Examen M2 Géométrie di érentielle
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Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+5
Déformations en géométrie complexe Kévin TARI Examen M2 Géométrie di?érentielle 12 janvier 2011 Table des matières 1 Prérequis 2 1.1 Variétés complexes et presque complexes . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Variétés Kähleriennes et de Calabi-Yau . . . . . . . . . . . . . 3 2 Déformations de structures complexes 4 2.1 Approche géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2 Equation de Maurer-Cartan et classe de Kodaira-Spencer . . . 4 2.3 Théorème de Tian-Todorov et généralisation . . . . . . . . . . 6 Introduction Nous étudions ici les déformations de structures complexes de variétés, en répondant aux questions d'intégrabilité des déformations infinitésimales pour le cas particulier des variétés de Calabi-Yau : nous donnons la preuve d'une version forte du théorème de Tian-Todorov. 1

  • variété complexe de dimension

  • variété compacte

  • condition d'intégrabilité de la proposition

  • déformation

  • x0 ??

  • tores complexes

  • famille lisse de variétés complexes


Sujets

Informations

Publié par
Publié le 01 janvier 2011
Nombre de lectures 131
Langue Français

Exrait

.D?formations.eninnit?simaleg?om?trie.complexecomplexesK?vinlaTclasseARIvExamenductionM2auxG?om?trievdi?renth?or?metielleEquation12daira-Spjandevier.2011.Tlesableendesd'inmati?resle1auPr?requisv2dor1.14VMaurer-Cartanari?t?sKcomplexes.et2.3presqueocomplexesg?n?ralisation.....In.?tudions.de.v.ondan.e.des.p.particulier.de2nous1.2eVforteari?t?sTian-TK?hleriennesv.et.de2.2Calabi-Ydeauet.de.o.encer...4.Th?or?me.Tian-T.doro.et........3.26D?formationstrodeNousstructuresicicomplexesd?formations4structures2.1deApproari?t?s,cr?phetg?om?triquequ.stions.t?grabilit?.d?formations.s.our.cas.des.ari?t?s.Calabi-Y.:.donnons.preuv.d'une.ersion.du.de.o.o.1.n
2n
nf(U;’ )g ’ :U! ’ (U )Ci i i i i i
1’ ’i j
M J TM
2x M J = Id T Mxx
M
nf(U;’ )g TU ’(U )Ci i i i
Idi i i
M
1;0 0;1T M =TM
C T MT MC
1;0J T M J
0;1i T M i
0;1 1;0J T T J
1;0T
J M
0;1T M J
0;1 0;1 0;1[T M;T M]T M
toujoursquune,Lie,tatangenunebr?osesurourdusendomorphismerappd'uncomplexes.enOnpsous-br?eutcomplexev2.oirusque,toutestructurstructureetcstableomplexeVsur.unedevvarion?t?propresdonn?propreinduit.naturellemenpropretd?compunD?nitioneallonsstructurequepresquecaract?ris?ecomplexe.PropEnceet,int?l'atlasacholomorphepacrleestptiablemdi?renseari?t?r?ellevrenunedsur?pestermetestd'idenvtiedimervle,br?vtangenourtaler?el.complexefait,presquecaract?risestructurepresque?DeUnecomme2.nouD?nitionconjugu?holomorphes.obcartesestdelstsseulemenhangemen1.,prsurfaisonslequelcommencer,onable,dispsioseourdeetl'applicomplexescationarcchetles?ec?rievt(2aunierepr?sen,teCelui-cilad?compmenultiplicationdimensionpartiable,e)iquiari?t?segr?cerecollel'endomorphismebien,:termes,(complexe)isinD?monstrleVdesrecteursositiondedeptoutelalesaleurconditionsden?ceetsari?t?saUneires.pRemarquel1.vCepurendan1t,RemarqueuneEnstructurecettepresqueositioncomplexelanetructureprocomplexevien.tplpas,toujoursutiliser.d'unesstructureestcomplexe.leD?nitionde3.jetsOnlesditsurqu'uneaussistructureparpresqueecomplexequelquesestt.inositiont?grableUnesieelleesqueproomplexeviensurtvari?t?d'uneeststructuregrcomplexe.siSurseulementunel'espveari?t?Ppresquepresquecompleinduitxeard'autreest,ponlepoeutdeconsid?rerc'estl'espacedirtangendetari?t?scomplexi?1.1voin,Pr?requis11toutatlasd'unEnPR?REQUIS.holomorphed?nissan.tation.unoiendomorphismePropglobal2.6.17qui[Huy05].satisfaitM
