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Devoir Maison no 8 Mécanique Problème 1 Déviation de la lumière par les étoiles Ce problème se propose d'établir quelques propriétés simples de l'Univers, telle qu'on les comprend actuellement, mais au moyen de modèles physiques simplifiés. À notre échelle, l'Univers est formé d'étoiles et de leurs planètes, regroupées en amas ou galaxies, ainsi que d'une certaine quantité de gaz interstellaire. Cependant, à plus vaste échelle, nous serons éventuellement amenés à traiter l'Univers comme un système fluide homogène. Données : Célérité de la lumière dans le vide c = 3, 0.108 ms?1 Constante de Boltzmann k = 1, 38.10?23 JK?1 Constante de la gravitation universelle G = 6, 67.10?11 m3kg?1s?2 Constante de Planck 6, 63.10?34 Js Durée d'une année 365, 25 jours = 3, 16.107 s Masse du Soleil M = 1, 99.1030 kg Rayon du Soleil R = 6, 95.108 m Ce problème étudie, dans un modèle non relativiste, la déviation d'une particule par une étoile E, considérée comme une répartition de masse à symétrie sphérique, de rayon R, de masse M et de centre O. La particule étudiée A est ponctuelle et de masse m. On considère le système ? formé de A et E comme isolé. Le référentiel d'étude (K) est galiléen. A Etude du système ? formé de A et E A.

anneau

tige

centre d?inertie du système ?

vitesse angulaire

angle de déviation

vecteur unitaire de l'axe horizontal

vecteurs unitaires

conservation du moment cinétique

mouvement de rotation

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o Devoir Maison n8 MÉcanique

ProblÈme 1DÉviation de la lumiÈre par les Étoiles Ce problÈme se propose d’Établir quelques propriÉtÉs simples de l’Univers, telle qu’on les comprend actuellement, mais au moyen de modÈles physiques simpliﬁÉs. â notre Échelle, l’Univers est formÉ d’Étoiles et de leurs planÈtes, regroupÉes en amas ou galaxies, ainsi que d’une certaine quantitÉ de gaz interstellaire. Cependant, á plus vaste Échelle, nous serons Éventuellement amenÉs á traiter l’Univers comme un systÈme ﬂuide homogÈne. DonnÉes :

CÉlÉritÉ de la lumiÈre dans le vide Constante de Boltzmann Constante de la gravitation universelle Constante de Planck DurÉe d’une annÉe Masse du Soleil Rayon du Soleil

8−1 c= 3,0.10ms −23−1 k= 1,38.10J K −11 3−1−2 G= 6,67.10sm kg −34 6,63.10J s 7 365,25jours= 3,16.10s 30 M= 1,99.10kg 8 R= 6,95.10m

Ce problÈme Étudie, dans un modÈle non relativiste, la dÉviation d’une particule par une ÉtoileE, considÉrÉe comme une rÉpartition de masse á symÉtrie sphÉrique, de rayonR, de masseMet de centre O. La particule ÉtudiÉeAest ponctuelle et de massem. On considÈre le systÈmeΣformÉ deAetE comme isolÉ. Le rÉfÉrentiel d’Étude(K)est galilÉen.

A Etudedu systÈmeΣformÉ deAetE A.1DÉﬁnir le rÉfÉrentiel barycentrique du mouvement du systÈmeΣrelativement á(K); on le notera ∗ ∗ (K). Quelle propriÉtÉ importante du rÉfÉrentiel(K)?peut-on aﬃrmer A.2On noteraOun point ﬁxe de(K),Gle centre dŠinertie du systÈme −→−→ −→−→ Σ; on noterarG=OG. On notera aussir=EA(voir ﬁgure). Les dÉrivÉes temporelles successives, prises dans le rÉfÉrentiel (K), de ces vecteurs sont −→−→−→−→ −→drG−→d r−→dvG−→d v notÉes :vG=,v=,γG=etγ=. Exprimer la vitesse et dt dtdt dt −→−→−→ l’accÉlÉration deArelativement á(K)en fonction devG,v,γet des masses metM. −→ −→−→ A.3Exprimer le moment cinÉtiqueσOenOdu systÈmeΣrelativement á(K)en fonction derG,vG, −→−→1 1 1 r,vdemT=m+Met de la masse rÉduiteµdÉﬁnie par= +. Exprimer aussi l’Énergie µ mM −→−→ cinÉtiqueEcdu systÈmeΣrelativement(K)en fonction devG,v,mTetµ. −→−→ A.4Expliciter l’Équation diﬀÉrentielle du second ordre qui rÉgit l’Évolution der. On noterar=||r|| et on supposerar > R. −→ ∗ A.5En dÉduire la conservation du moment cinÉtique barycentriqueσdu systÈme. L’Énergie cinÉ-∗ tique barycentrique du systÈmeEse conserve-t-elle? c

