ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE

Description

Niveau: Supérieur

• concours d'entrée

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2002 PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE Filière PC (Durée de l'épreuve : 3 heures ; l'usage de la calculatrice est autorisé) Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, INT, TPE-EIVP Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : Physique I – Filière PC L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PC, comporte 7 pages. • Si, au cours de l' épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d' énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu' il est amené à prendre. • Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions ultérieures, même s'il n'a pas été démontré. • Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui semblera pertinent, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie. • Les vecteurs sont notés en gras.

• axe oz


• trajectoires dans l' espace


• résonance cyclotron ionique


• trajectoire dans le plan xy


• courbure maximale de la pro- jection horizontale de la trajectoire


• source de plasma capable


• champ electrique

Sujets

• École polytechnique
• Champ électrique

Informations

• Publié par: les_cours_d_alain
• Nombre de lectures: 53
• Langue: Français

Extrait

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D’ADMISSION 2002

PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Filière PC

(Durée de l’épreuve : 3 heures ; l’usage de la calculatrice est autorisé)

Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, INT, TPE-EIVP

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : Physique I Œ Filière PC

L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PC, comporte 7 pages.

·Si, au cours de l' épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d' énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu' il est amené à prendre.

·i©l n©aTout résultat fourni dans l©énoncé peut être utilisé pour les questions ultérieures, même s pas été démontré.

·ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui semblera pertinent, même lorsque Il lé©noncéneledemandepasexplicitement.Lebarèmetiendracomptedecesinitiativesainsiquedes qualités de rédaction de la copie. ·Les vecteurs sont notés en gras.

SEPARATION ISOTOPIQUE

Les problèmes A et B de cette épreuve peuvent se traiter indépendamment l' un de l' autre .

A. S�paration par r�sonance cyclotron ionique

Partie I : Mouvement d'un ion dans un champ magn�tique uniforme

Les vitesses des diverses particules consid�r�es ici seront tr
s inf�rieures celle de la lumi
re. Les donn�es suivantes (notations standard) serviront dans plusieurs questions (u.m.a = unit�de masse atomique).

%31 mkg9,11 10 �lectron m 235# 1235 u.m.a. U

%19 1 eV 1,60 10 J m 238 + 1238 u.m.a. U

%27 1 u.m.a. 1,66 10 kg %7 -1 m14p´10 H.m { 0 »12,63

Physique I Œ Fili�re PC - 2002

On �tudie le mouvement d' une particule charg�e de massem, de chargeq et de vitessev dans un champ magn�tique uniforme et stationnaire B1Bu (B 0 axe> 0) orient�selon l' 0 0 Ozune base orthonorm�er�f�rentiel galil�en muni d' d' un u,u,u . Les composantes de x y z la vitesse dans ce r�f�rentiel sont not�es v , v et v . x y 1fondamentale de la dynamique dans ce r�f�rentiel. On obtient unl' �quation Œ
crire q systme diff�rentiel coupl�, reliant v , v , v et leurs d�riv�es premires. x y 2�quation diff�rentielle du deuxime ordre portant surŒ En d�duire l' v . On introduira la q x q B 0 q pulsation cyclotron w1 et e1 . c m q 3la solution du systme de la question 1, sachant que les composantes de laŒ Donner q vitesse l' instantsont 0 v x 01v ^ 20 ,v y 010 etv z 01v // 20 . 4Œ Donner alors les �quations du mouvement en prenant l' origine des coordonn�es q comme position initiale et en introduisant lerayon de Larmor rv . c 5Œ Nommer la trajectoire, indiquer son allure sur un sch�ma et le sens de parcours d' un q ion positif sur cette dernire. 1 2 valeurs et w cation num�rique :B 0 = 2,5 T et V . Calculer les r Le c e 6Œ Appli mv ^ 110 e q 2 235# de r  et de w  pour un �lectron, r  et w un ion pour  U et r et w  pour un ion L c L1c1L2c2 238# U . À quel domaine des ondes �lectromagn�tiques appartiennent les fr�quences cyclotron ioniques des ions d' uranium ?

