Cours de troisieme annee de licence
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3

  • cours - matière potentielle : troisieme annee de licence

  • cours - matière potentielle : analyse complexe

  • cours - matière potentielle : mathematiques speciales


Analyse complexe Cedric Milliet Version preliminaire Cours de troisieme annee de licence Universite Galatasaray Annee 2011-2012 Ce cours doit beaucoup au chapitre Series entieres d'un cours de mathematiques speciales de Marc Audran, ainsi qu'au cours d'analyse complexe de Michele Audin.

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  • rappels de topologie

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Langue Français

Exrait

Analyse complexe
Cedric Milliet
Version preliminaire
Cours de troisieme annee de licence
Universite Galatasaray
Annee 2011-2012
Ce cours doit beaucoup au chapitre Series entieres d’un cours de mathematiques speciales de Marc Audran,
ainsi qu’au cours d’analyse complexe de Michele Audin.L’analyse reelle, c’est l’etude des fonctions de R dans R, et surtout des fonctions regulieres : continues,
1 1derivables, de classeC ,C etc. En analyse complexe, nous allons etudier les deC dansC, continues,
mais surtout derivables. Pour une fonction deC dansC, on emploie le terme \holomorphe" plut^ ot que derivable,
et on verra qu’une fonction holomorphe, ie derivable une fois au sens complexe, est in niment derivable. Nous
demontrerons plus precisement le theoreme suivant : une fonction f est \holomorphe en un point z " (c’est- a-0
f(z) f(z )0
dire que la limite lim existe dansC) si et seulement si f est developpable en serie entiere autour
z!z0 z z0
+1
nde ce point (c’est- a-dire s’il existe un voisinage de z sur lequel l’egalite f(z) = a (z z ) soit veri ee).0 n 0
n=0
Ces theoremes font intervenir des notions topologiques, et des resultats sur les series numeriques et series de
fonctions. Commen cons donc par des rappels de topologie et d’analyse.
Rappels de topologie et d’analyse
1. Notions de topologie generale sur C
Muni du modulej:j, le corpsC est unR-espace vectoriel norme de dimension deux. Le module d’unp
2 2nombre complexe a +ib estja +ibj = a +b .
SurC, toutes les normes sont equivalentes.
C est complet : toute suite de Cauchy a valeurs complexes est convergente.
Boule ouverte de centre z et de rayon r :0
B(z ;r) =fz2C :jz zj<rg0 0
On dit souvent aussi \disque ouvert" de centre z et de rayon r, que l’on note D(z ;r).0 0
Boule fermee de centre z et de rayon r :0
B(z ;r) =fz2C :jz zjrg0 0
Les ouverts deC sont les reunions de boules ouvertes. Par exemple,
le quadrantfz2C : Re(z)> 0 et Im(z)> 0g
la couronnefz2C : 1<jzj< 2g.
Les fermes deC sont les complementaires des ouverts.
Adherence/interieur d’une partie A deC :
A est l’intersection de tous les fermes deC contenant A.
A est la reunion de tous les ouverts deC inclus dans A.
Les parties compactes deC : ce sont les fermes bornes deC.
2. Series a valeurs dans C
n
La serie de terme general (u ) : c’est la suite (S ) avec S = u . La serie de termen n0 n n0 n kk=0
+1
general (u ) est convergente si la suite (S ) est convergente. Dans ce cas, on note u sa limiten n0 n n0 nn=0
(attention : ca n’est qu’une notation !).
La serie de terme general (u ) est absolument convergente si la serie de terme general (ju j)n n0 n n0
est convergente.
Theoreme 1 (echange )
Soit (u ) une famille de complexes indicee parNN. Sip;q p0;q0
1. Pour tout entier p, la serie de terme general (u ) est absolument convergente, etp;q q0
+1
2. la serie de terme general ( ju j) est absolument convergente,p;q p0q=0
+1 +1
