ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE

Mono

Description

Niveau: Supérieur

• concours d'entrée

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI) CONCOURS D'ADMISSION SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE Filière PC (Durée de l'épreuve : 4 heures ; l'usage de la calculatrice est autorisé) Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, INT, TPE-EIVP Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : Physique II – Filière PC L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PC, comporte 8 pages. Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à pren- dre. Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions ultérieures. Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui semblera pertinent, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie. Notations : un vecteur est noté en gras (A) ; le vecteur unitaire pour la coordonnée ? est noté u? .

• passage de la lumière du vide


• pulsation ?


• onde


• matériaux composites réfractant la lumière dans la direction opposée


• régime dynamique


• champ electrique


• comportement du milieu pour ?0 ≤? ≤?

Sujets

• École polytechnique
• Champ électrique

Informations

• Publié par: les_cours_d_alain
• Nombre de lectures: 26
• Langue: Français

Extrait

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D’ADMISSION

SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Filière PC

(Durée de l’épreuve : 4 heures ; l’usage de la calculatrice est autorisé)

Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, INT, TPE-EIVP

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : Physique II – Filière PC    

L’énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PC, comporte 8 pages.

Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à pren- dre. Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions ultérieures.

Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui semblera pertinent, même lorsque l’énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.

Notations : un vecteur est noté en gras (A) ; le vecteur unitaire pour la coordonnéeαest noté u α .     

 

UN INDICE DE RÉFRACTION NÉGATIF ?

Nous nous proposons d’examiner quelques implications d’unindice négatif, phéno- mène dont on a spéculé l’existence dès 1964 et revendiqué l’observation en 2001, dans des matériaux composites réfractant la lumière dans la direction opposée à celle qui est dictée par les lois ordinaires de l’optique (Fig. 1) ! La même année, une réfutation détaillée des théories et des expériences de quarante ans de travaux était publiée. Cette réfutation n’a pas été, à (a) (b) ce jour, contredite. Seule la dernière ques-  tion de ce problème évoque rapidement un élément de réfutation, Fig. 1a : rayon lumineux dans un milieu dÕindice positif l’argument principal Fig. 1b : rayon lumineux dans un milieu dÕindice nˇgatif étant (a posteriori) sim- ple, mais nettement hors programmes. Les deux premières parties, assez proches du cours, concernent la propa- gation des ondes planes dans un matériau homogène et le passage de la lumière du vide dans un milieu homogène. Un paradoxe énergétique apparaîtra, qui sera levé dans les deux dernières parties.

Physique II ; 2004 ; filière PC  

1. Ondes planes dans un matériau homogène

L’espace étant repéré par le trièdre orthonormé Oxyz, on étudie la propagation d’une onde électromagnétique monochromatique plane dans un milieu isolant, neutre, linéaire et homo- gène de permittivité diélectrique = 0 et de perméabilité magnétique = 0 , l’une et    l’autre positives. En notation complexe standard, le champ électrique de cette onde, polari- sée selon la direction de vecteur unitaireu y s’écritE=E 0 u y expj t−kz ) , ce qui définit le vecteur de propagation k=ku z et l’amplitude vectorielle, E 0 , de ce champ ; E 0 est réel.      Quelques relations d’électromagnétisme et d’analyse vectorielle sont indiquées dans l annexe, en fin de problème. ’

θ 1– Déduire des équations deMaxwell l’expression du champBde cette onde et celle de   la valeur moyenne temporelle de son vecteur de Poynting, S t . Préciser l’orientation de ces    deux vecteurs. Interpréter physiquement le vecteur de Poynting et comparer sa direction et ation k . son sens à ceux du vecteur de propag  θ 2 dans un milieu, noté onde de réfraction d’une– L’indice n , est généralement défini   comme le quotient de la vitesse de cette onde dans le vide, c , par la vitesse de la lumière dans ce milieu, .Établir l’équation de propagation du champ électromagnétique (équation de d’Alembert) et en déduire l’expression den=cen fonction de r et de r . Cet indice est, à l’évidence, une quantité positive.

