Divers exemples de modèles dynamiques feuille réponse

Description

Niveau: Supérieur
NOM : Date : . PRENOM : Groupe : . Mathematiques pour la Biologie (semestre 2) : Feuille-reponses du TD 6 Divers examples de modeles dynamiques Les deux exercices qui suivent concernent la dynamique de deux populations en competition, dont nous avons vu un premier exemple lors de la seance 2. Notre objectif dans les deux cas est d'etudier les possibilites de coexistence de ces deux populations. Exercice 1. : Le premier exemple illustre ce que l'on appelle le principe d'exclusion competitive. Voici son systeme differentiel et, plus bas, son champs de vecteurs : { x? = (1? 0.5x? 0.33y)x y? = (1? x? 0.5y)y (1) 0 0.5 1 1.5 2 y 0.5 1 1.5 2 x extinction de l'espece 2 1. Calculer les equations de deux droites qui sont les isoclines x? = 0 du systeme (1). 2. Meme question pour les deux isoclines y? = 0. 3. A droite de la figure, tracer dans un plan (x, y) les isoclines du systeme puis tracer dans chaque region (et sur les isoclines) les fleches donnant l'allure du champs de vecteurs. 1

• fleche indiquant la direction du champs


• taux de croissance intrinseque des larves


• bassin d'elevage de poissons


• fleches donnant l'allure du champs

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• Publié par: profil-nechor-2012
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• Langue: Français

Extrait

NOM : PRENOM :

Date : Groupe :

Mathe´matiquespourlaBiologie(semestre2):Feuille-re´ponsesduTD6 Diversexamplesdemode`lesdynamiques

. .

Les deux exercices qui suivent concernent la dynamique dedpxueitnoe´itennsmpcoulopioat, dont nousavonsvuunpremierexemplelorsdelase´ance2.Notreobjectifdanslesdeuxcasestd’e´tudierles possibilit´esdecoexistencedecesdeuxpopulations. Exercice 1.:Le premier exemple illustre ce que l’on appelle lenciop´omexd’usclnirpepictetivie. Voici sonsyst`emediff´erentielet,plusbas,sonchampsdevecteurs:  0 x= (1−0.5x−0.33y)x (1) 0 y= (1−x−0.5y)y

2

1.5

y 1

0.5

0

extinction de l'espece 2

0.5

1 x

1.5

2

0 1.Calculerles´equationsdedeuxdroitesquisontlesisoclinesx=us0d`tsy(eme.)1

0 2.Meˆmequestionpourlesdeuxisoclinesy= 0.

3. A droitede la figure, tracer dans un plan (x, ydreccsnaiupeartsquhael)sesiusyst`emoclinesd r´egion(etsurlesisoclines)lesfle`chesdonnantl’allureduchampsdevecteurs.

1

4.Combienlesyst`eme(1)a-t-ildepointsd’e´quilibres?Calculerleurscoordonne´es,lesrep´erersurla figure.

5.De´terminerlanaturedechaque´equilibre(noeud,col,foyeroucentre)etve´rifiervosr´esultatssur votre figure. Ajouter quelques trajectoires.

6.Quepensez-vousdel’e´volutiondesdeuxpopulationsseloncemode`le:vont-ellescoexisteroul’une d’elleva-t-elledisparaıˆtre?Expliquer.

7. Tracerapproximativement les deux graphes des composantesx(t) ety(t) de la solution de (1) issue du pointM= (2,1).

Exercice 2.:me`tdedexuespedevtcuesrsaosci´e`aunautresysserugfiaLretnaviuenesr´epamchlete espe`cesencompe´tition  0 x= (1−x−2y)x (2) 0 y= (1−2x−y)y ou`x(t) ety(t) s’expriment en milliers d’individus. 1.Ajoutersurcedessinlesisoclinesetlespointsd’e´quilibre(indiquervoscalculsci-dessous).

2

coexistence improbable: extinction de l'une des deux especes

1

0.8

0.6 y

0.4

0.2

0 0.2 0.4 0.6 0.81 x

2.D´eterminerlanaturedese´quilibres.

3. Tracerla trajectoire issue de (1,1). Peut-on parler dans ce cas de coexistence des deux populations ? Expliquer pourquoi.

4.Meˆmequestionpourlatrajectoireissuedupoint(1,1−ε), pourε >0 petit.

5.Meˆmequestionpourlatrajectoireissuedupoint(1−ε,1).

3

6.Expliquerpourquoiladynamiquedecemod`eleconduitenge´n´eral`al’extinctiondel’unedesdeux populations.

Exercice 3.:e´elavegabssni’dsiumpepnotseuenquel’onOanledtnocxuatsnpansnflrupodesois larves dont ils se nourissent. La dynamique des deux populations de larves et de poissons dans ce bassins ressemble`acelled’unmod`eledeLotka-Volterramaiselleendiffe`reparlefaitqueletauxdecroissance intrinse`quedeslarvesn’estpasproportionela`latailledecettepopulationmaisilestsuppose´constant aucoursdutemps.Onadoncdanscecasunmod`eledutype  0 x=α 1 −β 1 xy (3) 0 y=−α 2 y+β 2 xy

o`ux(tlimne(sete)sreilre)esp´neetalatlieledalpopulationdelarvy(t) celle de la population de poissons. Cetypedemod`eles’appelleunmode`leressource-consommateur. On suppose queα 1 = 20,β 1 = 0.04, α 2 = 0.75 etβ 2 = 0.03. 1.Quelest,seloncemode`le,letauxdemortalite´parteˆtedespoissons?Querepre´sentelescoefficients β 1 etβ 2 ?

0 2.Ecrirelesyste`mediff´erentielpourcemod`elepuiscalculerles´equationsdesdeuxisoclinesx= 0 et y’=0etlescoordonn´eesdel’´equilibre.

3. Dans le quadrantx≥0, y≥chacuneds,etdansnoqs’uleser4e´ig0tceracosienilselrxuedsel de´limitentplacerunefl`echeindiquantladirectionduchampsdevecteursassocie´.

4.Peut-onend´eduirelecomportementdesdeuxpopulationslorsquettend vers +∞?

4