EXERCICES SUR LES FONCTIONS DERIVABLES

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Niveau: Supérieur
SEMESTRE DE PRINTEMPS EXERCICES SUR LES FONCTIONS DERIVABLES 1. Calculer la dérivée des fonctions f définies ci-dessous (sans chercher à déterminer le domaine de définition) : a) f(x) = tan √ 1 ? x2 , b) f(x) = ln |x?ex tanx| , c) f(x) = (1+x)x2 , d) f(x) = sin(cos(sinx)) 2. Calculer pour x 6= 0 la dérivée de la fonction f définie par f(x) = arctan x + arctan 1x , et retrouver la valeur de f(x). 3. Soit f la fonction définie par f(x) = argch [ 1 2 ( x + 1x )] . En utilisant un calcul de dérivée, simplifier f(x) lorsque x appartient au domaine de définition de f . 4. Calculer la dérivée n-ième des fonctions définies ci-dessous : a) f(x) = 1ax + b (a 6= 0) , b) g(x) = ln |x| 5. Déterminer si les fonctions suivantes sont dérivables sur R. a) f(x) = { (x? 1)2 si x ≤ ?1 ?4x + 1 si x > ?1 b) f(x) = { (x? 1)2 si x ≤ 1 (x? 1)3 si x > 1 6.

• shx ≤


• théorème de rolle classique


• polynôme de taylor tn


• calcul de dérivée


• généralisation du théorème de rolle


• théorème des accroissements finis

Sujets

• Théorème des accroissements finis

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• Publié par: chaeh
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• Langue: Français

Extrait

SEMESTRE DE PRINTEMPS

EXERCICES SUR LES FONCTIONS DERIVABLES

1. Calculer la dérivée des fonctions f définies ci-dessous (sans chercher à déterminer le domaine de définition) : a) f ( x ) = tan 1 − x 2  b) f ( x ) = ln | x − e x tan x |  c) f ( x ) = (1+ x ) x 2  d) f ( x ) = sin(cos(sin x )) 2. Calculer pour x 6 = 0 la dérivée de la fonction f définie par f ( x ) = arctan x +arctan 1 x  et retrouver la valeur de f ( x ) . 3. Soit f la fonction définie par f ( x ) = argch  2 1  x + 1 x   En utilisant un calcul de dérivée, simplifier f ( x ) lorsque x appartient au domaine de définition de f .

4. Calculer la dérivée n -ième des fonctions définies ci-dessous : a) f ( x ) = ax 1 + b ( a 6 = 0)  b) g ( x ) = ln | x | 5. Déterminer si les fonctions suivantes sont dérivables sur R .

a) f ( x ) =  ( x − 1) 2 si x ≤ − 1 b) f ( x ) =  ( ( x − 1) 2 si x ≤ 1 − 4 x + 1 si x > − 1 x − 1) 3 si x > 1

6. Déterminer a et b pour que la fonction f suivante soit dérivable sur R . f ( x ) =  ( x a 2 x − + x b ) + 2 1 s s i i x x < ≥ 2 2 7. Démontrer que la fonction f définie sur R par f ( x )= 1 2 x | x | est dérivable sur R , et calculer f ′ . 8. Déterminer si les fonctions f suivantes possèdent une dérivée à droite en 0 , et calculer f ′ (0) si c’est le cas. Calculer f ′ ( x ) pour tout x > 0 . Si f est dérivable sur [ 0  + ∞ [ est-elle de classe C 1 sur cet intervalle ?

a) f ( x ) = x 2 + x 5 b) f ( x )  x 0  ln x s s i i x x = > 0 0 c) f ( x ) =  1 x x s s i i x x = > 0 0 =

9. Soit f la fonction définie sur ] − π 2  π 2 [ −{ 0 } par f ( x ) =  tan x x − 3 sin x  Montrer que f est e e prolongeable par continuité en 0 , puis, que son prolongement f est dérivable en 0. La fonction f

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est-elle deux fois dérivable en 0 ? 10. Soit f la fonction définie sur R + par f ( x ) = x 2 sin x . La fonction f est-elle dérivable en 0 ? deux fois dérivable en 0 ?

11. Soit la fonction de R dans R définie par f ( x ) = x + e x . Montrer que f est bijective. On note g l’application réciproque de f . Justifier que g est deux fois dérivable sur R . Calculer g (1) , g ′ (1) et g ′′ (1) .

12. Soit f une fonction définie et continue sur [ u v ] , dérivable sur ] u v [ , telle que f ( u ) = f ( v ) = 0 , et soit a à l’extérieur de [ u v ] . En introduisant la fonction g définie sur [ u v ] par g ( x ) = x f ( x ) a  montrer qu’il existe c dans − ] u v [ tel que f ′ ( c ) = f ( c )  Donner une interprétation géométrique de la fonction g et énoncer c − a le résultat obtenu sous forme géométrique.

13. Soient I un intervalle ouvert, et f une application de I dans R , dérivable sur I . On suppose que f admet k zéros distincts sur I ( k entier ≥ 2 ). Démontrer que f ′ admet au moins k − 1 zéros distincts. Se peut-il que f ′ admette strictement plus de k − 1 zéros ? Si f est k − 1 fois dérivable sur I , que peut-on dire du nombre de zéros de f ( k − 1) ? Application : Soient n entier ≥ 2 , et a et b deux nombres réels. Démontrer que la fonction polynôme f définie sur R par f ( x ) = x n + ax + b admet : au plus deux racines réelles si n est pair, au plus trois racines réelles si n est impair. 14. Soit f une fonction de classe C 3 sur R pour laquelle on peut trouver deux réels a et b distincts tels que f ( a ) = f ′ ( a ) = f ( b ) = f ′ ( b ) = 0 . Montrer qu’il existe c dans ] a b [ tel que f (3) ( c ) = 0 .

15. En utilisant le théorème des accroissements finis, montrer que, si x est positif a) 1 x + x ≤ ln(1 + x ) ≤ x b) x ≤ e x − 1 ≤ xe x  16. a) Montrer que, pour tous réels x et y inférieurs à 1 on a | e x − e y | ≤ e  | x − y |  b) Montrer que, pour tous réels x et y de l’intervalle [ π 3  2 π 3 ] , on a | sin x − sin y | ≤ 1 2 | x − y |  17. En appliquant la formule de Taylor-Lagrange, démontrer que : 2 a) pour tout x de [ − π 2  π 2 ] − { 0 } cos x > 1 − x 2 b) pour tout x > 0 ln(1 + x ) > x − x 2 2 2