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EXERCICES SUR LES FONCTIONS DERIVABLES

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Niveau: Supérieur
SEMESTRE DE PRINTEMPS EXERCICES SUR LES FONCTIONS DERIVABLES 1. Calculer la dérivée des fonctions f définies ci-dessous (sans chercher à déterminer le domaine de définition) : a) f(x) = tan √ 1 ? x2 , b) f(x) = ln |x?ex tanx| , c) f(x) = (1+x)x2 , d) f(x) = sin(cos(sinx)) 2. Calculer pour x 6= 0 la dérivée de la fonction f définie par f(x) = arctan x + arctan 1x , et retrouver la valeur de f(x). 3. Soit f la fonction définie par f(x) = argch [ 1 2 ( x + 1x )] . En utilisant un calcul de dérivée, simplifier f(x) lorsque x appartient au domaine de définition de f . 4. Calculer la dérivée n-ième des fonctions définies ci-dessous : a) f(x) = 1ax + b (a 6= 0) , b) g(x) = ln |x| 5. Déterminer si les fonctions suivantes sont dérivables sur R. a) f(x) = { (x? 1)2 si x ≤ ?1 ?4x + 1 si x > ?1 b) f(x) = { (x? 1)2 si x ≤ 1 (x? 1)3 si x > 1 6.

  • shx ≤

  • théorème de rolle classique

  • polynôme de taylor tn

  • calcul de dérivée

  • généralisation du théorème de rolle

  • théorème des accroissements finis


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SEMESTRE DE PRINTEMPS
EXERCICES SUR LES FONCTIONS DERIVABLES
1. Calculer la dérivée des fonctions f définies ci-dessous (sans chercher à déterminer le domaine de définition) : a) f ( x ) = tan 1 x 2 b) f ( x ) = ln | x e x tan x | c) f ( x ) = (1+ x ) x 2 d) f ( x ) = sin(cos(sin x )) 2. Calculer pour x 6 = 0 la dérivée de la fonction f définie par f ( x ) = arctan x +arctan1 x  et retrouver la valeur de f ( x ) . 3. Soit f la fonction définie par f ( x ) = argch 21 x + 1 x  En utilisant un calcul de dérivée, simplifier f ( x ) lorsque x appartient au domaine de définition de f .
4. Calculer la dérivée n -ième des fonctions définies ci-dessous : a) f ( x ) = ax 1+ b ( a 6 = 0) b) g ( x ) = ln | x | 5. Déterminer si les fonctions suivantes sont dérivables sur R .
a) f ( x ) = ( x 1) 2 si x ≤ − 1b) f ( x ) = (( x 1) 2 si x 1 4 x + 1 si x > 1 x 1) 3 si x > 1
6. Déterminer a et b pour que la fonction f suivante soit dérivable sur R . f ( x ) = ( xa 2 x + xb )+ 2 1ssii xx< 22 7. Démontrer que la fonction f définie sur R par f ( x )=12 x | x | est dérivable sur R , et calculer f . 8. Déterminer si les fonctions f suivantes possèdent une dérivée à droite en 0 , et calculer f (0) si c’est le cas. Calculer f ( x ) pour tout x > 0 . Si f est dérivable sur [ 0 + [ est-elle de classe C 1 sur cet intervalle ?
a) f ( x ) = x 2 + x 5 b) f ( x ) x 0 ln x ssii xx = > 00c) f ( x ) = 1 x x ssii xx = > 00 =
9. Soit f la fonction définie sur ] π 2  π 2 [ −{ 0 } par f ( x ) = tan xx 3 sin xMontrer que f est e e prolongeable par continuité en 0 , puis, que son prolongement f est dérivable en 0. La fonction f
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est-elle deux fois dérivable en 0 ? 10. Soit f la fonction définie sur R + par f ( x ) = x 2 sin x . La fonction f est-elle dérivable en 0 ? deux fois dérivable en 0 ?
11. Soit la fonction de R dans R définie par f ( x ) = x + e x . Montrer que f est bijective. On note g l’application réciproque de f . Justifier que g est deux fois dérivable sur R . Calculer g (1) , g (1) et g ′′ (1) .
12. Soit f une fonction définie et continue sur [ u v ] , dérivable sur ] u v [ , telle que f ( u ) = f ( v ) = 0 , et soit a à l’extérieur de [ u v ] . En introduisant la fonction g définie sur [ u v ] par g ( x ) = xf ( x ) a  montrer qu’il existe c dans ] u v [ tel que f ( c ) = f ( c ) Donner une interprétation géométrique de la fonction g et énoncer c a le résultat obtenu sous forme géométrique.
13. Soient I un intervalle ouvert, et f une application de I dans R , dérivable sur I . On suppose que f admet k zéros distincts sur I ( k entier 2 ). Démontrer que f admet au moins k 1 zéros distincts. Se peut-il que f admette strictement plus de k 1 zéros ? Si f est k 1 fois dérivable sur I , que peut-on dire du nombre de zéros de f ( k 1) ? Application : Soient n entier 2 , et a et b deux nombres réels. Démontrer que la fonction polynôme f définie sur R par f ( x ) = x n + ax + b admet : au plus deux racines réelles si n est pair, au plus trois racines réelles si n est impair. 14. Soit f une fonction de classe C 3 sur R pour laquelle on peut trouver deux réels a et b distincts tels que f ( a ) = f ( a ) = f ( b ) = f ( b ) = 0 . Montrer qu’il existe c dans ] a b [ tel que f (3) ( c ) = 0 .
15. En utilisant le théorème des accroissements finis, montrer que, si x est positif a)1 x + x ln(1 + x ) x b) x e x 1 xe x 16. a) Montrer que, pour tous réels x et y inférieurs à 1 on a | e x e y | ≤ e  | x y | b) Montrer que, pour tous réels x et y de l’intervalle [ π 3 2 π 3 ] , on a | sin x sin y | ≤ 12 | x y | 17. En appliquant la formule de Taylor-Lagrange, démontrer que : 2 a) pour tout x de [ π 2  π 2 ] − { 0 } cos x > 1 x 2 b) pour tout x > 0 ln(1 + x ) > x x 2 2 2