B Trajectoirehyperbolique de la particule A ∗ On se place dans toute la suite du problÈme dans le rÉfÉrentiel(K). On suppose queMm. −→ −→ B.1Montrer dans ce cas queGA=ret que la vitesse deAdans le rÉfÉrentiel barycentrique est −−−−→ −→∗ ∗ voisine dev. Relier de mme les constantes du mouvement barycentriquesigmaetEau moment c ∗ cinÉtique et á l’Énergie cinÉtique deAdans le rÉfÉrentiel(K).

B.2On supposerar > R. Quelle est l’Équation du mouvement deA? Montrer que le mouvement de Aest plan. On appelleraGxyle plan du mouvement ;on repÈre la posi-tion deAdans le planGxypar ses coordonnÉes polairesr= −→−→ GAetθ= (ex, er). On notera −→−→ er,eθla base locale polaire correspondante (voir ﬁgure ci-contre). −→ ∗−→vdθ d ˙ B.3On poseσ .ez=mC. ExpliciterCen fonction deretθ=, puis expliciter la dÉrivÉeen dt dθ −→ −→−→ fonction deG,MetC. En dÉduire que le vecteure=α v−eθest, pour un choix que l’on prÉcisera de la constanteα, une constante du mouvement. Expliquer pourquoi on ne perd pas de gÉnÉralitÉ dans −→−→ l’Étude du mouvement en posante=eeyavece >0. −→−→ B.4â partir du rÉsultat de la question prÉcÉdente, exprimerv .eθen fonction deα,eetθ; en p dÉduire l’Équation de la trajectoire, qu’on Écrira sous la forme= 1 +ecosθ. Expliciterpen fonction r deαetC, puis en fonction deC,GetM. â quelle condition, portant sure, la trajectoire deAest-elle hyperbolique ?

C Etudede la trajectoire −→ On ne fait plus ici d’hypothÈse particuliÈre quant á la direction du vecteuredans le planGxydu mouvement. C.1Lorsque la particuleAest encore situÉe á trÈs grande distance de l’ÉtoileE(xA−→ ∞, voir −→ la ﬁgure ci-dessus), sa vitessev0est colinÉaire áGx; elle a pour normev0. L’asymptoteΔá cette trajectoire incidente passe á la distancebdeG. ExprimerCen fonction debetv0; prÉciser en particulier le signe deC. C.2Lorsque la particuleAs’est largement ÉloignÉe de l’ÉtoileE, sa trajectoire est á nouveau une 0−→→− droiteΔparcourue á la vitesse constantev1. Quelle est la norme dev1? −→ −→−→ C.3Exprimer, pourt−→ −∞puis pourt−→+∞, le vecteureprojetÉ sur la baseex,eyen 0 fonction deα,v0et de l’angle de dÉviationΦentre les droitesΔetΔ. En dÉduire une expression de Φ tanen fonction dev0,C,GetM. 2 C.4Lors de son mouvement, la particuleApasse á un certain instant á une distance minimaleddu centre de l’ÉtoileE. â partir par exemple de deux lois de conservation, dÉterminer une Équation du 1 second degrÉ dontest solution. En dÉduire que : d 2 C d=p 2 22 2 GM+GM+C v 0 C.5Quel est le sens de variation, pourv0ﬁxÉ, de la fonctionΦ(d)reliant l’angle de dÉviation et la distance minimale d’approche? Commenter. C.6Lorsque cette distance minimale correspond á une trajectoire rasante(d=R), quelle est la valeur de la dÉviationΦ0? On montrera que : Φ0GM tan =p 2 2 v R(R+ρ) 0 oÙ l’on exprimeraρen fonction deG,Metv0. C.7DÉterminer numÉriquementρ, appelÉ rayon de Schwarzschild, dans le cas du Soleil pour une particule de vitessev0=c.

