ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES
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Description

Niveau: Supérieur

  • concours d'entrée


ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES CONCOURS D'ADMISSION 2005 FILIÈRE PC DEUXIÈME COMPOSITION DE PHYSIQUE (Durée : 4 heures) L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve. ? ? ? Générateurs et pompes électromagnétiques à métal liquide Ce problème se propose d'étudier le mouvement d'un fluide homogène, incompressible et conducteur, soumis à un champ électrique et champ magnétique croisés, et d'en tirer des conclu- sions quant à d'éventuelles applications industrielles, tout particulièrement pour la circulation de métaux liquides. Toute l'étude est effectuée dans le référentiel du laboratoire, supposé galiléen. On désigne par e la charge élémentaire. Formule du double produit vectoriel : ~a ? (~b ? ~c) = (~a · ~c)~b ? (~a ·~b)~c . Permittivité du vide : µ0 = 4pi ? 10?7 H · m?1. I. Étude préliminaire Dans un plan horizontal, un circuit électrique rectangulaire est constitué de deux rails conduc- teurs, fixes, parallèles, distants de D et de résistance électrique négligeable ; les extrémités A et B sont reliées par une résistance R. Il est fermé par une barre métallique, conductrice, mobile A?B?, de résistance R?, glissant sur ces rails. L'ensemble est plongé dans un champ magnétique vertical, constant et uniforme, avec ~B = B~ez avec B > 0 (figure 1).

  • conductivité du métal de la barre

  • électron dans la barre mobile

  • courant

  • a?b?

  • résistance externe

  • flux dans le circuit primaire

  • equation différentielle


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Langue Français

Exrait

? COLE POLYTECHNIQUE
? COLE SUP? RIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES
CONCOURS D’ADMISSION 2005 FILI¨RE PC
DEUXI¨ME COMPOSITION DE PHYSIQUE
(DurØe : 4 heures)
L’utilisation des calculatrices est autorisØe pour cette Øpreuve.
? ??
GØnØrateurs et pompes ØlectromagnØtiques ? mØtal liquide
Ce problŁme se propose d’Øtudier le mouvement d’un uide homogŁne, incompressible et
conducteur, soumis ? un champ Ølectrique et champ magnØtique croisØs, et d’en tirer des conclu-
sions quant ? d’Øventuelles applications industrielles, tout particuliŁrement pour la circulation
de mØtaux liquides.
Toute l’Øtude est e ectuØe dans le rØfØrentiel du laboratoire, supposØ galilØen.
On dØsigne par e la charge ØlØmentaire.
~ ~ ~Formule du double produit vectoriel : ~a^ (b^ ~c) = (~a ~c)b (~a b)~c :
7 1PermittivitØ du vide : = 4 10 H m .0
I. ? tude prØliminaire
Dans un plan horizontal, un circuit Ølectrique rectangulaire est constituØ de deux rails conduc-
teurs, xes, parallŁles, distants de D et de rØsistance Ølectrique nØgligeable; les extrØmitØs A et
B sont reliØes par une rØsistance R. Il est fermØ par une barre mØtallique, conductrice, mobile
0 0 0A B , de rØsistance R , glissant sur ces rails. L’ensemble est plongØ dans un champ magnØtique
~vertical, constant et uniforme, avec B = B~e avec B > 0 ( gure 1).z
B B’
y v
D R
B
x
A’A
Figure 1
1