θ 3– Supposons maintenant que, par unartifice quelconque, on ait pu obtenirsimultanément  < 0  et < 0 . Reprendre l’étude des questions [1] et [2]. Comment définir, dans ces conditions, le sens de propagation de l’onde (selon k ou selon le vecteur de PoyntingS) ?

2. Passage de la lumière du vide dans un matériau homogène

+ On

θ′ k t ansmise

Onde rˇflˇchie

k r

θ′

z

θ

y

Matˇriau

Onde incidente x k 0

Fig. 2 : Notations et conventions de signe pour les lois de Descartes   Considérons les lois de Descartes de la réfraction, en prêtant attention à l’orientation des angles. Le plan d’équation z= 0 l’espace en deux régions ; la régionsépare z< 0 contient de l’air, dont les propriétés électromagnétiques sont celles du vide, la région   > 0 contient un isolant, linéaire, isotrope et, pour le moment, « ordinaire » : > 0 et > 0 . L’onde incidente, provenant de la région z< 0 , est monochromatique plane, de fréquence angulaire ; son vecteur d’onde, noté k  situé dans le plan etxOz, fait un angle > 0     avec la verticale (Fig. 2). Le champ électrique de cette onde est notéE i ; la notation    E i =A i expi   ⎢ ⎢   ωt+k 0 xsin ( θ ) −k 0 zcos ( θ ) ⎦  ⎥  ⎥  =A { = i A u i y expi [ ωt+k 0 xsin ( θ ) −k 0 zcos ( θ ) ]   144 2 ⎣ = 4 −   k 0 .r 44443   

 

Physique II ; 2004 ; filière PC  

précise la structure du champ et les notations : seule la composanteA iy  de l’amplitudeA i   n’est pas nulle ; le vecteur d’onde incident estk 0 = −k 0 sinu x +k 0 cosu z . 

θ 4– Quelle relation géométrique doit-on avoir entre k 0 et A i ?   θ 5 incidente engendre d’une part– L’onde onde réfléchie, de champ électrique uneE r ,      d’amplitude A r  vecteur d’onde dek r =k rx u x +k ry u y +k rz u z  et de fréquence angulaire r , d’autre part une onde transmise de champ électriqueE t , d’amplitudeA t de vecteur d’onde    k t =k tx u x +k ty u y +k tz u z et de fréquence angulaire t . En considérant, pour toute valeur de x de etyinstant, les relations de continuité en, et à chaque z0 des composantes appro- priées des champs électriques (on pourra éventuellement se référer à l’annexe), établir que tous les champs ont la même fréquence angulaire ; établir aussi les relations k tx =k rx = −k 0 sin ) , . k 0y =k ty =k ry =0. θ 6– Montrer que l’on retrouve ainsi les lois de Descartes pour la réfraction et la réflexion. θ 7– On considère maintenant le cas où < 0  et  < 0 , tel qu’envisagé à la question [3]. Si un milieu doté de ces deux propriétés existe, on dira que ce milieu estnégatif. On convient que, dans la région   > 0 , la direction de propagation de l’onde transmise est dans le sens desz croissant. Exprimer alors le vecteur k t . On illustrera ce résultat par un schéma, en    imposant > 0 , c’est-à-dire k 0 x <0  et k 0 z >0 . On représentera les vecteurs d’onde des ondes incidente et transmise, et l’on indiquera leurs directions respectives de propagation par des vecteurs unitairess i ets t . Peut-on dire, au sens de la question [2], c’est-à-dire en termes de rapport de vitesses, que l’indice du milieu est négatif ? θ8  – On définit maintenant l’indice de réfraction par n= s nis ni (  θ′′ )    ) , et′′se référant à la direction de propagation de l’énergie. Quel est, en ce sens, le signe den? θ 9– Et voici qu’une difficulté surgit : quel seraitle signe de la densité volumique d’énergie dans un tel milieu, si on la calculait en appliquant la formule classique de l’électromagnétisme ? Qu’impliquerait ce résultat, sachant que l’évolution spontanée d’un système se fait toujours vers une diminution de son énergie ?

