a termes complexes de terme general (u ) et (v ) et absolument convergentes.n n0 n n0
1
XXPPPXXXPPXPXPPAlors la serie de terme general w = u v est absolument convergente etn p qp+q=n
+1 +1 +1
w = ( u )( v )n p q
n=0 p=0 q=0
3. Series de fonctions de C dans C
Soit (f ) une suite de fonctions de C dans C, S une fonction de C dans C et A une partie de C. Onn n0
n
appelle serie de fonctions (f ) la suite de fonctions (S ) ou S = f (z).n n0 n n0 n kk=0
De nition 3 ( convergence simple, uniforme, normale d’une serie de fonctions sur A)
On dit que la serie de fonctions (f ) converge vers Sn n0
{ simplement sur A si (8z2A)jS (z) S(z)j ! 0n
n!+1
{ uniformement sur A si sup jS (z) S(z)j ! 0nz2A n!+1
{ normalement sur A si sup jf (z)j est le terme general d’une serie convergente.nz2A
Nota bene. La convergence normale sur A implique la convergence uniforme sur A, qui elle m^eme implique la
convergence simple sur A.
Theoreme 4 (echange lim )
Soit (f ) une serie de fonctions deC dansC, A une partie deC et a un point adherent a A. Sin n0
1. la serie (f ) converge normalement sur A, etn n0
2. pour tout entier n, la limite lim f (z) existe et vaut ‘ ,z!a n n
alors la serie l est convergente etn
+1 +1 +1
lim( f (z)) = (limf (z)) = ‘n n n
z!a z!a
n=0 n=0 n=0
Pour les series de fonctions deR dansR :
b
Theoreme 5 (echange )a
Soit (f ) une serie de fonctions deR dansR, continues sur [a;b], et qui converge uniformement sur [a;b].n n0
Alors
+1 +1 +1b b
( f (x))dx = ( f (x)dx) = ‘n n n
a an=0 n=0 n=0
2
XXXXXPPXXPRXPXZZChapitre 1
Series entieres et fonctions analytiques
1.1 Rappels sur les series entieres
1.1.1 De nitions
De nition 6 ( serie entiere)
n nOn appelle serie entiere (a z ) la serie de fonction (a z ) ou (a ) est une suite de complexes.n n0 n n0 n n0
De nition 7 ( rayon de convergence)
nOn appelle rayon de convergence de la serie entiere (a z ) la quantiten n0
n = supfr2 [0; +1[ : la serie entiere (ja jr ) convergegn n0
Nota bene. est le sup d’une partie non vide deR, reel si cette partie est majoree, egal a +1 sinon.
1.1.2 Proprietes
Lemme 8 (Lemme d’Abel)
Soient deux reels r > 0 et M > 0 tels que0
n(8n2N) ja jr Mn 0
nAlors, pour tout r<r , la serie (a z ) converge normalement sur B(0;r).0 n n0
Proposition 9
nSoit une serie entiere (a z ) de rayon de convergence .n n0
n1. pour tout r<, la serie (a z ) converge normalement sur le disque B(0;r).n n0
n2. la serie (a z ) diverge pour tout z2= B(0;).n n0
Nota bene. 1. Attention au bord...
n2. Sija =a j ! ‘, le rayon de convergence de (a z ) est 1=‘.n+1 n n n0
n!+1
n n3. Soient deux series (a z ) et (b z ) de rayon de convergence et . Sija jjb j, alors .n n0 n n0 1 2 n n 2 1
Proposition 10 (somme et produit de series entieres)
n nSoient (a z ) et (b z ) deux series entieres de rayon de convergence respectif et . Soit s =n n0 n n0 1 2 n
n na +b et p = a b . Alors les series entieres (s z ) et (p z ) ont un rayon de convergencen n n p q n n0 n n0p+q=n
au moins egal a minf ;g et pour toutjzj< minf ;g on a :1 2 1 2
+1 +1 +1
n n na z + b z = s zn n n
n=0 n=0 n=0
+1 +1 +1
n n n
( a z )( b z ) = p zn n n
n=0 n=0 n=0
3
XXXXPXX1.2 Fonctions analytiques
1.2.1 De nitions
De nition 11 ( fonction analytique)
Soit z dans C. Soit U un voisinage de z et f une fonction de U dans C. On dit que f est analytique0 0
en z si f est developpable en serie entiere au voisiange de z , i.e. s’il existe un r > 0 et une serie entiere0 0
n(a z ) de rayon de convergence r telle quen n0
+1
n(8z2B(z ;r)) f(z) = a (z z )0 n 0
n=0
On dit que f est analytique sur U si elle est analytique en tout point de U.
Exemple. 1. un polyn^ omeP deC[X] est analytique en 0, et m^eme en tout pointz deC : d’apres la formule0
de Taylor,
n n
k (k) k
si P (z) = a z alors P (z) = P (z )(z z )k 0 0
k=0 k=0
z2. e est analytique en 0. La somme d’une serie entiere de rayon de convergence > 0 est analytique en 0.
Nous verrons qu’elle est analytique sur l’interieur de son disque de convergence.
Proposition 12
L’ensemble des fonctions analytiques sur l’ouvert U est une algebre surC.
Notation. On la noteO(U).
1.2.2 Proprietes
Proposition 13 (Principe des zeros isoles, version serie entiere)
nSoit (a z ) une serie entiere de rayon de convergence > 0 et de somme f(z). Si au moins un desn n0
coe cients a est nul, il existe un r> 0 tel que f ne s’annule pas sur B(0;r)nf0g.n
Corollaire 14
Une fonction analytique sur un ouvertU a un unique developpement en serie entiere au voisinage de chaque
point de U.
Rappels de topologie
Proposition-de nition 15 ( connexe)
Soit un espace topologique X. On dit que X est connexe si de maniere equivalente
1. X n’est pas reunion de deux ouverts non vides disjoints.
2. X n’est pas reunion de deux fermes non vides disjoints.
3. les seules parties a la fois fermees et ouvertes de X sont; et X.
Exemples. 1. dansR, les parties connexes sont les intervalles. Une reunion de deux intervalles disjoints n’est
pas connexe.
2. dans unR-espace vectoriel, une partie convexe est connexe.
3. unR-espace vectoriel norme est connexe.
4. une boule d’unR-espace vectoriel norme est connexe.
Nota bene. ^etre connexe, c’est ^etre "en un seul morceau".
De nition 16 ( point d’accumulation)
Soit A une partie de C et a un nombre complexe. On dit que a est un point d’accumulation de A si le
singletonfag n’est pas un ouvert de A[fag (pour la topologie induite).
1 Exemple. 0 est un point d’accumultaion de l’ensemblef :n2Ng.
n
4
XXXProposition 17 (Principe du prolongement analytique)
U est un ouvert connexe deC, f et g deux fonctions analytiques sur U, A une partie de U et a un nombre
complexe dans U. Si a est un point d’accumulation de A et si f et g co ncident sur A, alors elles co ncident
sur U.
Nota bene. En particulier, si f est analytique et nulle sur un segment (ou une courbe, ou un ouvert) non vide
de U, alors f s’annule sur U tout entier.
Nota bene. Si V U sont deux ouverts non vides avec U connexe et si f est analytique su