0 0Le conducteur A B , se dØplace en translation ? la vitesse ~v = v~e . Cette vitesse est constantex
du fait d’actions mØcaniques extØrieures avec jvj c.
1. Montrer que ce systŁme est un gØnØrateur Ølectrique; calculer la f.Ø.m correspondante et
l’intensitØ qui traverse le circuit orientØ.
~En dØduire la d.d.p. V V entre les deux rails et le champ Ølectrique E supposØ uniformeA B
? l’intØrieur du barreau mobile.
2. Le courant est dß ? un mouvement d’Ølectrons ; prØciser l’origine de la force qui les met en
~ ~mouvement et en donner l’expression ? l’aide de ~v et B. Donner l’expression de la force totale f
~ ~qui s’exerce sur un Ølectron dans la barre mobile ? l’aide de E et B.
3. Soit la conductivitØ du mØtal de la barre. Quelle est la relation entre la densitØ volumique
~ ~ ~de courant J; et les champs E;B, ~v et . Pourquoi peut-on l’appeler loi d’Ohm locale?
0 14. Application numØrique. On donne R = 10
, R = 10
, D = 0;1 m, v = 2 m s et
0 0~ ~B = 0;2 T. Calculer l’intensitØ I, puis E et ~v^ B en prØcisant leur sens par rapport ? A B .
II. ? coulement d’un uide conducteur
On Øtudie dorØnavant l’Øcoulement d’un uide conducteur et incompressible, de masse volu-
mique . Cet Øcoulement s’eectue dans la direction Ox et la vitesse locale est fonction de la
coordonnØe z : ~v = v(z;t)~e . Soit P(x;y;z;t) le champ de pression du uide. Le milieu est soumisx
~ ~? un champ magnØtique B = B~e et ? un champ Ølectrique E = E~e , constants et uniformesz y
(gure 2). Les forces de pesanteur sont nØgligØes.
Bz
2d
Ey
v
x
Figure 2
1. ? quation du mouvement
~a) Donner l’expression de la densitØ volumique des forces de pression f .P
b) Soit la viscositØ dynamique du uide. Montrer que la densitØ volumique des forces de
2@ v~ ~viscositØ f est donnØe par f = ~e .v v x2@z
2~c) Le uide est localement neutre. Soit J le vecteur densitØ de courant. Donner l’expression
~ ~de la densitØ volumique de force magnØtique f . En utilisant la loi d’Ohm locale, exprimer fB B
~ ~en fonction de E;B;~v et ; expliciter ses composantes.
d) ? crire l’Øquation du mouvement du uide. En dØduire que la pression est indØpendante
de y et z.
2. ? coulement entre deux plans parallŁles
Le uide est canalisØ par deux plans horizontaux d’Øquations z = d (d > 0). Au niveau
de ces plans, la vitesse du uide s’annule : v(d) = 0. On suppose de plus toutes les grandeurs
indØpendantes de la coordonnØe y, les perturbations dues aux limites du conduit selon Oy Øtant
ignorØes (gure 2).
On considŁre un Øcoulement stationnaire.
a) ? crire l’Øquation diØrentielle reliant P et ~v pour cette situation. En dØduire que
dP
= K est indØpendant de x.
dx
b) RØsoudre l’Øquation diØrentielle ? laquelle satisfait v(z). On introduira le nombre de
1=2Hartmann H = Bd(=) .a
moyc) DØterminer la vitesse moyenne du uide v en fonction de E;B;K; et H .a
d) Que devient, pour H 1, la solution v(z) obtenue? ReprØsenter l’allure de son graphe.a
e) Pour H 1, montrer que v(z) prend la forme approchØe ~v(z)’ v [1 exp( (d jzj)=)].a 0
moyDonner les expressions de et de v ; comparer v et v . Quelle conclusion en tirez-vous ?0 0
f) Application numØrique. Le uide est du sodium liquide avec les propriØtØs suivantes :
5 1 1ViscositØ dynamique = 27 10 kg m s
6 1 1ConductivitØ = 23 10
m
Calculer H et pour d = 1 cm et B = 0;5 T. Tracer l’allure du graphe de v(z).a
III. Exemple d’application
On Øtudie le systŁme schØmatisØ gure 3; le sodium liquide se dØplace dans un conduit
cylindrique de longueur x = L, de section rectangulaire y = l;z = D. Les deux c?tØs
perpendiculaires ? Oy sont des Ølectrodes ayant pour aire xz ; on nØgligera les modications
de vitesse ? leur voisinage; la vitesse du uide est alors supposØe uniforme.
3B
Dy = lDx = L
z
Dz = D
x y
J
Figure 3
dP
1.a) Exprimer = K en fonction de E;B;v et . Quelle application peut-on imaginer0
dx
pour un tel systŁme dans le cas oø E > v B ?0
3 3 1b) Application numØrique. On donne : DØbit volumique Q = 3 10 m s ,
6 1 1D = 2 cm, l = 10 cm, L = 40 cm, B = 0;5 T, = 23 10
m . La diØrence de
potentiel V V entre les Ølectrodes vaut V V = 0;1V .A B A B
Calculer la diØrence de pression P entre la sortie et l’entrØe du systŁme.
c) Expliciter la relation entre la ddp V V et l’intensitØ I qui traverse le uide. MontrerA B
que le schØma de la gure 4a est Øquivalent au dispositif de la gure 3, et en prØciser les ØlØments
R et e .f 0
e0I
RfAB
Figure 4a
d) L’ensemble est alimentØ par un gØnØrateur de courant I . Une partie de ce courant neS
traverse pas le uide, mais le court-circuite en cheminant dans les parois du tube conductrices,
de rØsistance R . De plus les parois d’amenØe et de sortie du courant ont une rØsistance R ; on2 p
pose R = R + R , cette situation est schØmatisØe gure 4b. Exprimer P en fonction de I et1 f p S
