ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSS EES ECOLES NATIONALES SUP ERIEURES DE L'A ERONAUTIQUE ET DE L'ESPACE

Constante De Boltz - Mann

Description

Niveau: Supérieur

• concours d'entrée

ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSS EES. ECOLES NATIONALES SUP ERIEURES DE L'A ERONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCEES, DES T EL ECOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT– ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES T EL ECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ECOLE POLYTECHNIQUE (FILI ERE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2008 SECONDE EPREUVE DE PHYSIQUE Filiere PC (Duree de l'epreuve: 4 heures) L'usage de la calculatrice est autorise Sujet mis a disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE–EIVP, Cycle international Les candidats sont pries de mentionner de fac¸on apparente sur la premiere page de la copie : PHYSIQUE II — PC. L'enonce de cette epreuve comporte 7 pages. – Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur d'enonce, il est invite a le signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il aura ete amene a prendre. – Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des considerations numeriques) qui vous sembleront pertinents, meme lorsque l'enonce ne le demande pas explicitement. La bareme tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de la copie. DISPOSITIFS MAGN ETIQUES Ce probleme, dont les differentes parties sont largement independantes, aborde quelques dispositifs utilises dans l'etude de certaines proprietes de particules fondamentales.

• axe oz


• ???bmoz cree


• quantification du moment cinetique de spin des atomes etudies


• solenoıde cylindrique de longueur ?


• jet d'atomes de lithium


• mouvement des particules filles dans l'enceinte gazeuse


• champ magnetique


• expression de ?


• axe z de symetrie de revolution

Sujets

• École polytechnique
• Champ magnétique

Informations

• Publié par: les_cours_d_alain
• Nombre de lectures: 29

Extrait

´ ´ ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ´ ´ ´ ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L’AERONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, ´ ´ ´ DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, ´ DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT–ETIENNE, DES MINES DE NANCY, ´ ´ DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ´ ` ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI) CONCOURS D’ADMISSION 2008 ´ SECONDE EPREUVE DE PHYSIQUE Fili ` erePC (Dur ´ eedel’ ´ epreuve:4heures) L’usage de la calculatrice est autorise´ Sujet mis a` disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE–EIVP, Cycle international Lescandidatssontprie ´ sdementionnerdefac¸onapparentesurlapremi ` erepagedelacopie: PHYSIQUE II — PC. L’e ´ nonc ´ edecette ´ epreuvecomporte7pages.

–Si,aucoursdel’e ´ preuve,uncandidatrepe ` recequiluisemble ˆ etreuneerreurd’e ´ nonce ´ ,ilestinvite ´ a ` le signalersursacopieet ` apoursuivresacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesqu’ilaurae ´ te ´ amen ´ e ` aprendre. –Ilnefaudrapash ´ esiter ` aformulerlescommentaires(incluantdesconsid ´ erationsnum ´ eriques)quivous semblerontpertinents,me ˆ melorsquel’ ´ enonc ´ eneledemandepasexplicitement.Labare ` metiendracompte decesinitiativesainsiquedesqualit ´ esder ´ edactiondelacopie. ´ DISPOSITIFS MAGNETIQUES Ceprobl ` eme,dontlesdiffe ´ rentespartiessontlargementinde ´ pendantes,abordequelquesdispositifs utilis ´ esdansl’e ´ tudedecertainespropri ´ ete ´ sdeparticulesfondamentales.Dansdetre ` snombreuxcas lesparticules,charge ´ es,sontenmouvementdansunchampmagn ´ etiquepermanent. Donn ´ ees: −7−1−9−1 Constantes ´ electromagne ´ tiquesduvide: µ o =4 π ×10 H.m , ε o =1/(36 π )×10 F.m , masse −31−19 de l’e´lectron : m=9,11×:earge ´ el ´ ementair01k,ghce=1,60×10 C, Constante de B OLTZ  −23 −1 23 −1 MANN k=1,38×10 J.K , Constante d’A VOGADRO N=6,02×10 mol . −→−→−→ Dans le syste`me de coordonne´es cylindriques (r, θ ,z)de base(e r ,e θ ,e z ), pour tout champ scalaire −→ −→ −→ −→ V(r, θ ,z)et pour tout champ de vecteurF=F r e r +F θ e θ +F z e z , on donne : −−−−→ ∂ V1 ∂ V ∂ V −→ 1 ∂ (rF r )1 ∂ F θ ∂ F z −→ −→ −→ grad(V) =e r +e θ +e z div(F+ +) = ∂ r r ∂∂ θ z r ∂ r r ∂ θ ∂ z       −− → −→ −→ 1 ∂ F z ∂ F θ ∂ F r ∂ F z ∂ (rF θ ) ∂ F z e z −→−→ rot(F) =−e r +−e θ +− r ∂∂ θ z ∂ z ∂ r ∂ z ∂ θ r