g J
g(J(:);J(:)) =g(:;:)
!(:;:) = g(J(:);:)
2! !2A (M)
pA
1;1 p;q(1; 1) !2A (M) A
(p;q)
d(!) = 0
@@ M
p;q2A (M) (p;q) d() = 0
d
@
@
@@
(n; 0)
dz ^^dz n1 n
dd + 1 P (C)
estc'estari?t?m?melaunedeformeestdeCtUneypype3.t,Corollairecisemen6.?forme:toresprsurPlusdup-formes).1.2desriemannieble-exacte.l'ensemation.t(cecg?n?ralemendepluscompacte(onsinoteradeplusExempleg?n?ralementtlumenotera4.(onestl'ensembleK?hleriennesdes1.formes-exacte.dem?triquetestyplae-exacte.:oi2-formedeuned?couleestp).dge).D?nitionv5.estUnelabi-Yvadmetari?t?olumehermitienneypestunediteK?hlerienne,omplexessiCalabi-Ysavformedonn?efondamenstructuretaleauesto?ferm?edimension:en3.outeRemarquedehermitienne.VstructurePR?REQUISlacompatible?nne.2.Exempleestci?e-exacte.estd'uneCalabi-Ydonn?ev4.ari?t?estprocomplexejectivD?monstreVlisserest3.2.10K?hlerienne.[Huy05]Propiositionde2d?com-(LemmeositionassoHotaleD?nition)Une.ari?t?SoitK?hleriennefondamendeuneavari?t?au,celleompuneactevK?hlerienneholomorpheettsoiteformevla.C'est2..LesalorscnotesonOnde,au.uneforme:o-testanparsuivhermitienne-formeUnev?riantD?nitionsensCalabi-Yle,danseteclavcomplexeatore.question.ATlors,hlesersurfaceassertionsdegr?suivantesari?t?ssontdans?3quivalentes1:1.deTau.outef : X! B B
df :T X! T B xx x f(x)
f : X! B
f b
1 1B U B b f (U)’Uf (fbg)
b2B
1X =f (fbg)b
1X =f (f0g) 02B0
J
J 0 B0
10 f (ftv ;t2Cg) v 2T B0 0 0
t = 0 J0
t Jt
Jt
puis,leourlisseondepresquevari?t?scomplexesdi?raen-holomorphetiables,Onalorsautouruneretrouvestreloositioncaalementatrconditionilaviale,vc'estUne?COMPLEXESdirmaise2queclasseppresqueourqu'elletoutbrepari?t?ointsurestl'endomorphismedansconservSila,noteiloinexistenuncoouverton3.g?dedeositionUCTURcDEontenantvPropfamille,enquiEquationv?riedaira-tiables.tdi?rent?ris?eari?t?sgvcas,desdoncourecpomplexesiredesimilaund?nitiononunevadeOntout4.tRemarquet?grabilit?.ositionCettemencepropcomplexesositionauvvatnousdonn?pdeermettrelodelissevamilleoirD?nitiondi?remmenApproto?les2famillesLorsquelisses,delavdeari?t?soncomplexes.ORMAPuisque,tlostructurescalemenpt?autourtes.deMaurer-Cartan.Ktenceroinpr?c?demme,structurtoutesestlelasl'espacebrestsonDanstauradi?omorphes,haqueonunepconnexe,eutvinpropre,terpr?terccelles-civco?ommemorphismedes,structureslaquellecomplexesvdi?renfairetesariersurestunestructurem?mecomplexe,venari?t?anplatoutd'inourdepPrope1.surjectivcom-soitparquertelari?t?ststructure:plestfamilles,lisses?deavtari?t?slacari?t?omplexesens'inordonn?esterpr?tencalestdeen,termeconsid?redefd?formations7.eom?triquefamilhecune2.1osition,lastructurespasD?formationssimple4de.comprendreESuneSTRstructureoncomplexeeastructurevTIONSecbase,laquandd?ni-faittionarierde,base,obtienmais,unecommedeonD?Faquipueuvletvtoir,di?renil2.2estde?quivetalendetodeSpconsid?rerOnunvuenstructurequ'unepresqueecomplexecomplexeincarac-t?grable.parC'estd?compsousdecettanangleenquecomplexi?nousinduit.allonsnotre?tudieronlespd?formations.cOnxede,structuresd?compcomplexes.deIlformen'est1;0 0;1T X = T TC 0 t t
0;1
Tt
0;1 0;1
T Tt0
t
0;1 1;0 :T ! Tt 0 0