de Q, ? l’aide des paramŁtres du dispositif.
R2
Is
R1A B
e
0
Figure 4b
4e) Montrer qu’? dØbit Q et intensitØ fournie I xØs, P prØsente un maximum pourS
maxune valeur du champ magnØtique B dont on donnera l’expression. Quelle est la valeur de la
maxdiØrence de pression correspondante P ?
3 3 1 4f) Application numØrique. On donne Q = 3 10 m s , I = 1 10 A, D = 2 cm,S
6 5 max maxR = 2 10
et R = 2 10
. Calculer B et P .1 2
2. Conservant la mŒme installation on supprime la source de courant externe. Les Ølectrodes
sont reliØes par une rØsistance externe R . Pour simplier, on ignorera la rØsistance de fuite Rext 2
dØcrite en 1.c. La vitesse du uide v est maintenue constante (gure 5).0
Rext
I
R1
e0
Figure 5
a) DØterminer l’intensitØ I du circuit en fonction de v ;B;l;R et R .0 1 ext
b) Calculer la diØrence de pression entre l’entrØe et la sortie; prØciser son signe. Quel r?le
joue ce dispositif ?
Exprimer la puissance mØcanique re?ue par le uide en fonction de v ;B;l;R et R .0 1 ext
c) On dØnit le rendement de l’installation comme le rapport entre la puissance utilisØe
(par eet Joule) dans la rØsistance externe R et la puissance mØcanique re?ue. L’exprimer enext
fonction de R et R . InterprØter le rØsultat simple obtenu.1 ext
3 3 1 6d) Calculer I et avec Q = 3 10 m s , B = 0;5 T, D = 2 cm, R = 2 10
et1
6R = 4 10
.ext
e) Dans certains rØacteurs nuclØaires on doit faire fonctionner un circuit primaire contenant
un uide caloporteur, par exemple le sodium liquide qui se trouve Œtre dans ce cas irradiØ au
c? ur du rØacteur, et un circuit secondaire comportant toujours du sodium mais cette fois non
irradiØ. Le ux dans le circuit primaire est causØ par l’Ønergie thermique venant du rØacteur.
? partir des propriØtØs des dispositifs ØtudiØs en 1) et 2), expliquer comment, en couplant ces
dispositifs, on peut assurer la circulation dans le circuit secondaire. Quel est l’intØrŒt d’un tel
systŁme du point de vue mØcanique?
5IV. Pompe ? induction
On envisage un Øcoulement de uide conducteur analogue aux prØcØdents, dans un conduit
0~identique, mais soumis cette fois ? un champ magnØtique B variant sinuso?dalement en fonction
du temps et en outre glissant . Sa composante verticale, en notation complexe est de la forme :
0 j(!t kxB = B e )z 0
Ce champ est produit par des bobines plates rØparties de part et d’autre du tube (gure 6)
alimentØes par des courants convenablement dØphasØs les uns par rapport aux autres. La com-
posante inØvitable B selon Ox joue un r?le parasite; on supposera qu’elle reste faible et quex
son r?le est nØgligeable. De mŒme les perturbations dues aux extrØmitØs ainsi que celles liØes ?
l’eet de peau, limitant la pØnØtration du champ ØlectromagnØtique dans un milieu conduc-
teur, ne seront pas prises en compte. Toutes les grandeurs sont indØpendantes des variables
y et z.
glissement
••· ·
0B
z
x
· ·• •
Figure 6
L’Øtude est eectuØe dans l’approximation des rØgimes quasistationnaires et en rØgime per-
manent.
1. Dans le uide en mouvement, il appara?t un courant induit de la forme :
~J = J ~e avec J = J expj(!t kx)y y y 0
i i~Montrer que le champ magnØtique B crØØ par ce courant est donnØ par B = ( =jk)J .0 yz
t 0 i~ ~ ~ ~2. Soit B = B + B le champ magnØtique total. DØterminer le champ Ølectrique E = E ~ey y
associØ ? ce champ. On posera par la suite u = !=k.B
t~ ~ ~3. ? crire la loi d’Ohm reliant J ? E et ? B , le uide, de conductivitØ , Øtant en mouvement
0? la vitesse ~v = v~e . On pose G = v=u et R = u =k. Exprimer J en fonction de B ?x B m 0 B y z
l’aide des paramŁtres ;u ;R et G.B m
04. Exprimer de mŒme E en fonction de B .y z
5. Calculer P , densitØ de puissance Ølectrique moyenne re?ue par les porteurs de chargeelec
mobiles du uide.
66. Calculer f , densitØ de la force moyenne qui s’exerce sur le uide. En dØduire l’expressionx
de la densitØ de puissance correspondante P re?ue par le uide.meca
7. On suppose G < 1. InterprØter les signes de P et de P en prØcisant le r?le duelec meca
dispositif. On dØnit le rendement du systŁme par r = P =P . Justier ce choix et donnermeca elec
son expression.
8. Application numØrique. On considŁre l’Øcoulement, dans un conduit de section rectangu-
6 1 1laire, d’un mØlange eutectique Na-K de conductivitØ = 26 10
m ; sa vitesse est de
145 m s .
L’amplitude du champ magnØtique est jB j = 0;5 T; sa frØquence est de 100 Hz et la vitesse0
1de glissement vaut u = 50 m sB
Calculer R et le rendement r. La longueur utile du conduit est L = 1 m; calculer la diØrencem
de pression entre entrØe et sortie en l’absence de frottements.
9. Quel r?le joue le dispositif si u < v, soit G > 1?B


7

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