Partie II : La r�sonance cyclotron ionique

Au champ magn�tique uniforme et stationnaire pr�c�dentB 0  se superpose mainte- nant un champ �lectrique uniforme Et1 %Eusinwt%Eucoswt . On se place 0 0x0y dansl™approximation des r�gimes quasi stationnairesint�resse uniquement
un ionon s' et l' 2 positif (e= + 1). On introduira la vitesse transverse complexe w1v#jvj1 %1 . x y ± O abord lere d' c q7n considas non r�sonant w¹w . À l' instant initial,v x 01v ^ , c v y 010 etv z 01v // instantexpression suivante de la vitesse
l' ; �tablir alors l' t: qE 0 1 % ! . w v ^ exp ( %jw c t ! # [ exp ( %jw c t ! %exp ( jwt ] m ( w c %w ! 8± tablir l' expression originedu vecteur position de la particule en fonction du temps, l' q r ^ 1x#j y O des coordonn�es �tant la position initiale. On pourra introduire .

-0.5

-1

 AbscisseX(u)

0.5

1

0

0 -1 -0.5

50

0.5

25

75

0 -0.5 -1 -1.5 -2

150

125

9± �tablir, dans le cas r
sonant w1w avec les mmes conditions initiales, et q c l' expression de la vitesse transverse complexe, sous la forme w t1F texp%jwt . Que c dire de la projection de la trajectoire dans le plan Oxy? 10des courbes donn
es ci-dessous. On a utilis
les unit
s r
duitesl' allure ± Commenter q x y z X1 , Y1 , Z1  et u1wt . Pour la lisibilit
des figures, les
chelles des axes c r r r L L L pour les trajectoires dans l' espace et leurs projections dans le planXYne sont pas les mmes. Les calculs ont
t
effectu
s avec les valeurs num
riques suivantes : 1 3 1 E150 V.mv12, 84´10 m.sB12, 5 T 0^0 w 3%1 11, 05v12, 00´10 m.s 0£wt£50p / /c w c

-2

Physique I ± Fili�re PC - 2002

-1

75

-2

 Ordonn�eY(u)

25

50

-1

1

 Trajectoire dans l' espace

-1.5

100

75

125

150

Trajectoire dans le planXY

-1

-0.5

-0.5

0.5

100

1

100

50

Cas non r�sonant w¹w c

25

-0.5

-1.5

-1

1

-1.5

25

0

0

0.5

-2.5

-2

-1

100 1.5

1

-1.5

-0.5 -0.5

0.5

0.5

-2.5 AbscisseX(u) Ordonn�eY(u)

100

75

-1

125

150

100

50

-0.5

25

-1

-2

150

125

50

75

-1

 Trajectoire dans le planXYdans l' espace Trajectoire

11± Justifier le terme der�sonance cyclotron ionique. Pourquoi faut-il que dans les dispo-q sitifs r�els le champ magn�tostatiqueB 0 soit homog
ne mieux que 0,5 % pr
s ?

-1

-0.5

-2

1

1.5

0.5

0

-1.5

12± Justifier la structure (direction, sens chaque instant) du champ �lectrique n�cessaire q pour observer la r�sonance cyclotron ionique.

-1.5

75

50

Physique I ± Fili�re PC - 2002

25

Cas r�sonant w1w c

13± Application num�rique : calculer le rayon de giration (courbure maximale de la pro-q 235# jection horizontale de la trajectoire) atteint par un ion r�sonant U  de vitesse 3%1%1 v // 12´10 m.samplitude, excit�par un champ d' E 0 150 V.m, dans le champB 0  pr�- c�dent de 2,5 T, qui s' �tend sur une longueur de 2 m compt�e sur l' axe Oz.