I.—Cre ´ ationdechampsmagn ´ etiquesayantdespropri ´ ete ´ sparti culie`res

Deuxstructuresdechampsserontaborde ´ es:Lechampuniformeetlechampa ` variationlin ´ eaire.La re ´ giondel’espacedanslaqueller ` egnentceschampsposs ` edelesm ˆ emespropri ´ et ´ es ´ electromagne ´ tiques que le vide.

´ DISPOSITIFS MAGNETIQUES

I.A.—Champuniforme:sol ´ eno ¨ ıdesetbobinesdeH E L M H O LT Z

Onconsid ` ereunsole ´ no ¨ ıdecylindriquedelongueurℓcomportantNspires jointives identiques, circu laires de rayonRdtnatni’isnee ´ tC.estp ¨ ıde ´ enoesolocruranurupuraocI=cste.

1 —ı ¨ one ´ lo.infiniedrlliabEtssrexp’euoidnseOnacpldenalscedaered’lapproximationdus −→ champ magne´tique B sol .ciilucedeeiru ´ tre’lnieda ` no ¨ ıol ´ erclre ´ se ´ epa

Uneautreme ´ thodeclassiquedeproductiond’unchampmagn ´ etiqueuniformeestl’utilisationdes bobines de H ELMHOLTZ tiques.elrucsraca ´ tresiexd’retteriticplvsetnaviemreptnosque.Lenssustio On conside`re une spire circulaire C, de centreO, de rayonR ´e , parcourue par un courant d’intensit −→ I=cste. L’axeOzest perpendiculaire au plan de la spire. On appelleB coz (z)le ´ nteqieuhcmampga cre´e´ par la spire en un point situe´ sur Oz a` la cote z. −→−→−→ 2 —ExprimerB coz (0)en fonction de µ o ,RetIpuisB coz en fonction deB coz (0)et de la variable sans dimensionu=z/R.

Onconside ` relemontagedelaFigure1constitut ´ ede deuxbobinesplatesd’e ´ paisseurn ´ egligeable,compos ´ ees chacune deNspires circulaires de rayonR, de meˆme axedesym ´ etrieOz. Ces deux bobines ont pour centres desym ´ etrierespectifsO 1 etO 2 ,elles sont parcourues pardescourantsidentiquesd’intensit ´ eI=cste. Les extre ´ mit ´ esdecesbobinessontse ´ par ´ eesd’unedistance D=2d. La configuration d’H ELMHOLTZ est obtenue −→ lorsqued=R/2 . On noteB h lceahpmarlpa ´ e ´ ecr ELMHOLTZ configuration d’H et(B hr ,B h θ ,B hz )les com −→ −→−→−→ posantes deB h dans la base(e r ,e θ ,e z ) des coordonne´es cylindriques (voir Figure 2). 3 —On pose toujoursu=z/R , de´terminer le champ −→ magne´tique B hoz (u)parl ´ e ´ ecriaFdnletaoigfirucano Figure 1 : Bobines de H ELMHOLTZ gure 1 en un point situe´ sur l’axe Ozte ` alacoz. Repre´senter sur un meˆme graphique les fonctions u→−7 − −→−− → − −→−→  B coz (u)  /  B coz (0)  etu7→−  B hoz (u)  /  B hoz (0)  . Que constatezvous lorsqueu≈0 ? −→ 4 —On noteg(u) =  B hoz (u)  . Justifiez physiquement le fait que la fonctiong(u)est paire. Ecrire, √ en fonction deuet de la constante γ =8N µ o I/(5 5R)im ´ teepemtnild ´ evelop,leg˜(u)deg(u) a` l’ordre 4 au voisinage de 0. On donne

