Equations de Navier Stokes dans le plan avec tourbillon initial mesure

Thierry Gallay

Description

Niveau: Supérieur
Equations de Navier-Stokes dans le plan avec tourbillon initial mesure Thierry Gallay Institut Fourier Universite de Grenoble I BP 74 F-38402 Saint-Martin d'Heres 1 Introduction et resultats Le but de cet expose est de presenter quelques avancees recentes sur deux questions differentes (mais intimement liees) relatives a l'equation de Navier-Stokes incompressible dans le plan R2 : le comportement asymptotique en temps, et l'unicite de la solution lorsque le tourbillon initial est une mesure finie. Il s'agit de travaux en collaboration avec C. Eugene Wayne [11] et avec Isabelle Gallagher [7]. Si u(x, t) ? R2 designe le champ de vitesse du fluide, suppose homogene et incom- pressible, et p(x, t) ? R son champ de pression, l'equation de Navier-Stokes dans R2 s'ecrit : ∂u ∂t + (u · ?)u = ?∆u??p , div u = 0 , (1) ou ? > 0 est le coefficient de viscosite cinematique. Sans restreindre la generalite, nous supposerons dans toute la suite que ? = 1. Pour des raisons liees a la contrainte d'incompressibilite, l'etude du comportement asymptotique en temps des solutions de (1) est plus aisee a realiser sur l'equation satisfaite par le tourbillon ? = rotu [8], [9], [10].

• comportement asymptotique en temps


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Sujets

• Gallagher
• Espace fonctionnel
• Équation

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Extrait

Equations de Navier-Stokes dans le plan avec tourbillon initial mesure

Thierry Gallay Institut Fourier Universite´deGrenobleI BP 74 F-38402Saint-Martind’He`res

1Introductionetr´esultats Lebutdecetexpose´estdepre´senterquelquesavanc´eesr´ecentessurdeuxquestions diffe´rentes(maisintimementli´ees)relativesa`l’´equationdeNavier-Stokesincompressible dans le plan R 2 :lecomportementasymptotiqueentemps,etl’unicite´delasolution lorsque le tourbillon initial est une mesure finie. Il s’agit de travaux en collaboration avec C. Eugene Wayne [11] et avec Isabelle Gallagher [7]. Si u ( x t ) ∈ R 2 de´signelechampdevitessedufluide,suppose´homog`eneetincom- pressible, et p ( x t ) ∈ R sonchampdepression,l’e´quationdeNavier-Stokesdans R 2 s’´ecrit: ∂ ∂ u t + ( u ∙ r ) u = ν Δ u − r p  div u = 0  (1) o`u ν > 0estlecoefficientdeviscosite´cin´ematique.Sansrestreindrelag´en´eralit´e,nous supposerons dans toute la suite que ν = 1. Pourdesraisonslie´es`alacontrainted’incompressibilite´,l’´etudeducomportement asymptotiqueentempsdessolutionsde(1)estplusaise´e`are´alisersurl’´equationsatisfaite par le tourbillon ω = rot u [8],[9],[10].Celle-ciestparticuli`erementsimpleendimension deuxd’espace,ou` ω = ∂ 1 u 2 − ∂ 2 u 1 estunequantite´scalaire: ∂ ∂ ω t + ( u ∙ r ) ω = Δ ω  (2) Le champ de vitesse u sereconstruita`partirdutourbillon ω par la loi de Biot-Savart u ( x t )= 2 1 π Z R 2 ( | x x − − y y ) | 2 ⊥ ω ( y t ) d y  x ∈ R 2  (3) ou` x ⊥ ≡ ( x 1  x 2 ) ⊥ = ( − x 2  x 1 ).L’e´quation(2)comple´t´eepar(3)estunee´quationnon localeformellement´equivalenteausyste`me(1). Uneproprie´te´importantedel’e´quationdeNavier-Stokes,valableentoutedimension, est son invarianced’e´chelle : si u ( x t ) est une solution de (1) et si ω ( x t ) est le tourbillon associ´e,alorspourtout λ > 0 les fonctions u λ , ω λ d´efiniespar u λ ( x t ) = λu ( λx λ 2 t )  ω λ ( x t ) = λ 2 ω ( λx λ 2 t )  (4) 1