Il est donc nécessaire, si les milieux négatifs existent, de considérer avec soin la notion de densité volumique moyenne d’énergie dans un diélectrique. Les parties suivantes une esquissent approche simplifiée de ce problème délicat.

3. Densité de l’énergie dans les diélectriques sans pertes

Un diélectrique linéaire isotrope homogène et de perméabilité r magnétique 0  est considéré ici comme une assemblée deN élec- M ˇq M trons par unité de volume, répartis uniformément dans l’espace (Nest constant). On note M éq  position d’équilibre d’un électron repré- la sentatif en l’absence de champ électrique et M la position de cet électron dans le cas général ; cela définit le vecteurr, représenté sur la figure ci-contre. Les électrons sont reliés élastiquement à leurs positions d’équilibre respectives par la force de rappel f= −Ar , où A  une constante positive. Leur pulsation propre est donc est

 

Physique II ; 200

4 ; filière PC  

A = , oùm    ω 0m électronique. Une autre pulsation caractéristique, la pulsationest la masse    2 Nq 2 = de plasma,   p , est définie parω p mε 0 , où 0 la permittivité diélectrique du vide etqla charge électronique ( q= −e= −1,6×10 −19 C .

Régime statique

On suppose qu’existe dans un tel milieu un champ électrostatique uniforme,E 0 . On noter E 0          1 2 le déplacement permanent des électrons sous l’action de ce champ ete 0 = 2 ε 0 E 0 .

θ 10– Exprimer la densité volumique d’énergie potentielleu pot =u pot A,N,r E 0 ; inter-     préter cette densité d’énergie en termes de travail électrique. On convient que la densité volumique totale d’énergie électrique, notéeu e , est ici la somme deu pot  et de la densité volumique de l’énergie du champ électrostatique. Établir alors la relationu e = r e 0 , avec 2 r =1+ s , oùχ s = p 2 désigne lasusceptibilité électrique statiquedu milieu. ω 0

Régime dynamique

Une onde électromagnétique plane transverse monochromatique de pulsation et de vec- teur d’ondek=ku z  propage maintenant dans le milieu. Le champ électrique de cette se onde est notéEt,z=E 0 cost−kz. La phase étant définie par=t−kz, on pose, en notation complexe,E=E 0 exp ( j ) . La longueur d’onde est très grande devant le déplace- ment r des électrons sous l’action du champ. On néglige l’absorption du milieu diélectri-    que à la pulsation . 

θ 11– Estimer la vitesse des électrons correspondant à la densité de courantj=10 A.mm −2   dans un métal (il faudra se donner ou trouver une estimation de la concentration électronique dans un tel milieu). Justifier que la force magnétique (force de Laplace) est négligeable. Exprimer, en notation complexe, les réponses forcées en position r et en vitesse v , à la force électrique. Donner les expressions des vecteurs réelsrt,z ) etvt,z ) .

θ 12p togreié’eneud umiq volsité denal euq rilbatÉ – tienleel u pot , associée aux oscillations des électrons décrites parr ( t,z ) , peut s’écrireu pot ( ω ) =e 0 ×g ( ω,ω 0 ,ω p ) ×cos 2 ( ϕ, oùg     est une fonction dont on donnera l’expression. Exprimergen fonction de s etx=. ω 0 θ 13itnsdea  lue qirné’d euqimulov éatlb–É nétique ergie ci u ci , associée à la vitessev ( t,z ) , 2 peut s’écrire sous la formeu cin ( ω ) =e 0 ω × ω 0 ( 0 ,ω p ) in 2 ( ϕ. 2 ×gω,ω ×s      θ 14 la puissance volumique cédée par l’onde au milieu. En déduire que la– Déterminer densité volumique de travail reçu par les électrons,w, s’écrit (sous l’hypothèse que

 