" #   −3/2   2   1 8 6 32 144 3 4 4 1+x±= √ 1∓x±x−x+o x 2 5 5 5 25 125

Page 2/7

n n avec∀n≥1,limx o(x) =0 x→0

Physique II, anne´e 2008 — filie`re PC

5 —dedelitu’ampnerlreuctn ´ lraseeletvr’lniimrete ´ D l’origine sur lequel la fonctiong˜(u)ne varie pas de plus de 2% en erreur relative. 6 —consid ´ erantlessnEurfigioatne ´ myeirtledsnoca montrer queB hr =B hr (r,z),B hz =B hz (r,z)etB h θ =0. −→ 7 —On cherche une expression deB h au voisinage de l’axeOzdne ´ evolU.ovecisitemrsnaditimpe ´ eempptlen nage, d’obtenir

2 d g˜ 2 B(r,z) =g˜(z) + α r+ β (r) hz 2 dz o ` u α est une constante et β une fonction paire de la variable r . En utilisant les e´quations de M AXWELL laerinrmte ´ ed valeur de α et l’expression de β (r)en fonction de γ ,Ret r . En de´duire les expressions de B hz etB hr en fonction de γ ,R,zetr.

Figure2:Coordonn ´ eescylindriques

Und ´ etecteurdeparticulescharg ´ eesne ´ cessitelaproductiond’unchampmagn ´ etiqueuniformeetper manent de normeB=0,5T dans un volume cylindrique de hauteurH= 4m et de diame`tre D=4m. Onveutcomparerlesdeuxsourcesde ´ critespre ´ ce ´ demment.Lesspiressontre ´ alis ´ eesavecunmate ´ riau conducteurdesectioncarr ´ eede2mmdec ˆ ote ´ etl’intensite ´ ducourantIA0.10 ` aeet ´ miliste

8 —sa’dlsceDnaedelo ¨ ıdl ´ enunsoguonreuℓ= 8m, de´terminer le nombre de spires que l’on doitutiliser, ´ eventuellementsurplusieurscouches,pourde ´ livrersurOz un champ susceptible d’eˆtre utilise ´ pourd ´ etecterdesparticulescharg ´ ees.End ´ eduirelalongueurtotaledefilconducteurquel’on doit utiliser.

9 —Pour l’utilisation des bobines de H ELMHOLTZ , on souhaite que le champ magne´tique ne varie pas de plus de 2% le long de l’axeOzsur toute la hauteurH . De´terminer le rayon des spires a` utiliser puis calculer le nombreN de spires pour chaque bobine. En de´duire la longueur totale de fil conducteur que l’on doit utiliser.

7−1 10 —onlcefiLrueuctduee ´ silitviucudtscondredevit ´ uctie σ =6.10 S. Apre`s avoir choisi la m . sourcedechamplaplus ´ economiqueenfil,calculerlapuissanceperduepareffetJ OULE dans celleci. Commentercer ´ esultat.Danslapratiquequellesolutiontechnologiquedoitonutiliserpourr ´ ealiser cette source ? I.B.—Champlin ´ eaire:bobinesde M H O LT Z H E L On reprend la configuration de H ELMHOLTZ mais avec deuxcourantsdeme ˆ meintensit ´ ecirculantensens contraireconform ´ ement ` alaFigure3avecmaintenant √ d=3R/re ´ sinvnatppeeseeconCettatiofigur.2e ´ eel« bobines de M HOLTZHEL »ni’snO.uahcmap ´ tresees −−→ magn ´ etiqueB moz xe’aesinrlsuecrabobs ´ rcpe ´ eOzau voisinage deO. 11 — En utilisant toujours la variable re´duite u= Figure 3 : Bobines de M HOLTZHEL −−→ z/R , e´tablir l’expression du champ B moz (u) ´ esucr ´ exerl’a Ozen un point de cotez.

Page 3/7

Tournez la page S.V.P.