ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE

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Niveau: Supérieur

  • concours d'entrée


ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI) CONCOURS D'ADMISSION 2002 PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE Filière PC (Durée de l'épreuve : 3 heures ; l'usage de la calculatrice est autorisé) Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, INT, TPE-EIVP Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : Physique I – Filière PC L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PC, comporte 7 pages. • Si, au cours de l' épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d' énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu' il est amené à prendre. • Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions ultérieures, même s'il n'a pas été démontré. • Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui semblera pertinent, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie. • Les vecteurs sont notés en gras.

  • axe oz

  • trajectoires dans l' espace

  • résonance cyclotron ionique

  • trajectoire dans le plan xy

  • courbure maximale de la pro- jection horizontale de la trajectoire

  • source de plasma capable

  • champ electrique


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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)
CONCOURS D’ADMISSION 2002
PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Filière PC
(Durée de l’épreuve : 3 heures ; l’usage de la calculatrice est autorisé)
Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, INT, TPE-EIVP
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : Physique I Œ Filière PC
L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PC, comporte 7 pages.
·Si, au cours de l' épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d' énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu' il est amené à prendre.
·i©l n©aTout résultat fourni dans l©énoncé peut être utilisé pour les questions ultérieures, même s pas été démontré.
·ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui semblera pertinent, même lorsque Il lé©noncéneledemandepasexplicitement.Lebarèmetiendracomptedecesinitiativesainsiquedes qualités de rédaction de la copie. ·Les vecteurs sont notés en gras.
SEPARATION ISOTOPIQUE
Les problèmes A et B de cette épreuve peuvent se traiter indépendamment l' un de l' autre.
A. S�paration par r�sonance cyclotron ionique
Partie I : Mouvement d'un ion dans un champ magn�tique uniforme
Les vitesses des diverses particules consid�r�es ici seront trs inf�rieures celle de la lumire. Les donn�es suivantes (notations standard) serviront dans plusieurs questions (u.m.a = unit�de masse atomique).
%31 mkg9,11 10 �lectron m235#1235 u.m.a. U
%19 1 eV 1,60 10 J m238 +1238 u.m.a. U
%27 1 u.m.a. 1,66 10 kg %7 -1 m14p´10 H.m { 0 »12,63
Physique I Œ Fili�re PC - 2002
On �tudie le mouvement d' une particule charg�e de massem, de chargeq et de vitessev dans un champ magn�tique uniforme et stationnaireB1Bu(B0axe> 0) orient�selon l' 0 0 Ozune base orthonorm�er�f�rentiel galil�en muni d' d' un u,u,u. Les composantes de x y z la vitesse dans ce r�f�rentiel sont not�esv,vetv. x y 1fondamentale de la dynamique dans ce r�f�rentiel. On obtient unl' �quation Œ crire q systme diff�rentiel coupl�, reliantv,v,vet leurs d�riv�es premires. x y 2�quation diff�rentielle du deuxime ordre portant surŒ En d�duire l' v. On introduira la qx q B 0q pulsation cyclotronw1ete1. c m q 3la solution du systme de la question 1, sachant que les composantes de laŒ Donner q vitesse l' instantsont 0 vx01v^20 ,vy010 etvz01v//20 . 4Œ Donner alors les �quations du mouvement en prenant l' origine des coordonn�es q comme position initiale et en introduisant lerayon de Larmorrv. c 5Œ Nommer la trajectoire, indiquer son allure sur un sch�ma et le sens de parcours d' un q ion positif sur cette dernire. 12 valeurs etw cation num�rique :B0= 2,5 T etV. Calculer lesrLe c e 6Œ Applimv^110 e q 2 235# der et dew pour un �lectron,r etwun ion pour  Uetretw pour un ion L c L1c1L2c2 238# U. À quel domaine des ondes �lectromagn�tiques appartiennent les fr�quences cyclotron ioniques des ions d' uranium ?
Partie II : La r�sonance cyclotron ionique