Physique II ; 2

004 ; filière PC  

2 w=0 lorsqueE 0 cos=0 , c’est-à-dire lorsqueϕ=) :  2 w ( ω ) =e 0 ω 0 2 − p ω 2 cos 2 ( ϕ ) . Une écriture équivalente de ce résultat estw ( ω ) =e 0 1− s 2 cos 2 ( ϕ ) . θ 15– Contrairement à la situation correspondant une excitation statique du milieu, le à travail volumique des forces électriques w ( ) et la densité d’énergie potentielle u pot ( ) ne sont maintenant plus identiques. Définissantu 1 op ) t ω ) paru pot ω ) =u 1) pot ( ω ) +w ( ω ) , montrer que la somme u m =u cin ( ω ) +u ( p 1 o ) t ( ω )  interprétable comme une densité uniforme est      d’énergie mécanique « immobile », c’est-à-dire non propagative.

θ 16– En s’inspirant notamment de la question10 et compte-tenu des résultats de la ques- tion 14, définir une densité totale d’énergie électrique paru e = 1 2 ε 0 ε r ( ω ) 1 E 23 2   , avec =E 2 cos 2( ϕ ) 0   ε r ( ω ) =1+ χ e ( ω, introduisant ainsi la permittivité diélectrique relative, r et la susceptibi-      ω 2 0 lité électrique dynamique, s , du milieu. Montre r queχ e ( ω ) ω = 2 0 −ω 2 χ s .    θ 17notation complexe, la relation de Maxwell-Ampère dans le milieu que, en – Justifier diélectrique considéré s’écrivek∧B= c 2 ⎜    ⎝ N ε q 0 r −E ⎠   ⎟      1 , où c= est la vitesse du   ε 0 µ 0 rayonnement électromagnétique dans le vide. Déterminer la relation de dispersion du milieu sous la formek 2 =F ( ω 2 . θ 18sommairement la courbe représentative de la relation – Tracerk 2 =F ( ω 2  et en déduire celle de la relation ( k ) pourk>0 et> On introduira la pulsation longitudi-0 . naleω L =ω 02 +ω 2 p (x L 2 =1+ χ s ). Quel est le comportement du milieu pour 0 ≤ ≤ L ?

c θ 19– Établir que la vitesse de phase ϕ estυ ϕ = 1 . Établir, entre ϕ et la vitesse de [ ε r ( ω ) ] 2       groupe g , la relationυ ϕ   ⎝  = ⎜  1+ 2 1 1+ χ e d dω e   ⎠  ⎟  υ g     ⎜ ⎝ = 1 1 χ+ +g e ⎠  υ  ⎟ g ( e  est défini à la question 16). En déduire l’inégalité ϕ ≥ g .

θ 20Montrer que la densité d’énergie magnétique– u b et la densité d’énergie électriqueu e   sont égales. Exprimer, en fonction dee 0  de et e , la moyenne temporelle de la densité d’énergie électromagnétiqueu em =u e +u b .

θ 21– Exprimer le vecteur de PoyntingS fonction de enc,k, 0 ,E 0 , et du vecteur unitaireu k de la directionk. Exprimer la moyenne temporelle deS t en fonction dee 0 et de r . Exprimer la moyenne temporelle de la densité totale d’énergie,u t =u em +u m en fonc- tion de e 0 et de g ( ω,ω 0 ,ω p .     

 

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C  

θ 22– Vérifie rel la u t r ation u em propageu em ?

= ϕ . À quelle vitesse se propage u t υ g  

? À quelle vitesse se

θ 23– Proposer une interprétation des résultats obtenus dans cette partie, en remarquant que seule une partie de u t se propage véritablement.

4. Densité de l’énergie dans les diélectriques faiblement absorbants Réponse linéaire causale Le vecteur excitation électriqueD ( test défini parDt ) = ε 0 E ( t ) +P ( t, oùP ( tdésigne le             vecteur polarisation. Dans un milieu linéaire et isotrope,P ( t ) = ε 0 ∫ 0 ∞ h ( u ) E ( t−u ) du, oùh, diteréponse percussionnelleréelle du temps, déterminée par les propriétés, est une fonction du milieu. Cette relation montre que la polarisation à l’instanttest due au champ électrique à tous les instants antérieurs à l’instanttconsidéré (c’est une expression de la causalité).