Physique I ± Fili�re PC - 2002

Partie III : Principe de la s�paration isotopique par r�sonance

La m�thode de s�paration isotopique par r�sonance cyclotron ionique repose sur des r�sultats des parties I et II. On veut cr�er un champB 0 dans un cylindre circulaire (rayon 25 cm, longueur 2 m)
l' aide d' un enroulement de type sol�noïdal parcouru par un courant I constant. Le bobinage 0 est constitu�de 23 km de fil en alliage supraconducteur Niobium-Titane, de diamtre (iso- lant compris) �gal
2 mm. En dessous d' une certaine temp�rature, la r�sistivit�d' un mat�- riau supraconducteur est rigoureusement nulle. L' enroulement est port�
une temp�rature suffisamment basse pour qu' il en soit ainsi. Le champ produit doit tre aussi uniforme que possible, et d' intensit� ,5 T . 14intensit�du courantest l' ± Quelle I 0 qui doit parcourir le fil ? On explicitera les diver-q ses approximations faites. 15± Quelle serait la puissance Joule d�gag�e par le mme conducteur en cuivre (conduc-q 7%1%1 tivit� du cuivres1,57´10W.mPourquoi choisir un alliage supraconducteur ?) ? Quelle conclusion en tirer sur le domaine de temp�rature probable de fonctionnement de ce bobinage ? Citez un des buts des recherches men�es actuellement sur les supraconducteurs.

R

R

V ,w

y x

B 0

L

16champ �lectrique± Le E(t) est produit par q deux condensateurs plans ; aprs avoir rappel� les propri�t�s du champ cr��par un condensateur plan soumis
une tensionU(t), illustrer sur un sch�ma la manire de situer les condensateurs l' un par rapport
l' autre et par rapport
la direc- tion Ozdu champB 0 . On souhaite alimenter ces deux condensateurs
partir d' une unique source id�ale de tension. Ces deux condensateurs ont la mme capacit�C et un sursont sans influence l' l' autre. Le montage ci-contre peut-il convenir ? tayez votre r�ponse en d�terminant la valeur de l' inductanceLde la r�sistance et Rfonction en de la capacit�C et de la pulsationwen vous et appuyant sur des ordres de grandeur acceptables.

17cr�e un champ �lectrique antagoniste au champ± L' ensemble des ions r�sonants E(t) ; q quelle caract�ristique du mouvement des ions en est-elle la cause ? Cela conduit
une dimi- nution du champ �lectrique introduit et l' on doit mettre en œuvre uneantenne de couplage accordable dans la gamme des fr�quences cyclotron ionique (notablement diff�rente des deux condensateurs envisag�s pr�c�demment) pour cr�er le champEdans le volume d�sir�.

18un autre exemple de milieu mat�riel dans lequel il est difficile de± Connaissez±vous q faire p�n�trer un champ �lectrique variable ? À quoi cela est-il dû ?

D' un côt�de la r�gion où rgnent les champs Et  et B  se trouve une source de 0 plasma capable de volatiliser puis d' ioniser un m�tal (par exemple de l' uranium naturel, m�lange des deux isotopes 235 et 238). Un champ �lectrostatique d' amplitude modeste donne
ces ions (suppos�s tous ionis�s une seule fois) une vitesse v // > 0 au moment où ils

S

F

y

A

Physique I ± Fili�re PC - 2002

entrent dans le domaine o� r
gnent Et  et B . La collecte des ions se situe dans l' autre 0 partie du dispositif schmatisci-dessous.

