EXERCICES CORRIGÉS

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DEA, Supérieur, Diplôme d'études approfondies (DEA) (bac+5)
  • cours - matière potentielle : traitement d' antenne de manière
  • exposé
Laurent KOPP DEA SICOM Traitement Spatial 1 EXERCICES CORRIGÉS Traitement Spatial DEA SICOM 2001-2002 22 à 28 version du 25/03/2002
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Laurent KOPP DEA SICOM Traitement Spatial
EXERCICES CORRIGÉS
Traitement Spatial
DEA SICOM 2001-2002
22 à 28
version du 25/03/2002
1Laurent KOPP DEA SICOM Traitement Spatial
TABLE DES MATIÈRES
Avertissement ............................................................................................................................................................. 3
Exercice 22 : Précision de mesure ............................................................................................................................. 4 23 : Comparaison du gain d’antenne de trois filtres spatiaux.................................................................... 10
Exercice 24 : Gain du Filtre Adapté Spatial contre le brouillage............................................................................. 19 25 : Imagerie. ............................................................................................................................................ 23
Exercice 26 : FFT spatiale........................................................................................................................................ 29 27 : Goniomètre Adaptatif (MUSIC) ........................................................................................................ 32
Exercice 28 : Détection d’un signal partiellement cohérent..................................................................................... 35
2Laurent KOPP DEA SICOM Traitement Spatial
Avertissement
Les exercices proposés ci-après sont d’intérêts et de difficultés très variables. Les
corrigés proposés sont plutôt des petits extraits de cours commentés. Ils sont souvent
l’occasion de digressions plus ou moins éloignées de la question initiale. Certains
développements et courbes ont nécessité l’usage d’un calculateur qui ne serait pas
forcement disponible en situation réelle d’examen.
Bien que dénommés « Exercices » il s’agit en fait d’une autre façon de voir un cours
de traitement d’antenne de manière un peu plus appliquée.
3Laurent KOPP DEA SICOM Traitement Spatial
Exercice 22 : Précision de mesure
Soit une antenne linéaire pleine, de longueur L = 50 m , dans un milieu isocélère de
célérité c = 1500 m/s , avec laquelle on veut mesurer la distance des sources
(Télémétrie) par mesure de la courbure du front d’onde.
La fréquence d’utilisation est f = 3000 Hz .
On demande l’ordre de grandeur du rapport signal à bruit à l’entrée, pour pouvoir
espérer réaliser la mesure de la distance en 1 seconde, dans une bande de 1 Hz ,
avec une précision de 10% , à une distance égale à la distance de FRESNEL par le
travers de l’antenne.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Pour répondre rapidement à la question il suffit d’appliquer la formule du cours :
1/ 2σ  R 3(1+Ks)R ≅   R D Ks F 
Dans cette formule K désigne le nombre de capteurs et s le rapport signal à bruit à
l’entrée (sur un capteur). K n’est pas connu ici, mais les règles générales de bonne
conception d’une antenne permettent de l’évaluer selon :
K 2L
K = = = 200
()λ / 2 λ
La quantité Ks est grande, on peut donc utiliser la formule plus simple :
σ  R  3R  ≅  R D Ks F 
9
d’où : KS = = 900 c’est-à-dire s = 4.5 , soit 7 dB.
2()0.1
La remarque de l’énoncé sur la bande B et la durée T de l’analyse appelle un petit
développement qui viendra compléter l’exposé.
Calcul de la borne de CRAMER-RAO dans le cas d’observations multiples.
En supposant que l’on dispose d’une durée totale d’observation de durée T , et que0
celle-ci soit décomposée en morceaux identiques et indépendants de longueur
T=T /N.0
En supposant par ailleurs que l’on utilise un ensemble de canaux spectraux
indépendants (indépendance en fréquence) à des fréquences
f ∈{}f , f ,...f recouvrant la bande B=M/T (La résolution de l’analyse spectrale est1 2 M
donc 1/T).