Alors les series de terme ( u ) , ( u ) , et ( u ) sont absolument convergentesp;q p0 p;q q0 p;q n0q=0 p=0 p+q=n
et on a
+1 +1 +1 +1 +1
( u ) = ( u ) = ( u )p;q p;q p;q
p=0 q=0 q=0 p=0 q=0 p+q=n
Corollaire 2
Soient deux series a termes complexes de terme general (u ) et (v ) et absolument convergentes.n n0 n n0
1
XXPPPXXXPPXPXPPAlors la serie de terme general w = u v est absolument convergente etn p qp+q=n
+1 +1 +1
w = ( u )( v )n p q
n=0 p=0 q=0
3. Series de fonctions de C dans C
Soit (f ) une suite de fonctions de C dans C, S une fonction de C dans C et A une partie de C. Onn n0
n
appelle serie de fonctions (f ) la suite de fonctions (S ) ou S = f (z).n n0 n n0 n kk=0
De nition 3 ( convergence simple, uniforme, normale d’une serie de fonctions sur A)
On dit que la serie de fonctions (f ) converge vers Sn n0
{ simplement sur A si (8z2A)jS (z) S(z)j ! 0n
n!+1
{ uniformement sur A si sup jS (z) S(z)j ! 0nz2A n!+1
{ normalement sur A si sup jf (z)j est le terme general d’une serie convergente.nz2A
Nota bene. La convergence normale sur A implique la convergence uniforme sur A, qui elle m^eme implique la
convergence simple sur A.
Theoreme 4 (echange lim )
Soit (f ) une serie de fonctions deC dansC, A une partie deC et a un point adherent a A. Sin n0
1. la serie (f ) converge normalement sur A, etn n0
2. pour tout entier n, la limite lim f (z) existe et vaut ‘ ,z!a n n
alors la serie l est convergente etn
+1 +1 +1
lim( f (z)) = (limf (z)) = ‘n n n
z!a z!a
n=0 n=0 n=0
Pour les series de fonctions deR dansR :
b
Theoreme 5 (echange )a
Soit (f ) une serie de fonctions deR dansR, continues sur [a;b], et qui converge uniformement sur [a;b].n n0
Alors
+1 +1 +1b b
( f (x))dx = ( f (x)dx) = ‘n n n
a an=0 n=0 n=0
2
XXXXXPPXXPRXPXZZChapitre 1
Series entieres et fonctions analytiques
1.1 Rappels sur les series entieres
1.1.1 De nitions
De nition 6 ( serie entiere)
n nOn appelle serie entiere (a z ) la serie de fonction (a z ) ou (a ) est une suite de complexes.n n0 n n0 n n0
De nition 7 ( rayon de convergence)
nOn appelle rayon de convergence de la serie entiere (a z ) la quantiten n0
n = supfr2 [0; +1[ : la serie entiere (ja jr ) convergegn n0
Nota bene. est le sup d’une partie non vide deR, reel si cette partie est majoree, egal a +1 sinon.
1.1.2 Proprietes
Lemme 8 (Lemme d’Abel)
Soient deux reels r > 0 et M > 0 tels que0
n(8n2N) ja jr Mn 0
nAlors, pour tout r<r , la serie (a z ) converge normalement sur B(0;r).0 n n0
Proposition 9
nSoit une serie entiere (a z ) de rayon de convergence .n n0
n1. pour tout r<, la serie (a z ) converge normalement sur le disque B(0;r).n n0
n2. la serie (a z ) diverge pour tout z2= B(0;).n n0
Nota bene. 1. Attention au bord...
n2. Sija =a j ! ‘, le rayon de convergence de (a z ) est 1=‘.n+1 n n n0
n!+1
n n3. Soient deux series (a z ) et (b z ) de rayon de convergence et . Sija jjb j, alors .n n0 n n0 1 2 n n 2 1
Proposition 10 (somme et produit de series entieres)
n nSoient (a z ) et (b z ) deux series entieres de rayon de convergence respectif et . Soit s =n n0 n n0 1 2 n
n na +b et p = a b . Alors les series entieres (s z ) et (p z ) ont un rayon de convergencen n n p q n n0 n n0p+q=n
au moins egal a minf ;g et pour toutjzj< minf ;g on a :1 2 1 2
+1 +1 +1
n n na z + b z = s zn n n
n=0 n=0 n=0
+1 +1 +1
n n n
( a z )( b z ) = p zn n n
n=0 n=0 n=0
3
XXXXPXX1.2 Fonctions analytiques
1.2.1 De nitions
De nition 11 ( fonction analytique)
Soit z dans C. Soit U un voisinage de z et f une fonction de U dans C. On dit que f est analytique0 0
en z si f est developpable en serie entiere au voisiange de z , i.e. s’il existe un r > 0 et une serie entiere0 0
