Devoir Maison n°4 Mécanique
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Devoir Maison n°4 Mécanique

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Niveau: Supérieur
Devoir Maison no 4 Mécanique Problème 1 Observation du spectre de l'atome d'hydrogène Pour observer le spectre visible de la lumière émise par une lampe à vapeur d'hydrogène, on utilise un spectroscope à prisme. Le prisme est réalisé dans un milieu solide transparent d'indice de réfraction n, d'arête P et d'angle au sommet A = pi3 . Le prisme est dans l'air d'indice de réfraction 1. On étudie le trajet d'un rayon lumineux de longueur d'onde ? issu du faisceau parallèle incident émis par la source, contenu dans le plan de la figure perpendiculairement à l'arête P , arrivant en un point I de la face d'entrée du prisme. La propagation de ce rayon est repérée successivement par les angles, ?i, ?r, ??r et ? ? i. L'ensemble de ces angles, ainsi que D et A sont repérés en convention trigonométrique et leur valeur est comprise entre 0 et pi2 . 1. Déterminer une relation liant A, ?r et ??r. 2. Appliquer la loi de Snell-Descartes pour la réfraction au point I et au point I ?. 3. En déduire que si ?i est supérieur à un angle limite ? que l'on exprimera en fonction de n et A, le rayon subit une réflexion totale dans le prisme. Calculer ? pour n = 1, 6.

  • dite surface mouillée

  • galet

  • ??uz avec µ

  • jet d'eau d'épaisseur ?