4Laurent KOPP DEA SICOM Traitement Spatial
On peut alors définir l’observation par :
X = {X (f )}j=1,Mk j
k =1,N
La vraisemblance logarithmique s’écrit :
L = L = L∑ k ,j ∑ ∑ k ,j
k ,j kM==1,,N j 1
2 2On obtient alors : ∂ L = ∂ L∑ k ,j
k,j
Et, donc : F = F∑ k ,j
k ,j
On peut remplacer les sommes discrètes sur les fréquences par des intégrales :
1
G()f = G(f )df∑ j ∫δfj B
1
Ce qu’on note aussi (δf = )
T
G(f ) = BT G(f )∑ j
j
En introduisant la notation (Valeur moyenne en fréquence) :
1
G(f ) = G(f )df∫B B
Par ailleurs nous avons eu l’occasion de présenter précédemment l’expression de la
vraisemblance Logarithmique en fonction de la matrice interspectrale :
+ −1() ( ) ( ) ( )L = −LnπΓ f − X f Γ f X fk kk ,j j j j j
On peut introduire :
1 +ˆΓ()f = X (f )X (f )j ∑ k j k jN k =1,N
et donc écrire :
−1 ˆL = −N (LnπΓ(f ) +Tr[Γ (f )Γ(f )])∑ k ,j j j j
k
Finalement N=T /T, et donc :0
5Laurent KOPP DEA SICOM Traitement Spatial
L = BT L(f )0
−1 ˆavec L()f = −N(LnπΓ(f ) +Tr[Γ (f )Γ(f )])
d’où F = BT F()f0
Si on isole le paramètre distance
2 2 2D ()Ks LFF()f = avec D = fF
9 1+Ks c
2 22 L ()Ks 2F()f =   f 3c 1+Ks 
On en déduit :
2 22 L ()Ks 2 F = BT f0  3c 1+Ks 
Si s dépend peu de la fréquence
2 22 22  () () DL Ks Ks  2 FF = BT   f = BT  0 0 3c 1+Ks 1+Ks 3  
1/ 2σ 1  R  3(1+Ks)R  d’où le résultat : ≅  R D KsBT  F 0
On constatera sur cette formule que la résolution de l’analyse spectrale a disparu et
que seule comptent la bande B et la durée totale de l’analyse.
On a posé :
2L c
D = avec λ =F
2λ f
f max 21 B2 2f = f df = + f fmin max∫B 3
f min
Dans le cas présent B=1 Hz et T =1 s, donc BT =1 et on peut donc négliger la bande0 0
B devant la fréquence porteuse f=3 KHz.
6Laurent KOPP DEA SICOM Traitement Spatial
Un autre point qui mérite commentaire est celui de la différence entre les
performances réelles et les bornes de CRAMER-RAO.
Calcul de la précision de mesure du traitement classique :
Nous allons profiter de cet exercice pour étudier de manière générale dans quelles
circonstances et avec quelles approximations l’estimateur classique atteint les bornes
de CRAMER-RAO. Cette étude sera faite pour un paramètre spatial quelconque.
L’estimateur à maximiser s’écrit :
+ ˆC(θ ) =d Γdθ θ
ˆcette quantité dépend à la fois de θ et de Γ , ce que nous expliciterons par la notation :
+ˆ ˆC(θ ,Γ) = d Γdθ θ
Il s’agit de rechercher la valeur maximale de cette quantité dans le voisinage de la
valeur vraie du paramètre, soit θ .0
ˆ ˆOn calcule le gradient ∂C(θ ,Γ)de C(θ , Γ)par rapport à θ autour de θ et on définit0
ˆl’estimation θ deθ par la solution de :0 0
ˆ ˆ∂C(θ , Γ)= 00
ˆ ˆsi on définit la fonction « gradient » parG(θ ,Γ)= ∂C(θ ,Γ)
ˆ ˆOn aura donc : G(θ , Γ)= 00
ˆConsidérée comme une fonction de θ et Γ , on peut effectuer un développement limité
de la fonction gradient autour du point θ ,Γ. Ceci s’écrit :0
Tˆ ˆ ˆ ˆG(θ , Γ)= 0 =G(θ , Γ) + (∂G) (θ −θ )+G(θ , Γ − Γ)0 0 0 0 0
et on obtient donc une estimation :