Au champ magn�tique uniforme et stationnaire pr�c�dentB0 se superpose mainte-nant un champ �lectrique uniformeEt1 %Eusinwt%Eucoswt. On se place 0 0x0y dansl™approximation des r�gimes quasi stationnairesint�resse uniquement un ionon s' et l' 2 positif (e= + 1). On introduira la vitesse transverse complexew1v#jvj1 %1. x y ± O abord lere d' c q7n considas non r�sonantw¹w. À l' instant initial,vx01v^, c vy010 etvz01v//instantexpression suivante de la vitesse l' ; �tablir alors l' t: qE 0 1 %!. w v^exp(%jwct!#[exp(%jwct!%exp(jwt] m(wc%w! 8± tablir l' expression originedu vecteur position de la particule en fonction du temps, l' q r^1x#j y O des coordonn�es �tant la position initiale. On pourra introduire .
-0.5
-1
 AbscisseX(u)
0.5
1
0
0 -1 -0.5
50
0.5
25
75
0 -0.5 -1 -1.5 -2
150
125
9± �tablir, dans le cas rsonantw1wavec les mmes conditions initiales, et qc l' expression de la vitesse transverse complexe, sous la formew t1F texp%jwt. Que c dire de la projection de la trajectoire dans le plan Oxy? 10des courbes donnes ci-dessous. On a utilisles units rduitesl' allure ± Commenter q x y z X1,Y1,Z1 etu1wt. Pour la lisibilitdes figures, les chelles des axes c r r r L L L pour les trajectoires dans l' espace et leurs projections dans le planXYne sont pas les mmes. Les calculs ont teffectus avec les valeurs numriques suivantes : 1 3 1 E150 V.mv12, 84´10 m.sB12, 5 T 0^0 w 3%1 11, 05v12, 00´10 m.s 0£wt£50p / /c w c
-2
Physique I ± Fili�re PC - 2002
-1
75
-2
 Ordonn�eY(u)
25
50
-1
1
 Trajectoire dans l' espace
-1.5
100
75
125
150
Trajectoire dans le planXY
-1
-0.5
-0.5
0.5
100
1
100
50
Cas non r�sonantw¹w c
25
-0.5
-1.5
-1
1
-1.5
25
0
0
0.5
-2.5
-2
-1
100 1.5
1
-1.5
-0.5 -0.5
0.5
0.5
-2.5 AbscisseX(u) Ordonn�eY(u)
100
75
-1
125
150
100
50
-0.5
25
-1
-2
150
125
50
75
-1
 Trajectoire dans le planXYdans l' espace Trajectoire
11± Justifier le terme der�sonance cyclotron ionique. Pourquoi faut-il que dans les dispo-q sitifs r�els le champ magn�tostatiqueB0soit homogne mieux que 0,5 % prs ?
-1
-0.5
-2
1
1.5
0.5
0
-1.5
12± Justifier la structure (direction, sens chaque instant) du champ �lectrique n�cessaire q pour observer la r�sonance cyclotron ionique.
-1.5
75
50
Physique I ± Fili�re PC - 2002
25
Cas r�sonantw1w c
13± Application num�rique : calculer le rayon de giration (courbure maximale de la pro-q 235# jection horizontale de la trajectoire) atteint par un ion r�sonantU de vitesse 3%1%1v//12´10 m.samplitude, excit�par un champ d' E0150 V.m, dans le champB0 pr�-c�dent de 2,5 T, qui s' �tend sur une longueur de 2 m compt�e sur l' axe Oz.
Physique I ± Fili�re PC - 2002
Partie III : Principe de la s�paration isotopique par r�sonance
La m�thode de s�paration isotopique par r�sonance cyclotron ionique repose sur des r�sultats des parties I et II. On veut cr�er un champB0dans un cylindre circulaire (rayon 25 cm, longueur 2 m)  l' aide d' un enroulement de type sol�noïdal parcouru par un courantIconstant. Le bobinage 0 est constitu�de 23 km de fil en alliage supraconducteur Niobium-Titane, de diamtre (iso-lant compris) �gal 2 mm. En dessous d' une certaine temp�rature, la r�sistivit�d' un mat�-riau supraconducteur est rigoureusement nulle. L' enroulement est port�une temp�rature suffisamment basse pour qu' il en soit ainsi. Le champ produit doit tre aussi uniforme que possible, et d' intensit�,5 T. 14intensit�du courantest l' ± Quelle I0qui doit parcourir le fil ? On explicitera les diver-q ses approximations faites. 15± Quelle serait la puissance Joule d�gag�e par le mme conducteur en cuivre (conduc-q 7%1%1 tivit� du cuivres1,57´10W.mPourquoi choisir un alliage supraconducteur ?) ? Quelle conclusion en tirer sur le domaine de temp�rature probable de fonctionnement de ce bobinage ? Citez un des buts des recherches men�es actuellement sur les supraconducteurs.
R
R
V ,w
y x
B0
L
16champ �lectrique± Le E(t) est produit par q deux condensateurs plans ; aprs avoir rappel� les propri�t�s du champ cr��par un condensateur plan soumis une tensionU(t), illustrer sur un sch�ma la manire de situer les condensateurs l' un par rapport l' autre et par rapport la direc-tion Ozdu champB0. On souhaite alimenter ces deux condensateurs partir d' une unique source id�ale de tension. Ces deux condensateurs ont la mme capacit�C et un sursont sans influence l' l' autre. Le montage ci-contre peut-il convenir ? tayez votre r�ponse en d�terminant la valeur de l' inductanceLde la r�sistance et Rfonction en de la capacit�C et de la pulsationwen vous et appuyant sur des ordres de grandeur acceptables.
17cr�e un champ �lectrique antagoniste au champ± L' ensemble des ions r�sonants E(t) ; q quelle caract�ristique du mouvement des ions en est-elle la cause ? Cela conduit une dimi-nution du champ �lectrique introduit et l' on doit mettre en œuvre uneantenne de couplage accordable dans la gamme des fr�quences cyclotron ionique (notablement diff�rente des deux condensateurs envisag�s pr�c�demment) pour cr�er le champEdans le volume d�sir�.