  • planche

  • longueur d'onde selon la loi de cauchy

  • ∆? sur la détermination de la longueur d'onde ? de la raie

  • fz ??uz avec fz


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o Devoir Maison n4 MÉcanique
ProblÈme 1Observation du spectre de l’atome d’hydrogÈne Pour observer le spectre visible de la lumire mise par une lampe á vapeur d’hydrogne, on utilise un spectroscope á prisme.
Le prisme est ralis dans un milieu solide transparent d’indice de rfractionn, d’artePet π d’angle au sommetA=. Le prisme est dans l’air d’indice de rfraction 1. 3 On tudie le trajet d’un rayon lumineux de longueur d’ondeλissu du faisceau parallle incident mis par la source, contenu dans le plan de la figure perpendiculairement á l’arteP, arrivant en un pointIde la face d’entre du prisme. La propagation de ce rayon est repre 0 0 etθ. L’ensemble de ces angl successivement par les angles,θi,θr,θr ies, ainsi queDetAsont π reprs en convention trigonomtrique et leur valeur est comprise entre 0 et. 2
0 1. Dterminerune relation liantA,θretθ. r 0 2. Appliquerla loi de Snell-Descartes pour la rfraction au pointIet au pointI. 3. Endduire que siθiest suprieur á un angle limiteθ`que l’on exprimera en fonction den et , le rayon subit une rflexion totale dans le prisme. Calculerθ`pourn= 1,6. 0 e dviationDen fonction deAtθ 4. Exprimerl’angle d,θiei. On constate exprimentalement l’existence d’un minimum de la valeur deDlorsqu’on fait 0 0 varier l’angle d’incid,θla valeur des angles au minimum de ence. On noteDm,θi,m i,m,θr,m,θr,m dviation. D’aprs le principe de retour inverse de la lumire, au minimum de dviation, le trac du rayon lumineux est symtrique par rapport au plan bissecteur de l’angle du prisme. 0 5. Endduire une relation simple liant les anglesθi,metθet une relation simple liant les i,m 0 anglesθr,metθau minimum de dviation. r,m A+D m sin( ) 2 6. Endduire que lorsqueDest minimum,ns’exprime sous la forme :n=A. sin 2
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dDn 7. Endrivant cette expression par rapport án, dterminer l’expression deen fonction dn deAetDm. Dans le domaine du visible, l’indice optiquen(λ)du prisme varie avec la longueur d’onde selon b15 2 la loi de Cauchy :n(λ) =a+2a= 1,6247etb= 14,34.10m. λ 8. Quelphnomne physique permet de visualiser le spectre d’une lampe á hydrogne á l’aide d’un prisme? Faire un schma de principe. dn 9. Apartir de la loi de Cauchy, dterminer l’expression deen fonction debetλ 10. Pourla raie bleu-vert du spectre de l’atome d’hydrogne, on mesure une dviation minimale Dmde54,85avec une incertitude deΔDm=±0,1. En dduire la valeur numrique de l’indice du prisme, puis de la longueur d’ondeλcorrespondante. A quelle valeur depde la 1π srie de Balmer, cette raie correspond-elle? On rappelle queA=. 3 dDm 11. Al’aide des questions prcdentes, dterminer. En dduire l’expression de l’incertitude Δλsur la dtermination de la longueur d’ondeλde la raie observe. Calculer sa valeur.
ProblÈme 2Voiture rÉduite À un point matÉriel On considre un vhicule, assimil á un point matriel de massem, en mouvement rectiligne horizontal. Sa position est repre par son abscissexet on ne considrera que les composantes −→ des forces colinaires au vecteur directeuruxde l’axeOx. Dans tout le problme, on se place dans le rfrentiel terrestre suppos galilen.
A Marcheavant À puissance constante L’automobile n’est soumise qu’á l’action de son moteur qui dveloppe une puissance constante P. Elle part du repos enx= 0. Les frottements sont ngligs. A.1Dterminer, en fonction du temps, les expressions de la vitessev(t); de l’acclrationγ(t) et de l’abscissex(t). A.2Dterminer l’expression dexen fonction de la vitessev. A.3Au bout de quelle distance le vhicule aura-t-il atteint la vitesse de90km/h? On donne 3 m= 1,2.10kgetP= 75kW.
B Priseen compte de forces de frottement La voiture est maintenant soumise, en plus de l’action du moteur, á une force de rsistance 2 de l’air, de normekmv, oÙkest une constante positive. B.1En utilisant le thorme de l’nergie cintique, pendant une dure infinitsimaledt, tablir 2 mv dv l’quation diffrentielle :dv=3. Pkmv B.2En intgrant cette quation diffrentielle, exprimerxen fonction dev, sachant quex(0) = 0 etv(0) = 0. B.3Montrer qu’il existe une vitesse limiteV. B.4Donnerxen fonction devet deV. B.5On donneV= 180km/h. Calculer la valeur dek. B.6Au bout de quelle distanceXle vhicule aura-t-il atteint la vitesse de90km/h?