−1Tˆ ˆ(θ −θ )= −[]()∂G G(θ ,Γ)0 0 0 0
T ˆ( )On notera H =()∂G , le Hessien de la fonction C θ , Γ .0
On obtient donc :
−1ˆ ˆθ =θ −H G(θ , Γ)0 0 0
ˆ ˆSi Γ est une estimation sans biais de Γ on a E{θ }=θ0 0
7Laurent KOPP DEA SICOM Traitement Spatial
ˆLa covariance de θ est donnée par :0
+−1 −+ˆ ˆV =H E{G(θ , Γ)G (θ , Γ)}H0 0
1.calcul de H
On a H matrice « Hessienne » de C(θ , Γ)au point θ ,Γ .0
On s’intéresse uniquement au cas où :
+
Γ = γ d d + σI0 0 0
2donc, C()θ ,Γ =Kσ +K γ D()θ ,θ =Kσ (1 +KsD(θ ,θ ))0 0 0
2( )∂ C = G =K γ∂ Dk k k
2 2H = ∂ C =K γ∂ Dk ,l k,l k ,l
d’où :
2 2H =K γ (∂ D)
+ˆ ˆ2. Calcul de E{G(θ , Γ)G (θ , Γ)}0 0
Le terme général de cette matrice s’écrit :
+ + + + + + + +ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆE{u Γd u Γd +u Γd d Γu +d Γu u Γd +d Γu d Γu }k,0 0 l,0 0 k,0 0 0 l,0 0 k,0 l,0 0 0 k ,0 0 l,0
Il faut donc savoir calculer des expressions du type :
+ ˆ ˆE{u ΓAΓv}
On utilise pour cela une généralisation des formules des moments d’ordre 4 des
variables Gaussiennes.
1+ + +ˆ ˆ{} ()E u ΓAΓv =u ΓAΓv + u ΓvTr AΓ
N
1 +ˆ ˆOn a : Γ = X X et E{Γ}= Γ∑ k k
N k =1,N
On trouve alors facilement le résultat :
+d dσ +Kγ + + 0 0Kσ[]u P u +u P u avec P =I −k 0 0 l0 l0 0 k 0 0N K
8Laurent KOPP DEA SICOM Traitement Spatial
Mais on sait que :
1 + +2[]∂ D = − u P u +u P ukl k 0 0 l0 l0 0 k 0K
Finalement
Kσ+ 2ˆ ˆE{}G()θ ,ΓG()θ ,Γ = ()σ +Kγ (−K∂ D)0 0 klN
L’expression finale de la matrice de Covariance sera donc :
1 1 + Ks −12V = ()− ∂ D
2N()Ks
C’est à dire exactement la formule de CRAMER-RAO.
9Laurent KOPP DEA SICOM Traitement Spatial
Exercice 23 : Comparaison du gain d’antenne de trois filtres spatiaux.
On considère une antenne constituée de 3 capteurs alignés de pas d dans du bruit
isotrope sphérique. Comparaison du gain de 3 traitements d’antenne. L’un classique,
l’autre optimal dans du bruit isotrope et le dernier réjecteur dans la direction axiale
avant et optimal pour du bruit incohérent. L’antenne est pointée dans la direction
transverse.
Que se passe-t-il en fonction de d ?
Discuter du réalisme du résultat obtenu lorsque d est très inférieur à la demie longueur
d’onde, en particulier évaluer l’effet d’une faible contribution supplémentaire de bruit
électronique (incohérent)
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Nous allons tout d’abord expliciter les trois traitements dont il est question ici.
Tout d’abord le traitement classique :
*
d
0H =C +
d d
0 0
Son gain d’antenne sur une source dans la direction d dans du bruit isotrope0
sphérique de matrice de cohérence spatiale J s’écrit :
2+(d d )0 0G =C +
d Jd0 0
Le terme général de la matrice J est :
d k ,l
 J = sinc 2πk ,l  λ 
avec d =()k −l d . On en déduit l’expression du gain :k ,l
9
G =C d d
3 + 4sinc(2π ) + 2sinc(4π )
λ λ
9
=
3 + 4α + 2β
d d
en posant α = sinc(2π ) et β = sinc(4π ), en supposant, bien entendu, les ondes
λ λ
planes.
Le traitement optimal , quant à lui, a pour fonction de transfert :
10