θ 24 est la dimension de la fonction– Quelleh? Établir que, pour le champ électrique sinusoïdalE ω ( t ) =E 0 ( ) exp ( −j t ) et pour un milieu linéaire et isotrope caractérisé par sa réponse percussionnelleh , on peut écrire1 D 0 ) = ) E 0 ) = 0 [ 1+ e ( ) ] E 0 ( ) : 14243 =ε r ( ω )   exprimer la permittivité complexe e en fonction d’une intégrale faisant intervenirh.

2 θ 25 donne– Onh ( u ) = ν 0 p exp ⎜  γ −  ⎛  ⎝2 u ⎞  ⎠  ⎟  sin ( ν 0 u ) . Les paramètres p , et 0  ont tous la dimension de l’inverse d’un temps. Tracer l’allure deh u ) . Calculer r ( ) ; l’intégration est facilitée si l’on pose  sin ( ν 0 u ) = expj 0 u 2 − j exp−j 0 u . On trouvera pour r  une 2 forme familière, en fonction de p , etω 02 = ν 02 + 4 .  Onde monochromatique Le champ électrique d’une onde électromagnétique plane monochromatique de pulsation 0   s’écrit, en notantg* le complexe conjugué d’une grandeurg, vectorielle ou scalaire : E ( t ) = ℜ [ E 0 exp ( −jω 0 t ) ] = 2 1 [ E 0 exp ( −jω 0 t ) +E 0 * exp ( jω 0 t ) . En termes de la permittivité complexe= ′ +j′′, D 0 = [  ′ ε ( ω 0 ) +jω′ ′ ε  0 ) ] E 0 etD * 0 = ε*ω 0 ) E 0 . L’identité div ( S ) =div ( E∧H )  ⎜ −  ⎝   =E. ∂ ∂ t D +H. ∂ ∂ t B ⎟    ⎠  , déduite des équations de Maxwell, ∂D pour un milieu dénué de courants libres, fait intervenir la quantitéw e ( t ) =E. ∂t , densité volumique de puissance dissipée dans ce milieu diélectrique.

                                                     

1  La transformée de Fourier deX(t) est notéeX(ωsymbole de la grandeur est conservé, seul a) ; le changé la variable dont cette dernière dépend : temps, ou pulsation. Aucune confusion n’est possible.

 

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θ 26– Montrer que la moyenne temporelle dew e tsur une périodeT 0 est 1 ( ) E 2 0 w T e 0 = 2 ω 0 ωε ′ ′  0 . Onde quasi monochromatique Un champ vectoriel réel quelconque,Vt, est notéℜ [ Vt ] :V ( t ) = 1 2 [ V ( t ) +V* ( t ) ] . Les composantes de Fourier deVt, dites encorecomposantes spectralessont définies par la relation, que l’on admettra,V ( t ) = ∫ V 0 ( ω ) exp ( −jωt ) dω: c’est l’analyse de Fourier −∞ vectorielle deVt.

On nomme onde quasi-monochromatique de pulsation fondamentale 0 , et l’on noteXt, le produit par exp−j 0 td’une fonction vectorielle complexeX 0 tlentement variable à 2 l’échelle de la périodeT 0 =. La fonction vectorielleX 0 tse nomme enveloppe (voir un ω 0 exemple en annexe). On a donc Xt=X 0 texp−j 0 tet réciproquementX 0 t=Xtexpj 0 t. ∞ ) Par analyse de Fourier deXt, on a aussi X 0 ( t ) = ∫ −∞ X 0 ( ωexpj ( ω 0 −ω ) t ] dω .