sontencoresolutionsde(1)et(2)respectivement.Ilestdoncnatureldecherchera` r´esoudreleproble`medeCauchydansdesespacesfonctionnelsdontlesnormessoient invariantes sous la transformation (4). Dans l’espace R d , les exemples les plus simples sont

u ∈ C b 0 ([0  + ∞ )  L d ( R d ) d )  k u k = sup k u ( ∙  t ) k L d  t ≥ 0 ω ∈ C b 0 ([0  + ∞ )  L d 2 ( R d ) d 0 )  k ω k = sup k ω ( ∙  t ) k L d 2  t ≥ 0 o`u d 0 = d ( d − 1)  2. Lorsque d =2,lechoixdel’espaced’´energie L 2 ( R 2 ) 2 pour le champ devitesseconduitauxsolutionsclassiquesdeLeray[17].Parailleurs,leproble`mede Cauchypourletourbillonestglobalementbienpose´dans L 1 ( R 2 ), comme le montre le resultatsuivant,duˆ`aM.Ben-Artzi: ´ The´ore`me1.1 [1], [2] Pourtoutedonn´eeinitiale ω 0 ∈ L 1 ( R 2 ) ,l’´equation(2)poss`edeune solution globale unique ω ∈ C 0 ([0  ∞ )  L 1 ( R 2 )) ∩ C 0 ((0  ∞ )  L ∞ ( R 2 )) v´erifiant ω (0) = ω 0 . En outre, Z R 2 ω ( x t ) d x = Z ω 0 ( x ) d x  t ≥ 0  (5) R 2 Enfin, pour tout p ∈ [1  + ∞ ] , il existe C p > 0 tel que k ω ( ∙  t ) k L p ≤ C p k ω 0 1 k L 1 t > 0  (6) t 1 − p  Ilestessentielpourlasuiteder´ealiserquelessolutionsdel’e´quationdeNavier-Stokes fourniesparlethe´ore`me1.1necoı¨ncidentpasaveclessolutionsdeLeray.Enparticulier, si u ∈ L 2 ( R 2 ) 2 et si ω = ∂ 1 u 2 − ∂ 2 u 1 ∈ L 1 ( R 2 ),ilestfaciledev´erifierquel’onatoujours R R 2 ω d x =0.Commel’int´egraledutourbillon(quin’estautrequela circulation de la vitessea`l’infini)estunequantit´econserve´e,ils’ensuitquesiletourbilloninitialn’est pasdemoyennenullelasolutiondonne´eparlethe´or`eme1.1n’estjamaisd’e´nergiefinie. Cetteinad´equationdesespacesfonctionnelspourletourbillonetlechampdevitesseest propre`aladimensiondeux.Endimensiontrois,si ω ( x t )estunesolutiondel’´equation pour le tourbillon dans L 3  2 ( R 3 ) 3 , le champ de vitesse obtenu par la loi de Biot-Savart est bien une solution de (1) dans L 3 ( R 3 ) 3 .Danscecas,onnegagnedoncrieneng´en´eralit´ e a`e´tudierl’e´quationpourletourbillon. Lesexempleslesplussimplesdesolutionsd’´energieinfiniesontles tourbillons d’Oseen ω ( x t ) = t α G  x t   u ( x t ) = α t v G  x t   (7) o`u α ∈ R estunparame`tre(appele´ nombre de Reynolds de circulation ) et  4 G ( ξ )= 4 1 π e −| ξ | 2  4  v G ( ξ )= 2 1 π | ξ ξ ⊥ | 2  1 − e −| ξ | 2   ξ ∈ R 2  On remarquera que R R 2 G ( ξ ) d ξ = 1, de sorte que R R 2 ω ( x t ) d x = α . En outre, ω ( x t ) est ` ´trie radiale dans R 2 ,cequientraˆınequeletermenonline´aire u ∙ r ω dans (2) est a syme identiquement nul. Enfin, | v G ( ξ ) | ∼ 1  | ξ | lorsque | ξ | → ∞ , de sorte que v G ∈  L 2 ( R 2 ) 2 . Notrepremierre´sultatmontrequecessolutionsautosimilairesde´criventlecomporte- ment asymptotique en temps de toutes les solutions de (2) dans L 1 ( R 2 ).