D DÉviationde la lumiÈre par le Soleil La lumiÈre est ici traitÉe comme un faisceau de photons, particules dont la massemn’a pas besoin d’tre prÉcisÉe dans la suite (mme si on sait aujourd’hui qu’elle est nulle), et qu’on traitera dans le cadre de la mÉcanique non relativiste (mme si cette approximation n’est pas lÉgitime). Ces photons seront considÉrÉs comme soumis, comme une particule matÉrielle ordinaire, á l’interaction gravitationnelle avec l’Étoile. On admettra que, pour les photons passant á proximitÉ du Soleil,ρR(voir C.6). 2

D.1DÉterminer, en secondes d’arc, la dÉviationΦ0correspondant á un photon rasant le Soleil. On prendrav0=c. D.2Une expÉdition fut montÉe en mai 1919 pour observer cette dÉviation á l’occasion d’une Éclipse de Soleil. La mÉtÉo ne fut pas trÈs bonne, pas plus donc que la qualitÉ des observations; toutefois, des mesures ultÉrieures menÉes lors de diverses Éclipses de 1922 á 1999 conﬁrmÈrent progressivement une 00 valeur mesurÉe expÉrimentalementΦe= 1,75. Pourquoi la mesure doit-elle tre menÉe lors d’une Éclipse du Soleil? Commenter la valeur deΦe.

E Eﬀetsde lentille gravitationnelle La prÉsence d’un astre massifEsur le trajet d’un faisceau de lumiÈre parallÈle provoque une dÉviation des rayons lumineux formant ce faisceau. L’angle de dÉviationΦdÉpend de la distanceb GM entre le rayon ÉtudiÉ et l’astreE, sous la forme :Φ =κ2, oÙMest la masse de l’astreE. c b E.1Par analyse dimensionnelle, prÉciser lŠunitÉ de la grandeur constanteκ. E.2Montrer que la dÉviation gravitationnelle de la lumiÈre par l’astreE se comporte, pour un rayon passant á la distancebde l’astreE(cf. ﬁgure ci-contre), comme une lentille convergente dont on exprimera la distance focale 0 fen fonction deb,κ,c,GetM. On considÈre un rayon lumineux rasant la surface du Soleil;best donc voisin du rayonRdu Soleil. 0 E.3DÉterminerf; on prendradans ces conditionsκ= 2SIet on exprimera le rÉsultat en annÉes-lumiÈre (une annÉe-lumiÈre est la distance parcourue par la lumiÈre pendant une annÉe). E.4L’observation des astres lointains et peu lumineux est parfois amÉliorÉe lorsque s’interpose, sur le trajet de la lumiÈre entre ces astres et la Terre, une galaxie massive. Pouvez-vous expliquer ce fait?

ProblÈme 2MÉcanique en rÉfÉrentiel non galilÉen Au cours de ce problÈme, nous envisagerons deux situations diﬀÉrentes d’un petit anneauMde massem, considÉrÉ comme ponctuel, soumis á la pesanteur et susceptible de se dÉplacer sans frotte-ments le long d’une tigeOA, de longueurL, eﬀectuant un mouvement de rotation caractÉrisÉ par une vitesse angulaireωconstante autour d’un axe ﬁxe vertical passant par son extrÉmitÉO. Le rÉfÉrentiel liÉ au laboratoire sera considÉrÉ comme galilÉen. −→−→−→ L’espace est rapportÉ au repÈre cartÉsien(O, ex, ey, ez)liÉ au laboratoire et tel que : −→ –ex: vecteur unitaire de l’axe horizontalOx. −→ –ey: vecteur unitaire de l’axe horizontalOy. −→ –ez: vecteur unitaire de l’axe verticalOz.