θ 27– On considère le champ électriqueEt=E 0 texp−j 0 t d’une onde électroma- gnétique quasi-monochromatique de pulsation fondamentale 0 . Montrer que la moyenne temporelle deE 2 ( t ) sur une périodeT 0 estE 2 T 0 = 2 1 E 0 .E 0* T = 1 2 E 02 ( t ) .   0

θ 28lentement variableentraîne la relation, que l’on admettra– L’hypothèse d’enveloppe 1, * ⎛ dF* E.− ∂ ∂ D t T 0 = 2 1 ⎪ ⎪ ℜ ⎩ ⎨      F ( ω 0 ) E 0 .E 0 j  ⎝  ⎜ dω ⎠  ⎟  ⎞ =ωω 0 E 0 . ∂ ∂ E t 0 * ⎬ ⎪ ⎭ ⎪       , avecF= −j. orbaE ∂D T 0 Démontrer alors que, dans un milieu non abs nt, ∂t T 0 = 2 d 1 [ ω dω ε ( ω ) ]∂E 2 . . ∂t

θ 29– Une théorie de la propagation dans un milieu dispersif de perméabilité magnétique ( ) montre que la moyenne temporelle de la densité d’énergie électromagnétique est

⎪  u t = 1 2 ⎨ ⎩ ⎪ ⎪       d [ ω dω εω ) ] E 2 + d [ ω dω ωµ ) ] H 2 ⎬  ⎪ ⎭   . [ ] > utili- er en0 . M Il n’est plus nécessaire dès lors d’avoir>  d  d  il suffit que0 , ) ontr , sant un résultat de la question 20, que les champs monochromatiquesEt ) =E 0 exp ( −j 0 t )   et Ht=H 0 exp−j 0 t  vérifient cette théorie dans le milieu diélectrique négatif de per-

                                                      1 relation, le fait que les composantes spectrales a utilisé, pour l’établissement de cette  On E 0 ( sont négligeables pour des pulsations ne vérifiant pas − 0 << 0 .

 

)  

Physique II ; 2004 ; filière PC  

méabilité magnétique = 0 de la troisième partie, c’est-à-dire, en d’autres termes, que, si 2 ε r ( ω ) =1 ω + 2 − p ω 2 , on a bienu t =e 0 1+g ) , où l’expression dega été établie à la ques- 0 tion 12.

Réfutation !

La théorie et la mise en évidence des matériaux d’indice négatif ont été réfutées en 2001, après une quarantaine d’année d’efforts soutenus sur le sujet. Voici un élément de réfutation tel que proposé par Valanju :

A C

B

D

Le matériau négatif est à droite. Supposons que BA représente un front d’onde de signal (et pas de phase), perpendiculaire aux rayons (B est situé sur l’interface) et supposons que le signal continue de se propager de la gauche vers la droite ; cela signifierait que le point A passe instantanément en C sur l’interface puis en D.

θ 30– Quelles sont les implications de cette affirmation ?

ANNEXE A) Un exemple d’enveloppe lentement variable 1 Le trait plein représente la fonction t 2 0.5 exp ⎥−  ⎤ ⎢  ⎡ ×   sin 2πt=E σ t×sin 2πt. 0

-0.5

-1 0

20

15

10

5

2

4

6

0 0 0.05 0.1 0.15 B) Équations de Maxwell dB rot ( E ) = −   dt

8

0.2

⎣ ⎢  2σ 2 ⎦ ⎥   ) (( ) (    Les pointillés représentent l’enveloppe ±E σ ( t, avec=8.   La composante de Fourier deE σ ( t, soit   E σ ( ω ) ∝exp− ⎡  ⎣  ⎢  1 2 ( σω ) 2  ⎦  ⎥ ⎤  ,    est représentée ci-contre et en trait plein, pour   la figure en pointillés représente ωE σ ω .    

∂ rot ( H ) =j+ D t

C) Relations de continuité   ( D 2 −D 1 ) .n 12 = ( B 2 −B 1 ) .n 12 0

div ( D ) = ρ

j=n 12 ∧ s

H 2 −H 1 )

div ( B ) =0

>0 ;

n 12 ∧ ( E 2 −E 1 ) =0 

D) Ondes planes X=X 0 exp [ j ( k.rω−t ) , divX∧Xet ∂X = −jωX. Si        ( ) =jk.X,r   ot ( X ) =jk ∂t           FIN DE L’ÉPREUVE