SOURCE

Antenne � la fr
quence cyclotron
lectronique

Cible

%V

a

e

n r

EXCITATION

Bobine supraconductrice

Antenne � la fr
quence cyclotron ionique

B 0 uniforme

Bobine supraconductrice

COLLECTE

Plaques 1

Lgendea:1atome produit par pulvrisation e1lectron du plasman1 ion non rsonantr1 ion rsonant

Plaque 2

Vr
pulsif

19± On antenne de couplage sur la valeuralimentation de l' r�gle la fr
quence d' w1w , 1 235# telle que d
finie la question 6.Sch
matiser par un dessin les trajectoires des ions U et 238# U de la source. Que r
colte-t-on sur l' ensemble des plaques dispos
es parall�le- issus ment (plaques ) ? et sur la plaque ? ¬ ­ 20« Uranium enrichi » ? À quoi sert l' Uranium enrichi ? Pourquoi faut-± Oretire-t-on l' q il l' enrichir ? Connaissez-vous d' autres proc
d
s d' enrichissement de l' Uranium ? Fin du problème A

B. M�thode spectrographique

O

A 1

x

F 1

D

Une source S d' ions positifs �met un pinceau �troit de particules de masse m de charge et q. Ces ions, dont la vitesse initiale peut
tre suppos�e nulle, sont acc�l�r�s par une diff�rence de potentielU. Le faisceau traverse une fente fine centr�e sur le point F et arrive en A dans la r�gion gris�e, o rgne un champ magn�tostatiqueBconstant, perpendiculaire au plan de la figure.

21± La vitessevdes ions l' entr�e dans la zone de q

Physique I ± Fili�re PC - 2002

champBest suppos�e
tre dans le plan de la figure, et perpendiculaire Oy. D�terminer la nature de la trajectoire dans cette zone, exprimer son rayon de courbureRen fonction de m , q,Uet B1B . %19%25 22num�riques :± Applications q11,60´10 , m13,90´10 kg  et q 1 50 kV entr�e dans la zone de champ. D�terminer la vitesse des ions l' B. D�terminer le champ n�cessaire pour que 5 c . 23± Les ions ne sont soumis au champBque dans une r�gion limit�e par deux plans q perpendiculaires dont les traces sont Ox et Oy et dont la bissectrice ext�rieure est OF. On centre en F 1 , sym�trique de F par rapport O, une fente perpendiculaire au faisceau. Montrer que les ions traversant la premire fente avec une vitessevde m
me module qu' la question 21 (pinceau homocin�tique) et de direction faisant un angleepetit avec FA dans le plan de la figure viennent converger, apr�s travers
e de la r
gion gris
e, en un point8 1 l' on  que pr
- cisera. Un argument simple de sym
trie suffira. 24se passe-t-il pour un pinceau homocin
tique issu de F, dont le vecteur± Que q vitesse fait un petit angle e , cette fois-ci avec le plan de la figure ? Quelle longueur l , per- pendiculairement au plan de la figure, doit-on donner la fente centr
e en F 1 r
colter pour tous les ions
mis de part et d' autre du plan de la figure ? Application num
rique : %3 e¢ 110 ra . max 25isotopes de massesfaisceau
mis par la source est maintenant un m
lange d' ± Le q respectives m  et m1m#D , avec 0 0 Dm00m . On ne change pas les r
glages du spectrographe et les ions de massem 2  convergent au point8 2 . D
terminer la distance j18 1 8 ( ions de massesentre les pinceaux d' m et m traversent le plan de la lorsqu' ils fente centr
e en F 1 . Le r
sultat sera finalement exprim
en fonction deR,Dmetm 1 .

26± Quelle largeur maximale s00R donner la fente centr
e en F peut-on q pour obtenir une s
paration effective des deux isotopes au niveau de la fente, de largeurj, Dm3 centr
e en F 1 ? Application num
rique : calculerpour 5 c et 1 . m235 1 27± L' intensit
du faisceau est 5 m . La source est aliment
e en Uranium q 235#238#235# naturel contenant 0,7 % de U et 99,3 % U . Quelle quantit
de l' isotope U pour- rait-on isoler ici en une ann
e de fonctionnement continu ? Quels avantages et quels incon- v
nients voyez-vous ce dispositif de s
paration des isotopes de l' uranium ? 28± Dans la question 25, de quels r
glages s' agit-il ? q

Fin de la partie B

FIN DE L'ÉPREUVE