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EXERCICES SUR LES FONCTIONS DERIVABLES

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Niveau: Supérieur
SEMESTRE D'AUTOMNE EXERCICES SUR LES FONCTIONS DERIVABLES 1. Calculer la dérivée des fonctions f définies ci-dessous (sans chercher à déterminer le domaine de définition) : a) f(x) = sin(2x) sin(3x) , b) f(x) = ln | tan x? xe x| , c) f(x) = (1 + x2)1+x2 . 2. Donner une formule de dérivation pour la composée f ? g ? h. 3. Soit f la fonction définie par f(x) = arcsin 2x 1 + x2 . Trouver son domaine de définition, puis, en utilisant un calcul de dérivée, exprimer f(x) en fonction de arctan x . 4. Calculer la dérivée n-ième des fonctions définies ci-dessous : a) f(x) = 1ax + b (a 6= 0) , b) g(x) = 1 x2 ? 1 . 5. Déterminer si les fonctions suivantes sont dérivables sur R. a) f(x) = { (x? 1)2 si x ≤ 2 x3 ? 10x si x > 2 b) f(x) = { 3(x + 1)2 si x ≤ ?1 (2x + 1)(x + 1)3 si x > ?1 6.

  • x2 ≤ arctan

  • x?

  • polynôme de taylor tn

  • généralisation du théorème de rolle

  • théorème des accroissements finis

  • ?1 ≤

  • ex ?


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SEMESTRE D’AUTOMNE EXERCICES SUR LES FONCTIONS DERIVABLES
1. Calculer la dérivée des fonctions f définies ci-dessous (sans chercher à déterminer le domaine de définition) : a) f ( x )=ssiinn((23 xx )) b) f ( x ) = ln | tan x xe x | c) f ( x ) = (1 + x 2 ) 1+ x 2
2. Donner une formule de dérivation pour la composée f g h . 3. Soit f la fonction définie par f ( x )=arcsin12+ xx 2 . Trouver son domaine de définition, puis, en utilisant un calcul de dérivée, exprimer f ( x ) en fonction de arctan x . 4. Calculer la dérivée n -ième des fonctions définies ci-dessous : 1 a) f ( x ) = ax 1+ b ( a 6 = 0) b) g ( x ) x 2 1 =
5. Déterminer si les fonctions suivantes sont dérivables sur R . a) f ( x ) = ( xx 3 11)0 2 x ssii xx > 22b) f ( x ) = (32( xx ++11)) 2 ( x + 1) 3 ssii xx > 11 6. Déterminer a et b pour que la fonction f suivante soit dérivable sur R . f ( ) = x 2 + x + 1 si x 1 xax 3 + bx + 2 si x < 1
7. Démontrer que la fonction f définie sur R par f ( x )=12 x | x | est dérivable sur R , et calculer f . 8. Soit la fonction f définie sur ] 0 + [ par f ( x ) = x x e Par quelle valeur faut-il prolonger f en 0 , pour que le prolongement f soit continu sur R + . Dans + e ce cas, étudier si f est dérivable sur R .
9. Soit la fonction f définie sur R par x 3 | si x 6 = 0 f ( x ) = 0ln | x si x = 0 1