ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AERONAUTIQUE ET DE L'ESPACE

Constante De Boltz - Mann

Description

Niveau: Supérieur

• concours d'entrée

ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AERONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT–ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2008 SECONDE EPREUVE DE PHYSIQUE Filiere PC (Duree de l'epreuve: 4 heures) L'usage de la calculatrice est autorise Sujet mis a disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE–EIVP, Cycle international Les candidats sont pries de mentionner de fac¸on apparente sur la premiere page de la copie : PHYSIQUE II — PC. L'enonce de cette epreuve comporte 7 pages. – Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur d'enonce, il est invite a le signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il aura ete amene a prendre. – Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des considerations numeriques) qui vous sembleront pertinents, meme lorsque l'enonce ne le demande pas explicitement. La bareme tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de la copie. DISPOSITIFS MAGNETIQUES Ce probleme, dont les differentes parties sont largement independantes, aborde quelques dispositifs utilises dans l'etude de certaines proprietes de particules fondamentales.

• axe oz


• solenoıde cylindrique de longueur


• ??? ???


• jet d'atomes de lithium


• champ magnetique


• composantemz du moment magnetique des atomes de lithium


• champ magnetique ??

Sujets

• École polytechnique
• ??? ???
• Champ magnétique

Informations

• Publié par: profil-nechor-2012
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Extrait

´ ´ ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ´ ´´ ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE LAERONAUTIQUE ET DE LESPACE, ´ ´´ DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, ´ DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT–ETIENNE, DES MINES DE NANCY, ´ ´ DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ´ ` ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI) CONCOURS DADMISSION 2008 ´ SECONDE EPREUVE DE PHYSIQUE Fili ` erePC (Dur ´ eedel ´ epreuve:4heures) Lusage de la calculatrice est autorise´ Sujet mis a` disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE–EIVP, Cycle international Lescandidatssontprie ´ sdementionnerdefaconapparentesurlapremi ` erepagedelacopie: PHYSIQUE II  PC. Le ´ nonc ´ edecette ´ epreuvecomporte7pages.

–Si,aucoursdele ´ preuve,uncandidatrepe ` recequiluisemble  etreuneerreurde ´ nonce ´ ,ilestinvite ´ a ` le signalersursacopieet ` apoursuivresacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesquilaurae ´ te ´ amen ´ e ` aprendre. –Ilnefaudrapash ´ esiter ` aformulerlescommentaires(incluantdesconsid ´ erationsnum ´ eriques)quivous semblerontpertinents,me  melorsquel ´ enonc ´ eneledemandepasexplicitement.Labare ` metiendracompte decesinitiativesainsiquedesqualit ´ esder ´ edactiondelacopie. ´ DISPOSITIFS MAGNETIQUES Ceprobl ` eme,dontlesdiffe ´ rentespartiessontlargementinde ´ pendantes,abordequelquesdispositifs utilis ´ esdansle ´ tudedecertainespropri ´ ete ´ sdeparticulesfondamentales.Dansdetre ` snombreuxcas lesparticules,charge ´ es,sontenmouvementdansunchampmagn ´ etiquepermanent. Donn ´ ees: −7−1−9−1 Constantes ´ electromagne ´ tiquesduvide:µ o =4!×10 H.m ," o =1/(36!)×10 F.m ,masse −31−19 de le´lectron : m=9,11×:earge ´ el ´ ementair01k,ghce=1,60×10 C,Constante de B OLTZ - −23 −1 23 −1 MANN VOGADRO k=1,38×10 J.K ,Constante dAN=6,02×10 mol. −→−→−→ Dans le syste`me de coordonne´es cylindriques (r,#,z)de base(e r ,e ! ,e z ), pour tout champ scalaire −→ −→ −→−→ V(r,#,z)et pour tout champ de vecteurF=F r e r +F ! e ! +F z e z , on donne : −−−−→ $V1$V$V −→ 1$(rF r )1$F ! $F z −→ −→−→ grad(V) =e r +e ! +e z div(F+ +) = $r r$ #$z r$r r$ #$z ! "! "! " − −→ − → −→ 1$F z $F ! $F r $F z $(rF ! )$F z e z −→−→ rot(F) =−e r +−e ! +− r$ #$z$z$r$z$ #r

I.Cre ´ ationdechampsmagn ´ etiquesayantdespropri ´ ete ´ sparti- culie`res

Deuxstructuresdechampsserontaborde ´ es:Lechampuniformeetlechampa ` variationlin ´ eaire.La re ´ giondelespacedanslaqueller ` egnentceschampsposs ` edelesm  emespropri ´ et ´ es ´ electromagne ´ tiques que le vide.

´ DISPOSITIFS MAGNETIQUES

I.A.Champuniforme:sol ´ eno ¨ desetbobinesdeH ELMHOLTZ

Onconside ` reunsole ´ no ¨ decylindriquedelongueur!comportantNspires jointives identiques, circu- laires de rayonRCe.l ´ soo ¨ eneed ´ eourantdintensittsapcruourapurcnI=cste.

1 derdacelsnadecalepnsOiefin ¨ od ´ lneudostionximapproelaisseudnolirprex.Eniblta −→ champmagn ´ etiqueBieltonse ´´ linre ´¨ ro ´ dep ` eelraaui-ci.ceurdecel sol

Uneautreme ´ thodeclassiquedeproductiondunchampmagn ´ etiqueuniformeestlutilisationdes bobines de H ELMHOLTZ . Les questions suivantes vont permettre dexpliciter leurs caracte´ristiques. On conside`re une spire circulaire C, de centreO, de rayonR, parcourue par un courant dintensit ´e −→ I=cste. LaxeOzest perpendiculaire au plan de la spire. On appelleB coz (z) le champ magne´tique cr ´ ee ´ parlaspireenunpointsitue ´ surOz ` calaetoz. −→−→−→ 2 ExprimerB coz (0)en fonction deµ o ,RetIpuisB coz en fonction deB coz (0)et de la variable sans dimensionu=z/R.