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C Etudede la suspension On se propose d’tudier le fonctionnement de la suspension de l’automobile. On considre le systme(S)form par le quart de la voiture de centre de masseGet dcrit ci-dessous :
On supposera que(S), de massem= 300kg, n’est pas coupl avec le reste de l’automobile. Le pointOcorrespond á la position deGlorsque le systme(S)est immobile par rapport á l’axe verticalOz. On noteOG=z(t)uz, le vecteuruztant le vecteur directeur de l’axe. Le systme(S)est reli au sol par un ressort(R)de raideurk= 22kN/met il est soumis de −→ dz−→ la part d’un amortisseur(A), á une force de frottement fluidef=µ uzavecµ= 800kg/s. dt Dans tout le problme, la voiture roule sur une route horizontale avec une vitesse constante. dz La voiture rencontre une bosse á l’instant initial. â cet instantz(0) =z0= 5cmet(0) = 0. dt C.1Ècrire l’quation du mouvement vertical deG, satisfaite parz(t). C.2Montrer, en utilisant les valeurs numriques, que le mouvement deGest pseudo-priodique. αt C.3La fonctionztant alors de la formez(t) =Aecos(ωt+ϕ)donner l’expression deα en fonction deµetmainsi que l’expression deωen fonction deµ,metk. C.4Calculer la valeur numrique de la pseudo-priodeTdu mouvement. C.5ExprimerAettanϕen fonction dez0,αetω. Calculer les valeurs numeriques de A etϕ. La voiture roule sur une route ne prsentant pas de bosses. Les amortisseurs sont drgls. Tout se passe comme si le systme(S)ne subissait que les forces qui s’exerÇaient sur lui lors de l’tude prcdente. Ces forces sont inchanges; en revanche la valeur du coefficientµest modifie. La voiture rencontre la mme bosse á l’instant initial. On s’intresse toujours au mouvement vertical deG, qui est, á partir de cet instant apriodique critique. C.6Quelle est la relation entrem,ketµ? En dduire la nouvelle valeur deµ. q k C.7Donner la nouvelle expression dez(t)en fonction dez0etω0= m
ProblÈme 3Physique des sports de glisse A Physiquedu skimboard Le skimboard est un sport qui se pratique au bord de la plage. Cette partie s’intresse á une pratique nommeflat. â mare basse, l’eau qui se retire lentement laisse des tendues oÙ seule subsiste une mince couche d’eau. Le sportif lance une planche devant lui, court et monte dessus : il peut ainsi glisser sur plusieurs mtres. La planche est lgrement incline : l’avant pointant vers le haut. Messieurs Tuck et Dixon de l’Universit d’Adlade (Australie) ont propos le modle suivant pour rendre compte du mouvement de la planche. Le rfrentiel li á la plage est suppos galilen. L’eau est assimile á un fluide parfait in-ste compressible de masse volumiqueρ=c. La planche, suppose rectangulaire de largeurL, se
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~ dplace á la vitesseV=u~Vxpar rapport au rfrentiel li á la plage et fait un angleαavec l’horizontale (dit angle d’attaque) suppos petit dans tout le problme. La figure1reprsente quelques paramtres du problme dans le rfrentiel li á la plage. Le mouvement de la planche provoque un jet d’eau d’paisseurδqui se dtache de l’avant de la planche. Au-dessus de la ligne en pointill, l’eau constitue le jet. En-dessous, l’eau s’coule vers l’arrire de la planche. Loin á l’avant de la planche, la hauteur d’eau esthT+δtandis qu’elle vaut hTderrire. La surface de la planche qui n’est pas en contact avec le jet est ditesurface mouillÉe. 0 Elle est de longueur`m< L. La hauteur d’eauhAdsigne la hauteur du point de stagnation (dfini comme l’intersection de la planche et de la ligne en pointill).
Figure1 – Modlisation du mouvement de la planche dans le rfrentiel li á la plage −→ On peut montrer que l’action de l’eau est modlisable par une forceFtelle que −→ 1 21 2 F=Fxux+FzuzavecFz=ρV L`m(1λ)etFx=ρV L`mα(1λ) 2 2 hT avecλ=. hA A.1On notemla masse du sportif et de la planche. En se plaÇant dans le rfrentiel li á la plage, montrer queVest solution de l’quation :dV /dt=. A.2On supposehTconnu. 1. Enconsidrant queα`m<< hT, montrer que q 1 2mghT `m=2 V ρLα 2. Sil’angleαest constant, expliquer en une phrase pourquoi il est ncessaire que la vitesse Vdpasse une valeur minimale. 3. Un professeur de physique a film son fils en train de faire du skimboard au bord de la 0 plage. La largeur de la planche estL= 70 cm, sa longueurL= 1,40 m. Il mesure que le 1 skimboard a t lanc avec une vitesse initialeV(t= 0) = 2,7 mset faisait un angle constant pratiquement gal áα= 2,0. On a trac figure2la courbe`m(V, α= 2,0)avec les paramtres du problme (m= 35 kg, 2 33 g= 10 ms,hT= 2,0 cm,ρ= 1,0×10 kgm).`mest exprim en mtre etVen mtre par seconde. Estimer la distance parcourue par l’enfant.