A Mouvementdans un plan horizontal La tigeOAse trouve dans le plan horizontal(xOy)et tourne autour de l’axe verticalOzá la vitesse angulaire constanteω. L’anneau est libÉr sans vitesse initiale par rapport á la tige á une distancer0du pointO (r0< L). On repÈre la position de l’anneau sur la tige par la distanc rentre le pointOet l’anneauM(r=OM). La rÉaction de la tige su −→ −→−→ l’anneau est de la forme :r=Rzez+Rθeθ. On pourra lors des calcul −→−→ vectoriels utiliser les vecteurs unitairesereteθdÉﬁnis de la maniÈr suivante : −→ –er: vecteur unitaire du plan(Oxy)dirigÉ suivant la tige et orient dans le sens de la tige. −→ –eθ: vecteur unitaire du plan(Oxy), perpendiculaire au vecteur vecteu −→−→−→−→ eret tel que le repÈre(O, er, eθ, ez)soit un repÈre direct. L’Étude est menÉe dans le rÉfÉrentiel liÉ À la tige. A.1Faire un schÉma sur lequel apparaissent les forces auxquelles est soumis l’anneau. Ecrire l’ex-pression vectorielle de ces forces en fonction des vecteurs unitaires dÉﬁnis prÉcÉdemment. A.2Etablir cette Équation diﬀÉrentielle á partir du principe fondamental de la dynamique. 3

A.3RÉsoudre cette Équation diﬀÉrentielle en prenant en compte les conditions initiales dÉﬁnies prÉ-cÉdemment et dÉterminer la solutionr(t)en fonction der0, ωett. A.4En dÉduire l’expression du tempsτque va mettre l’anneau pour quitter la tige. On exprimera τen fonction der0, Letω. −→ A.5DÉterminer l’expression de la vitessevf, calculÉe dans le rÉfÉrentiel liÉ á la tige, de l’anneau lorsqu’il quitte la tige en fonction deω, r0, Let d’un ou plusieurs des vecteurs unitaires dÉﬁnis prÉcÉ-demment. −→ 0 A.6En dÉduire l’expression de la vitessev, calculÉe dans le rÉfÉrentiel liÉ au laboratoire, de l’an-f neau lorsqu’il quitte la tige en fonction deω, r0, Let d’un ou plusieurs des vecteurs unitaires dÉﬁnis prÉcÉdemment.

B Latige fait un angleαquelconque avec l’axe vertical   π La tigeOAfait un angle<α αavec l’axeOz. La tige 2 tourne autour de l’axeOzavec la vitesse angulaire constante ω. On repÈre la position de l’anneau sur la tige par la distancer entre le pointOet l’anneauM(r=OM). La rÉaction de l tige sur l’anneau est perpendiculaire á la direction de la tig −→ dÉﬁnie pareT, vecteur unitaire de la tige et orientÉ deOvers A. L’anneau est libÉrÉ sans vitesse initiale par rapport á l tige á une distancer0du pointO(r0< L). On pourra lors des −→ calculs vectoriels utiliser Également les vecteurs unitaireser −→ eteθdÉﬁnis de la maniÈre suivante : −→ –er: vecteur unitaire du plan(Oxy)dirigÉ suivant la pro-jection de la tige dans le plan(Oxy)et orientÉ dans le sens de la tige. −→ –eθ: vecteur unitaire du plan(Oxy), perpendiculaire au vec-−→−→−→ teur vecteur et tel que le repÈre(O, er, eθ, ez)soit un repÈre direct. L’Étude est menÉe dans le rÉfÉrentiel liÉ À la tige. B.1Faire un schÉma sur lequel apparaissent les forces auxquelles est soumis l’anneau. Ecrire l’expression vectorielle de ces forces (exceptÉ celle de la rÉaction de la tige sur l’anneau) en fonction des vecteurs unitaires dÉﬁnis prÉcÉdemment. B.2En appliquant le principe fondamental de la dynamique, Établir l’Équation diﬀÉrentielle vÉriﬁÉe parr(t). B.3RÉsoudre cette Équation diﬀÉrentielle en prenant en compte les conditions initiales dÉﬁnies prÉ-cÉdemment et dÉterminer la solutionr(t)en fonction der0, α, g, ωett. B.4DÉterminer la position d’Équilibrereqde l’anneau sur la tige. Exprimerreqen fonction deω, α etg. Montrer qu’il ne peut exister une position d’Équilibre de l’anneau sur la tigeOAque si la vitesse angulaireωest supÉrieure á une valeur seuilω0que l’on dÉterminera. Exprimerω0en fonction deα, g etL. B.5On se place dans le cas oÙω > ω0, l’anneau Étant dans sa position d’Équilibre. On Écarte lÉgÈre-ment l’anneau de cette position d’Équilibre. DÉterminer, en la justiﬁant, l’orientation de la rÉsultante des forces appliquÉes á l’anneau. En dÉduire si l’Équilibre est stable ou instable.

Voir