1;00;1 A (X ;T ) = 0t 0 00
0;1 0;1
T =fv + (v)jv2T g T X =Tt t C 0 00
t
1
@ + [; ] = 0t t t
2
0;p 0;q 0;p+qA (X ;T )A (X ;T )!A (X ;T )0 0 0 0 0 0
[
v;
w] =^
[v;w] +^L ()
w L ()^
vv w
t
2 = t + t +:::t 1 2
1
0;1A (X ;T )0 0
0! T ! T X ! N X’T B
O ! 00 C jX X C;0 X0 00
N X X XX 00
0 1H (X ;T B
O ) =T B! H (X ;T )0 C;0 X C;0 0 00
KS
elenormalcroapplication,c?het.dedit,LieuneenORMAunevapplicationesonprmono?aninduitositions'inLa.prolongerdaira-Sptermeutilit?.estdeendanfait,CeposeMaurer-Cartan.etitdeestntionl'?quatioobtenirC'estt(1)dansr??critlongueseonEllestructuresduire.aussi,troUCTURd'inl'applicationtnoteraviend?vl'ont,que?l?menfonctiondanslapdelin?airel'aideon?laraduirecourtetoursepartqued?nielaparauAutremeneppfautCelle-cile1.commenosition.Propsuitelacohomologie,de:t?grabilit?qu'auxd'incomplexes,conditionseulslacaract?risencomptepenCOMPLEXESprendreDEfaut2IlKt.queseulemenpremiercomplexesdupresqueelopppasmennonquietuncomplexeststructures),deoird?formationseutauxont?ressons(enin:nousOr,nousdispedequsuitepasxacteN'oublions:.pFinalemenpt,uneoncaract?ris?pcomplexeeuted?vstructureeloppdeerd?forma-.lraten.s?rieour:dieremotiloestnbr?on?suite,regarderaeutlCelle-ciarunePexacte.enqued'o?telleapplicationetp?rie;L'obt?resserjenetpresquelelespluseuxsimple,tquipuisqu'ilscaract?riseeutleOnmieux5notreESd?formationSTRestTIONSsansD?FdouteC'estvdequio,encerpuisquel'onc'estlet,.ilpropasuivfaltelu,treptourcela,@ = 0 KS(v ) = [ ]1 0 1
1H (X ;T ) v T B0 0 0 0
1
2@ = 0 = t +O(t )1 t 1
J0
t
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T B0
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P
a 2
a( ) = t +O(t )a t=(t ) aa
t
uprobl?meuneiqu'onnpasvavaiterseherc:pEst-illap?ossiblequid'in-ourt?grerDEtouteul?classecdeseKnousoildaira-Spunencerplusieurs,?lC'est(classe?donn?sdire,4.?taniltsurdonn?Entramenernaturellemente,vv?riand?monstration,tTd?coulepr?senteunt?ressang?n?raliserinAuquestioncteur,eutebasexiste-t-iluneUnecencer.ci?daira-Spdaira-SpovKestdeetasseCOMPLEXEScl2satciestructureassoceon"d?nissanait,ttoujoursuneuned?formationvdecela!struc-tturedanscomplexeallonsd?formation,deuned'ab?sommes,Lelimit?sth?or?med?formationsdemaTian-Tpasoedorovvder?pvondsuivant?oncettecquestionm?medanscelui-ci,lelieucas?desparam?tres.vvari?t?sseradeinnit?siCalabi-YKau.et2.3probl?meTh?or?me?tandeveTian-Tono(o?dorotoutevPropetUCTURg?n?ralisationORMAABienPr?sen?galet,celle-cindeousplexeallonsv?nonceraetlaprouv5.erfleonth?or?meeutdeseTian-T?os?riedoroonv.ergenAmaislan'estplacetrivialdeAclasseandedeKlancerounedaira-Spnousencer,?tendrennotionod?formation.uoutsord,dironsnousplut?tjusqu'?d?formationtinnit?simale,apuisquexcelle-ci?estparam?tre,relativisen'estaudicilepremierltermeconceptduplusieursd?variables.elopplieue-xermenseultededeAx?,d?forme).,.pTh?or?meen1hoisir(Tian-Touounedorodev)ce.donneraSi?ond?formationquelpestusieursuAnehaquevari?t?ariablecdeleassoduuned?formation?riemalededeCalabi-oYencer),au,palorsletouteind?formationerse,innit?simalets'int?cteurgrlee,formelclementhe(unedansteld?formation,lePours?rieositionexiste6bien,ESmaisSTRonTIONSneD?Fpr.ens?r,dfautpmenasqueend?nissecd?formationomptelalescom-?ventuelsinitialeprlaobl?mesari?t?,dequ'oncreformonversousgencformee).Remarqueompvactl'?quationeMaurer-Cartan".de

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