n(a z ) de rayon de convergence r telle quen n0
+1
n(8z2B(z ;r)) f(z) = a (z z )0 n 0
n=0
On dit que f est analytique sur U si elle est analytique en tout point de U.
Exemple. 1. un polyn^ omeP deC[X] est analytique en 0, et m^eme en tout pointz deC : d’apres la formule0
de Taylor,
n n
k (k) k
si P (z) = a z alors P (z) = P (z )(z z )k 0 0
k=0 k=0
z2. e est analytique en 0. La somme d’une serie entiere de rayon de convergence > 0 est analytique en 0.
Nous verrons qu’elle est analytique sur l’interieur de son disque de convergence.
Proposition 12
L’ensemble des fonctions analytiques sur l’ouvert U est une algebre surC.
Notation. On la noteO(U).
1.2.2 Proprietes
Proposition 13 (Principe des zeros isoles, version serie entiere)
nSoit (a z ) une serie entiere de rayon de convergence > 0 et de somme f(z). Si au moins un desn n0
coe cients a est nul, il existe un r> 0 tel que f ne s’annule pas sur B(0;r)nf0g.n
Corollaire 14
Une fonction analytique sur un ouvertU a un unique developpement en serie entiere au voisinage de chaque
point de U.
Rappels de topologie
Proposition-de nition 15 ( connexe)
Soit un espace topologique X. On dit que X est connexe si de maniere equivalente
1. X n’est pas reunion de deux ouverts non vides disjoints.
2. X n’est pas reunion de deux fermes non vides disjoints.
3. les seules parties a la fois fermees et ouvertes de X sont; et X.
Exemples. 1. dansR, les parties connexes sont les intervalles. Une reunion de deux intervalles disjoints n’est
pas connexe.
2. dans unR-espace vectoriel, une partie convexe est connexe.
3. unR-espace vectoriel norme est connexe.
4. une boule d’unR-espace vectoriel norme est connexe.
Nota bene. ^etre connexe, c’est ^etre "en un seul morceau".
De nition 16 ( point d’accumulation)
Soit A une partie de C et a un nombre complexe. On dit que a est un point d’accumulation de A si le
singletonfag n’est pas un ouvert de A[fag (pour la topologie induite).
1 Exemple. 0 est un point d’accumultaion de l’ensemblef :n2Ng.
n
4
XXXProposition 17 (Principe du prolongement analytique)
U est un ouvert connexe deC, f et g deux fonctions analytiques sur U, A une partie de U et a un nombre
complexe dans U. Si a est un point d’accumulation de A et si f et g co ncident sur A, alors elles co ncident
sur U.
Nota bene. En particulier, si f est analytique et nulle sur un segment (ou une courbe, ou un ouvert) non vide
de U, alors f s’annule sur U tout entier.
Nota bene. Si V U sont deux ouverts non vides avec U connexe et si f est analytique sur V , on appelle
prolongement analytique de f a U toute fonction analytique sur U qui co ncide avec f sur V . Un tel
prolongement est unique s’il existe.
Proposition 18 (Principe des zeros isoles)
f est une fonction analytique sur un ouvert connexeU. Sif n’est pas la fonction nulle, et sif(z ) = 0, alors0
il existe un r> 0 tel que f ne s’annule pas sur B(z ;r)nfzg0 0
1.3 Analycite des series entieres
Proposition-de nition 19 ( serie derivee)
nSoit (a z ) une serie entiere de sommef(z) et de rayon de convergence> 0. On appelle serie deriveen n0
+1n n 1 n 1de (a z ) la serie entiere (na z ) , et derivee de f la somme na z . Son rayon den n0 n n1 nn=1
convergence est aussi.
Corollaire 20
Une fonction analytique sur U y admet des derivees de tout ordre.
+10 n 1Nota bene. On note f (z) la somme na z .nn=1
Proposition 21
f est la somme d’une serie entiere de rayon de convergence . Pour tout z dans B(0;), on a
f(z +h) f(z)0f (z) = lim
h!0 h
Theoreme 22 (Analycite des series entieres)
La somme d’une serie entiere est analytique a l’interieur de son disque de convergence. Plus precisement,