Onconside ` relemontagedelaFigure1constitut ´ ede deuxbobinesplatesde ´ paisseurn ´ egligeable,compos ´ ees chacune deNspires circulaires de rayonR,me  eemd axe de syme´trie Oz. Ces deux bobines ont pour centres desym ´ etrierespectifsO 1 etO 2 ,elles sont parcourues par des courants identiques dintensite´ I=cste. Les extr ´ emit ´ esdecesbobinessontse ´ par ´ eesdunedistance dH ELMHOLTZ est ob D=2dtenue. La configuration −→ lorsqued=R/2 . On noteB h ´ r ´ emacpalperalech ( configuration dH HOLTZ etB hr ,B h! ,B hz )les com- ELM −→ −→−→−→ posantes deB h dans la base(e r ,e ! ,e z )descoordonn ´ ese cylindriques (voir Figure 2). 3 On pose toujoursu=z/R , de´terminer le champ −→ magne´tique B hoz (u) cre´e´ par la configuration de la Fi- Figure 1 : Bobines de H ELMHOLTZ gure 1 en un point situe´ sur laxe Oz a` la cote z. Repre ´ sentersurunm  emegraphiquelesfonctionsu−→$ − −−→−− →−→−→ B uB0 etBu B0 .Que # coz ( ) # / # coz ( ) # →$− # hoz (u) # / # hoz ( ) # constatez-vous lorsqueu≈0 ? −→ 4 On noteB ug u. Justifiez physi ( )= # hoz ( ) # quement le fait que la fonctiong(u)est paire. Ecrire, √ en fonction deuet de la constante%=8Nµ o I/(5 5R)it ´ etlimemenloppeve ´ del,g(u)deg(u) a` lordre 4 au voisinage de 0. On donne

$ % 3/2 ! " 2 − ! " 1 86 32144 & ' 3 44 1+x±= √ 1'x±x−x+o x 2 525 125 5 5

n n avec∀n≥1,limx o(x) =0 x→0

PhysiqueII,anne ´ e2008fili ` erePC

5  De´terminer lamplitude de lintervalle centre´ sur lorigine sur lequel la fonctiong(u)ne varie pas de plus de 2% en erreur relative. 6  En conside´rant les syme´tries de la configuration montrer queB hr =B hr (r,z),B hz =B hz (r,z)etB h! =0. −→ 7 On cherche une expression deBau voisinage de h laxeOzi-voisimtlenempnpdl.oUve ´ eecsnadtemrepe ´ ti nage, dobtenir

2 d g 2 B hz (r,z) =g(z) +&r+'(r) 2 dz

o ` u&est une constante et'une fonction paire de la variable rnE.Mnasilituqu ´ eestldensioat AXWELL de´terminer la valeur de&et lexpression de'(r)en fonction de%,Ret r.nE ´ ddeiuerelsexpressionsdeBetBen fonction de hz hr %,R,zetr.

Figure 2 : Coordonne´es cylindriques

Unde ´ tecteurdeparticulescharge ´ esn ´ ecessitelaproductiondunchampmagne ´ tiqueuniformeetper- manent de normeB=0,5T dans un volume cylindrique de hauteurH=iam ` etre4emdtdeD=4m. Onveutcomparerlesdeuxsourcesd ´ ecritespr ´ ec ´ edemment.Lesspiressontr ´ ealis ´ eesavecunmate ´ riau conducteur de section carre´e de 2mm de cote´ et lintensite´ du courant Ieim ´ ttsil.a ` eeA001

8 l ´ soo ¨ enasecundDlsnauguerddeleno!=onleuqseripsederbmominerlenm,d ´ eter8 doitutiliser, ´ eventuellementsurplusieurscouches,pourd ´ elivrersurOzptceleib  edetrnuhcmaspsu utilise´ pour de´tecter des particules charge´es. En de´duire la longueur totale de fil conducteur que lon doit utiliser.

9 Pour lutilisation des bobines de H ELMHOLTZ leceetuqhuianoosquen ´ etimagnhampe, varie pas de plus de 2%le long de laxeOzsur toute la hauteurH . De´terminer le rayon des spires a` utiliser puis calculer le nombreNeralolgneuruotatebobine.End ´ eduiipsepsercruouqahdlfiedel conducteur que lon doit utiliser.

7−1 10  Le fil conducteur utilise´ est du cuivre de conductivite´ (=6.10 S.m . Apre`s avoir choisi la sourcedechamplaplus ´ economiqueenfil,calculerlapuissanceperduepareffetJ OULE dans celle-ci. Commentercer ´ esultat.Danslapratiquequellesolutiontechnologiquedoit-onutiliserpourre ´ aliser cette source ? I.B.  Champ line´aire : bobines de M HOLTZHEL On reprend la configuration de H ELMHOLTZ mais avec deux courants de meme intensite´ circulant en sens contraire conforme´ment a` la Figure 3 avec maintenant √ d=3R/atseleppee ´´ seevnreoiinrutaonfigttec2.Ce« EL bobines de M HOLTZH »champ.nOsni ´ treseesua −−→ magn ´ etiqueB moz cre´e´ par ces bobines sur laxe Ozau voisinage deO. 11  En utilisant toujours la variable re´duite u= Figure 3 : Bobines de M HOLTZHEL −−→ z/R , e´tablir lexpression du champ B moz (u)surl ´ e ´ ecraex Ozen un point de cotez.