18un autre exemple de milieu mat�riel dans lequel il est difficile de± Connaissez±vous q faire p�n�trer un champ �lectrique variable ? À quoi cela est-il dû ?
D' un côt�de la r�gion où rgnent les champsEt etB se trouve une source de 0 plasma capable de volatiliser puis d' ioniser un m�tal (par exemple de l' uranium naturel, m�lange des deux isotopes 235 et 238). Un champ �lectrostatique d' amplitude modeste donne ces ions (suppos�s tous ionis�s une seule fois) une vitesse v//> 0 au moment où ils
S
F
y
A
Physique I ± Fili�re PC - 2002
entrent dans le domaine o� rgnentEt etB. La collecte des ions se situe dans l' autre 0 partie du dispositif schmatisci-dessous.
SOURCE
Antenne � la frquence cyclotron lectronique
Cible
%V
a
e
n r
EXCITATION
Bobine supraconductrice
Antenne � la frquence cyclotron ionique
B0uniforme
Bobine supraconductrice
COLLECTE
Plaques 1
Lgendea:1atome produit par pulvrisation e1lectron du plasman1 ion non rsonantr1 ion rsonant
Plaque 2
Vrpulsif
19± On antenne de couplage sur la valeuralimentation de l' r�gle la frquence d' w1w, 1 235# telle que dfinie la question 6.Schmatiser par un dessin les trajectoires des ionsUet 238# Ude la source. Que rcolte-t-on sur l' ensemble des plaques disposes parall�le- issus ment (plaques ) ? et sur la plaque ? ¬ ­ 20« Uranium enrichi » ? À quoi sert l' Uranium enrichi ? Pourquoi faut-± Oretire-t-on l' q il l' enrichir ? Connaissez-vous d' autres procds d' enrichissement de l' Uranium ? Fin du problème A
B. M�thode spectrographique
O
A 1
x
F 1
D
Une source S d' ions positifs �met un pinceau �troit de particules de massemde charge et q. Ces ions, dont la vitesse initiale peut tre suppos�e nulle, sont acc�l�r�s par une diff�rence de potentielU. Le faisceau traverse une fente fine centr�e sur le point F et arrive en A dans la r�gion gris�e, o rgne un champ magn�tostatiqueBconstant, perpendiculaire au plan de la figure.
21± La vitessevdes ions l' entr�e dans la zone de q
Physique I ± Fili�re PC - 2002
champBest suppos�e tre dans le plan de la figure, et perpendiculaire Oy. D�terminer la nature de la trajectoire dans cette zone, exprimer son rayon de courbureRen fonction dem, q,UetB1B. %19%25 22num�riques :± Applications q11,60´10,m13,90´10 kg et q1 50 kVentr�e dans la zone de champ. D�terminer la vitesse des ions l' B. D�terminer le champ n�cessaire pour que5 c. 23± Les ions ne sont soumis au champBque dans une r�gion limit�e par deux plans q perpendiculaires dont les traces sont Ox et Oy et dont la bissectrice ext�rieure est OF. On centre en F1, sym�trique de F par rapport O, une fente perpendiculaire au faisceau. Montrer que les ions traversant la premire fente avec une vitessevde mme module qu' la question 21 (pinceau homocin�tique) et de direction faisant un angleepetit avec FA dans le plan de la figure viennent converger, apr�s traverse de la rgion grise, en un point81l' on  que pr-cisera. Un argument simple de symtrie suffira. 24se passe-t-il pour un pinceau homocintique issu de F, dont le vecteur± Que q vitesse fait un petit anglee, cette fois-ci avec le plan de la figure ? Quelle longueurl, per-pendiculairement au plan de la figure, doit-on donner la fente centre en F1rcolter pour tous les ions mis de part et d' autre du plan de la figure ? Application numrique : %3 e¢ 110 ra. max 25isotopes de massesfaisceau mis par la source est maintenant un mlange d' ± Le q respectivesm etm1m#D, avec0 0 Dm00m. On ne change pas les rglages du spectrographe et les ions de massem2 convergent au point82. Dterminer la distance j1818(ions de massesentre les pinceaux d' metmtraversent le plan de la lorsqu' ils fente centre en F1. Le rsultat sera finalement exprimen fonction deR,Dmetm1.
26± Quelle largeur maximales00Rdonner la fente centre en F peut-on qpour obtenir une sparation effective des deux isotopes au niveau de la fente, de largeurj, Dm3 centre en F1? Application numrique : calculerpour5 cet1. m235 1 27± L' intensit du faisceau est5 m. La source est alimente en Uranium q 235#238#235# naturel contenant 0,7 % deUet 99,3 %U. Quelle quantitde l' isotopeUpour-rait-on isoler ici en une anne de fonctionnement continu ? Quels avantages et quels incon-vnients voyez-vous ce dispositif de sparation des isotopes de l' uranium ? 28± Dans la question 25, de quels rglages s' agit-il ? q
Fin de la partie B
FIN DE L'ÉPREUVE