Date NOM Prenom Groupe Universite de Nice Annee Departement de Mathematiques Licence MASS 2e annee

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Date : NOM : Prenom : Groupe : Universite de Nice Annee 2009-2010 Departement de Mathematiques Licence MASS 2e annee Fiche TD 18 Estimateurs au maximum de vraisemblance Menez vos reflexions sur votre brouillon. Redigez vos reponses sur cette feuille. Encadrez finalement votre reponse. Exercice 1 (Loi bruitee) Soit X1, . . ., Xn un n-echantillon de la forme Xi = ? i? + ?Yi ou ? et ? sont supposes connus et les Yi sont i.i.d. gaussiennes, centrees, reduites, et ? est le parametre inconnu que l'on veut estimer. 1. Quelle est la densite fXi(x) de Xi ? 2. Determiner la vraissemblance L(x1, . . . , xn, ?) et la log-vraissemblance l(x1, . . . , xn, ?) = d'un tel echantillon L(x1, . . . , xn, ?) = l(x1, . . . , xn, ?) = 3. Determiner l'estimateur au maximum de vraisemblance ?n de ?. ?n = 4. Est-il biaise ? 1

• estimateur au maximum de vraisemblance ?n de ?


• exp ln


• loi f?n


• departement de mathematiques licence

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Extrait

Date :NOM : Universit´edeNice De´partementdeMathe´matiques

Pr´enom:

Groupe : Anne´e2009-2010 LicenceMASS2eanne´e

Fiche TD 18 Estimateurs au maximum de vraisemblance Menezvosr´eflexionssurvotrebrouillon.Re´digezvosre´ponsessurcettefeuille.Encadrezfinalement votrere´ponse. Exercice1(Loibruite´e)SoitX 1 . .,, .X n unnalofmre-´echantillonde θ X i = +σY i α i o`uαetσnocse´soseltesunppsuntsoY i ,sette´r,siudeen,sisne´reeectnnti.sogausi.d.θetm`erelestrapa inconnu que l’on veut estimer. 1.Quelleestladensite´f X i (x) deX i ?

2.De´terminerlavraissemblanceL(x 1 , . . . , x n , θ) et la log-vraissemblancel(x 1 , . . . , x n , θ) = d’un tel e´chantillon

L(x 1 , . . . , x n , θ) =

l(x 1 , . . . , x n , θ) =

ˆ 3.De´terminerl’estimateuraumaximumdevraisemblanceθ n deθ.

4.Est-ilbiaise´?

1

ˆ θ n =