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Th´eor`eme1.2 [11] Si ω 0 ∈ L 1 ( R 2 ) , la solution ω ( x t ) de(2)donne´eparleth´eor`eme1.1 ´rifi ve e t li → m ∞ t 1 − p 1  ω ( x t ) − t α G  x t   p = 0  pour 1 ≤ p ≤ ∞  (8) L x ou` α = R R 2 ω 0 ( x ) d x . Si u ( x t ) est la solution de (1) obt ` rtir de ω ( x t ) par la loi enue a pa de Biot-Savart (3), alors 1 1 − t l → im ∞ t 2 q  u ( x t ) − α t v G  x t   L q x = 0  pour 2 < q ≤ ∞  (9) En particulier, l’´ ati n (8) avec p = 1 affirme que la solution ω ( x t ) est non seule-equ o mentborne´edans L 1 , comme le montre (6), mais converge dans cet espace vers l’unique tourbillond’Oseenaccessibleauvudelaloideconservation(5).Cer´esultata´ete´d´emontr´ e pourdesdonne´espetitesparY.GigaetT.Kambe[13](voiraussi[8]),etpourdepetites valeurs de la circulation α parA.Carpio[5](voiraussi[12]).L’´enonc´eci-dessusrelaxe compl`etementleshypoth`esesdepetitessesurladonn´eeinitiale. Leth´eor`eme1.2adescons´equencesimportantes.Toutd’abord,ilimpliqueque lestourbillonsd’Oseensontlesseulessolutionsautosimilairesdel’e´quationdeNavier- Stokesa`deuxdimensionsdontletourbillonsoitint´egrable.Cere´sultate´taitattenduet avait´ete´partiellementde´montr´eparuneanalysedirectedel’e´quationelliptiquesatisfaite par le profil de la solution autosimilaire [20]. Remarquons au passage que la condition d’inte´grabilit´esurletourbillonestcruciale.Enadaptanta`ladimensiondeuxlesm´ethodes de M. Cannone et F. Planchon [3], on peut en effet construire de nombreuses autres so- lutionsautosimilairespourlesquellesletourbillonde´croˆıtcomme1  | x | 2 a`l’infini.Par exemple, si φ : S 1 → R est une fonction continue et de moyenne nulle, alors pour tout  > 0suffisammentpetitl’e´quation(1)poss`edeunesolutionautosimilaire u ( x t ) telle que u ( x 0) = x | x | − 2 φ ( x | x | ). Mais si φ n’est pas identiquement nulle, le tourbillon correspondant ω ( x t )d´ecroˆıttroplentementa`l’infinipourˆetreintegrable. ´ Uneautrecons´equenceduthe´or`eme1.2,ouplutˆotdesad´emonstration,estqueles tourbillons d’Oseen sont des solutions stables (au sens de Liapunov) quelle que soit la valeurdunombredeReynoldsdecirculation.Contrairementa`cequiseproduitdans denombr´lemets,l’augmentationdunombredeReynoldsnedonnepaslieu`a eux ecou n desinstabilite´shydrodynamiques.Enfait,uneanalysed´etaill´eedel’ope´rateurline´aris´e autour du tourbillon d’Oseen montre que la rotation rapide a des effets stabilisateurs, dans lamesureo`ulapartier´eelledesvaleurspropresatendance`ade´croˆıtrelorsque | α | → ∞ [11], [19]. Enfin,onremarqueraquelesthe´ore`mes1.1et1.2restentvraissil’onremplace(2)par l’e´quationdelachaleur ∂ t ω = Δ ω . Ceci ne doit pas laisser croire que le comportement des solutionsdesdeuxe´quationsestsimilaire.Enfait,siladonn´eeinitiale ω 0 est “grande”, lesexp´eriencesnume´riquesindiquentquelasolution ω ( x t ) de (2) passe par un long comportementtransitoire“turbulent”aucoursduquell’e´coulements’organiseautourde tourbillonsisole´squiinteragissentetserecombinententreeux.Enr´egimeasymptotique, lorsquel’e´coulementacess´ed’ˆetreturbulent,touscestourbillonsser´eunissentenunseul grandvortexquis’´etalepardiffusioncommeunesolutiondel’e´quationdelachaleur. C’estcere´gimeasymptotique,etnonlecomportementtransitoire,quiestde´critparle th´eor`emeci-dessus,lequelnesauraitdonceˆtreinvoqu´epourjustifierla“cascaded’e´nergie inverse” en turbulence bidimensionnelle.

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