nsiot (a z ) une serie entiere de rayon de convergence et de somme f(z). Soit z dans B(z ;). Alorsn n0 0 0
+1 (n)f (z )0 n8z2B(z ;j zj) f(z) = (z z )0 0 0
n!
n=0
(n)f (z )0 nNota bene. En particulier, la serie ( (z) ) a un rayon de convergence au moins egal a j zj.n0 0n!
1.4 Exponentielle, logarithme
1.4.1 De nition, proprietes de l’exponentielle
De nition 23 ( exponentielle)
+1 nzzPour tout z2C, on pose e = .
n!
n=0
Proprietes 24
z1. la fonction z7!e est continue surC et y admet des derivees de tout ordre.
0 00 2 z+z z z2. 8(z;z )2C e =e e
5
PXXPz z3. (8z2C) e =e
iy4. (8y2R) je j = 1
xNota bene. On peut ainsi, independament du logarithme de nir la fonction de R dans R qui a x associe e .
1 x xElle est continue et m^eme C sur R, egale a sa derivee, et veri e e e = 1. De plus, pour tout n dans N on
x n x x x xa e x =n! donc lim e = +1 et lim e = 0. En n, e > 0 pour tout x reel donc x7! e realise une+1 1
+bijection continue deR surR . On appelle ln sa bijection reciproque.
1.4.2 Fonctions circulaires de la variable reelle
De nition 25 ( cosinus et sinus)
Pour tout x dansR, on pose
+1ix ix 2ne +e xix ncosx =Re(e ) = = ( 1)
2 (2n)!
n=0
+1ix ix 2n+1e e xix nsinx =Im(e ) = = ( 1)
2i (2n + 1)!
n=0
ix 2 2Nota bene. Comme (8x2R)je j = 1, on a cos x + sin x = 1
Proprietes 26
01 01. Les fonctions sin et cos sont C surR. De plus, cos = sin et sin = cos.
0 0z+z z z2. On retrouve les formules trigonometriques usuelles gr^ ace a e =e e
Reste a etudier la periodicite de ces fonctions.
Lemme 27
+La fonction cos s’annule surR .
De nition 28 ( pi)
On appelle le nombre 2 inffx> 0 : cosx = 0g.
Proposition 29
cos et sin sont periodiques de periode 2.
z1.4.3 Etude de z7! e
Proprietes 30
z z+2i 1. (8z2C) e =e
z 2. z7!e a pour imageC .
z i 3. Plus precisement, les solutions de e =a =re sont lnr +i( + 2Z).
ix4. L’application x7!e est surjective deR dans le cercle unite.
1.4.4 Logarithme neperien
De nition 31
+On appelle logarithme neperien, note ln, la fonction deR dansR reciproque de l’exponentielle.
Proposition 32
1 +ln est C surR et sa derivee est x7! 1=x.
6
XX1.4.5 Logarithme complexe
De nition 33 ( determination du logarithme sur un ouvert U)
U est un ouvert connexe de C . On appelle determination du logarithme sur U toute fonction f
f(z)continue de U dansC veri ant e =z pour tout z de U.
z Nota bene. z7!e est surjective deC surC mais non injective.
Proprietes 34
1. Il n’y a pas de determination du logarithme sur C .
2. Si f et g sont deux d du logaritme sur un ouvert connexe U deC , il existe un k dansZ
tel que f =g + 2ik.
Proposition 35 (determination du logarithme sur B(1; 1))
n 1 nLa serie entiere (( 1) z =n) a pour rayon de convergence 1. La sommen0
+1 n(z 1)n 1( 1)
n
n=1
est une determination du logarithme sur le disque B(1; 1).
Proposition 36 (determination du logarithme sur toute boule ouverte ne contenant pas 0)
Soit z dansC et un argument de z . La somme0 0 0
+1 n 1
n( 1) z z0
lnjzj +i +0 0
n z0n=1
est une determination du logarithme sur le disque B(z ;jzj).0 0
+Proposition 37 (determination analytique du logarithme sur CnR )
La fonction f de nie par
lnjzj +i arcsin(Im(z)=jzj) si Re(z) 0
f(z) = lnjzj +i( arcsin(Im(z)=jzj)) si Re(z) 0 et Im(z) 0
lnjzj i( +Im(z)=jzj)) si Re(z) 0 et Im(z) 0
+est une determination analytique du logarithme sur CnR .
+ i Proposition 38 (determination analytique du logarithme sur Cn (R e ))
+ i Il existe une d analytique du logarithme sur Cn (R e ).
7
X8:??X<Chapitre 2
Fonctions holomorphes
2.1 De nitions, proprietes
De nition 39 ( fonction derivable au sens complexe)
U est un ouvert deC et f une fonction de U dansC. Soit z dans U. On dit que f est derivable en z si0 0