Figure2 –`m(V)(α= 2,0
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B Physiquedes ricochets Lorsqu’on lance judicieusement une pierre au-dessus d’un lac, elle peut rebondir á plusieurs reprises avant de finir sa course .. .au fond du lac. Chaque rebond se nommericochet. On se propose d’tudier dans cette partie un modle simple d’interaction entre un galet et l’eau pour expliquer les ricochets.
Figure3 – Rebond d’un ricochet sur l’eau On dfinit un rfrentielR(Oxyz)li á l’eau, suppos galilen, l’origine desztant prise au niveau de la surface libre lorsqu’elle est non dforme par le galet. L’axeOzest dirig selon la verticale ascendante. Le galet est un carr de cÔta, d’paisseur ngligeable, de massem. Lorsqu’il frappe l’eau, on considre qu’il est bascul d’un angleθ(suppos constant) autour d’un axe horizontal et que son centre d’inertie possde une vitesse~vfaisant l’angleαavec l’horizontale (voir figure3). On considre que le galet dforme la surface libre de l’eau comme indiqu sur la figure ;il reste ainsi au-dessus de la surface dforme pendant toute la phase du ricochet. Si le bord suprieur du galet devait descendre sous la surface libre alors l’eau entourerait celui-ci et le galet coulerait. L’enfoncement du galet sera repr par la cotez(z <0) de son extrmit infrieure. On −→ dfinit par ailleurs une base locale de projection compose du vecteurnnormal au galet et du −→ vecteurttangent comme indiqu sur la ]. Au cours de son mouvement en contact avec l’eau, on admettra que le galet subit la force 1 2−→1 2 F=Cnρv Simn+Ctρv Simt 2 2 Simest la surface immerge du galet (c’est-á-dire la surface du galet en contact avec le liquide), vla vitesse de son centre d’inertie,ρla masse volumique du liquide,CnetCtdes coefficients supposs constants et positifs. On assimile le galet á un point matriel (on tudie uniquement le mouvement de translation) B.1Montrer que la surface immmerge du galet a pour expression za Sim=sinθ B.2Ècrire les quations du mouvement du galet, en projection sur les axesxetz, sous l’effet ~ de la forceFet de son poids. Pour simplifier la rsolution de ces quations on considre que, dans l’expression de la force ~ F, la normevde la vitesse reste constante pendant cette phase et gale á sa vitesse initialev0. On discutera de cette hypothse á la question B.5. B.3 2 1. Montrer quezvrifie une quation diffrentielle du typez¨ +ω z=gω0est un 0 paramtre que l’on exprimera en fonction deρ,v,a,m,θetC=CncosθCtsinθ suppos positif. 2. Rsoudrecette quation avecz(t= 0) = 0,z˙(t= 0) =vz0(vz0<0). 3. Dterminerla profondeur maximale atteinte en fonction deg,ω0etvz0. 4. Montrerque le galet ne coule pas si (on noteα0=α(t= 0)) 5
r 2ag v0>ρCasinα 3 2 0 2msinθ Application numrique : dterminer la valeur minimale dev0pour que le galet ne coule 2 33 pas sim= 20 g,a= 7,0 cm,g= 10 ms,ρ= 1,0×10 kgm,θ= 5,0,α0= 2,0, Ct=Cn= 1. B.4Le temps de rebond est le tempsτqu’il faut pour que le galet repasse enz= 0. Ècrire l’quation donnantτ. Justifier rapidement que, vu les ordres de grandeur (on prendrav0= 1 50 ms),τ=π/ω0. Dans ces conditions que vaut la composante selon l’axezde la vitessevzau moment oÙ le galet ressort de l’eau? 0 B.5On noteC=Cnsinθ+Ctcosθ,vxla composante dev~selon l’axex,vx0=vx(t= 0)et Δvxla variation devxentre les instants d’entre et de sortie du galet de l’eau. 1. Montrerque h i 0 ΔvxC gπ = 2tanα0+ vx0C ω0v0cosα0 et faire l’application numrique avec les donnes des questions B.3 et B.4. 2. Quelleshypothses doivent tre vrifies afin qu’il soit lgitime de considrer quev=v0 dans l’expression de la force?
C Physiquedu skeleton Le skeleton est un sport d’hiver qui se pratique dans un couloir de glace en pente : le coureur s’allonge sur une planche qui glisse sur la glace en prenant appui sur des patins. L’ensemble
Figure4 – Piste de skeleton
coureur + skeleton est assimil á un solide de massem= 100 kgpouvant glisser sans frottement. Il franchit la ligne d’arrive avec une vitessev0et se ralentit simplement en montant une pente faisant un angleαavec l’horizontale (figure4). Dterminer la longueurade piste ncessaire au ralentissement. 12 Application numrique : on prendrav= 30 msetg= 10 mset on considrera une pente de 5%.
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