f(z +h) f(z )0 0 0la limite lim existe. Dans ce cas, on note f (z ) cette limite.0
h!0 h
h2C
De nition 40 ( fonction holomorphe)
U est un ouvert deC,f une fonction deU dansC. On dit quef est holomorphe sur U sif est derivable
0en tout point z de U et si la derivee f est continue sur U.
Nota bene. 1. f est derivable en z si et seulement si0
0f(z +h) =f(z ) +h:f (z ) +h: (h) ou lim(h) = 00 0 0
h!0
2. Si a est un nombre complexe, l’application z7! a:z est une transformation du plan appelee similitude.
i En ecrivant a sous la forme re , on se convainc qu’une similitude est la compose d’une rotation et d’une
homothetie. En particulier, elle conserve les angles.
03. Dans la plupart des livres, on ne demande pas a une fonction holomorphef que sa deriveef soit continue.
Nous verrons que ces deux de nitions sont equivalentes.
Proposition 41
U est un ouvert deC, f et g deux fonctions holomorphes sur U.
0 01. (82C) ( :f ) = :f
0 0 02. (f +g) =f +g
0 0 03. (f:g) =f :g +f:g
0 0 24. Si f ne s’annule pas sur U, 1=f est holomorphe sur U et (1=f) = f =f .
5. Si h est une fonction d’un ouvert V deC a valeurs dans U qui soit holomorphe sur V , alors gh est
0 0 0holomorphe sur V et (gh) = (g h):h .
Corollaire 42
L’ensemble des fonctions holomorphes sur U est uneC-algebre (pour + et).
Proposition 43 ("Les fonctions holomorphes conservent les angles")
0U est un ouvert de C, f une fonction holomorphe sur U et z un point de U. On suppose que f (z ) = 0.0 0
1Soient : [0; 1] ! U et : [0; 1] ! U deux courbes de classes C sur [0; 1] se coupant en z avec1 2 0
! !
(t ) = (t ) =z . Si z est un point regulier de et , soient t et t les vecteurs tangents a et 1 0 2 0 0 0 1 2 1 2 1 2
! !
en z . Soient u et u les vecteurs tangents a f et f en f(z ). Alors0 1 2 1 2 0
!! !!(t ;t ) = (u ;u )1 2 1 2
8
6??2.2 Analycite des fonctions holomorphes
nRemarque. Si (a z ) est une serie entiere de rayon de convergence> 0 et de sommef(z), on peut retrouvern n0
(n)les coe cients a par la formule a =f (0)=n!. Mais on a aussi pour tout 0<r<,n n
21 it inta = f(re )e dtn n2r 0
Theoreme 44 (Cauchy)
Soit f une fonction holomorphe sur B(0;).
21 it int1. le nombre a = f(re )e dt ne depend pas de r<.n
2 0
n2. la serie entiere (a z ) a un rayon de convergence au moins egal a .n n0
+1
n3. (8z2B(0;)) f(z) = a zn
n=0
2 it1 f(re ) itNota bene. 1. Au cours de la demonstration, on a montre la formule f(z) = re dt pour
it2 re z0
jzj<r<.
2. Si g est holomorphe sur B(z ;), alors la fonction f :z7!g(z +z) est holomorphe sur B(0;). On peut0 0
donc lui appliquer le theoreme precedent et on a
+1 21n it int
g(z) = a (z z ) sur B(z ;) avec a = g(z +re )e dtn 0 0 n 0
2 0n=0
Corollaire 45
Soit f holomorphe sur B(z ;) et 0<r<. Alors0
2 it1 f(z +re )0 it(8z2B(z ;r)) f(z) = re dt0 it2 z +re z00
Corollaire 46
Soit U un ouvert deC et f une fonction de U dansC. La fonction f est holomorphe sur U si et seulement
si elle est analytique sur U.
Corollaire 47
Soit f une fonction holomorphe sur B(z ;r). Alors f est somme de sa serie de Taylor en z sur B(z ;r),0 0 0
c’est- a-dire
+1 (n)f (z )0 n
(8z2B(z ;r)) f(z) = (z z )0 0
n!
n=0
Nota bene. En particulier, une fonction analytique sur B(z ;r) est developpable en serie entiere en z sur0 0
B(z ;r) tout entier.0
Corollaire 48
SoientU etV deux ouverts deC. Soitf une fonction analytique surU etg analytique surV avecf(U)V .
Alors la composee gf est analytique sur U.
Corollaire 49 (inegalite de Cauchy)
Soit f holomorphe sur un ouvert U deC. Soit z dans U et B(z ;r)U. Alors, pour tout entier n on a0 0
1 1(n) itf (z ) sup f(z +re )0 0nn! r t2[0;2]
9
X

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